中考数学解题技巧（8）隐圆神助攻（几何计算问题）

中考数学解题技巧（八）、隐圆助神攻

                               （马铁汉）    

遇到有些几何计算或证明的问题，用三角形或四边形的知识不易解决，可以考虑用圆作桥梁来辅助解决。

大多在较难的选择题和填空题中使用。

特别是动点问题中用的多：先三点定轨迹，然后作辅助圆帮忙计算或证明。本专题主讲作辅助圆（让隐圆显现出来）的高效解题作用——“隐圆助神攻”。

    作辅助圆通常有下面三种情况：

     （1）知道圆心和半径作辅助圆，

     （2）知道直径作辅助圆，

     （3）过四点作辅助圆。

怎样的四点在同一圆上？有以下一些常用的判定方法（圆的性质的逆命题）：

①共斜边的两个直角三角形，则四点共圆。

原命题：同一圆中，直径上的圆周角是直角。

②共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四点共圆。

原命题：同一圆中，同弧所对的圆周角相等。

③对于凸四边形，对角互补，则四点共圆。

原命题：同一圆中，内接四边形对角互补。

（证四点共圆思路是先从四点中选出三点作一圆，然后证第4个点也在这个圆上，或者四点到某点的距离都相等，从而确定四点共圆。）

四点共圆的判定一般用在中考题的选择题或填空题中，想的到，能找出正确答案就好，不需要写过程，可以提高解题速度；解答题中不能用四点共圆的判定方法，课本上删除了四点共圆的判定定理，所以不能用。

后面举例简要介绍。

鉴赏题：重点关注第（4）问.（2022鄂州)24.如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA=6，斜边OB=10，点P为线段AB上一动点.

（1）请直接写出点B的坐标；

解：B(8，6)

（2）若动点P满足∠POB=45°，求此时点P的坐标；

解法一：

如图1—1，假如动点P满足∠POB=45°，作PH⊥OB于H.

设PH=则OH=

∵∆BHP∽∆BAO

∴

∴

∴，∴PH=,

BH=10-=

PB=，

AP=8-=

∴P()

解法二：

如图1—2过点B作x轴的垂线，垂足为C；

延长CB至D，使BD=AB=8；

过点D作CD的垂线，过点B作OB的垂线，两线相交于点E;

连接OE交AB于点P.

则△BDE≌△OCB   （遇到45°角，经常这样构造全等三角形）

∴DE=BC=6,  BE=OB=10,

又 ∠EBO=90°

∴△OBE为等腰直角三角形。

∴∠BOE=45°.点P即为所求。

易得E（2,14）

直线OE:

当时，

∴P(,6 )

说明：解法一，直角三角形内，构造相似三角形求解；

解法二，遇到45°角，构造全等三角形求解。

（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A'，当PA'⊥OB时，求此时点P的坐标；

解：如图2，PA'⊥OB，垂足为K.  E为OB的中点，则BE=OB÷2=5.

由翻折性质，得

AE=A’E=OE=BE=5

易证∆A’KE∽∆BAO

∴

∴

∴KE=3，A’K=4

∴BK=BE-KE=2

易证∆BKP∽∆BAO

∴

∴

∴BP=    ∴AP=8-=    ∴P(,6)

说明：充分挖掘图形特点，找出全等的三角形和相似的三角形是解题关键。

（4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF=2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．

解：

猜测：从特殊到一般画图，如图，先将FA绕点F顺时针旋转60°得FA’（实际是FG的一个位置，暂且叫FA’），延长FA’交AB于点P（点P的一个特殊位置），再将FP绕点F顺时针旋转60°得FG。过点A’G作直线交y轴于点M.猜测点G在这条直线上运动。(实际上直线MG是一条定直线。下有证明）

则∠AFP=∠PFG=∠GFO=60°,∠APF=30°

FA=FA’=2，FP=2FA=4,

∴FA’=A’P

∵∠PFG=60°,FP=FG

∴△FPG是等边三角形.

∴FP=FG=PG=4

又FA’=A’P

∴A’G⊥FP

∴∠A’GF=30°=∠FMG

∵∠APG=∠APF+∠FPG=90°    ∴PG∥AO

又PG=FO=4

∴四边形OFPG是平行四边形.

又A’G⊥FP     ∴A’G⊥OG.

△FOG是等边三角形，OG=FO=4.即为最小值。

此时扇形FPG的面积为。

用辅助圆证明MG是一条定直线：

FP绕点F顺时针旋转60°得FG，连接PG，则∆PFG是等边三角形。

以点P为圆心PF为半径作圆，点G在此圆上，⊙P交y轴于另一点M。连接MG。

∵点P是圆心,PA⊥MF

∴AF=AM=2，即点M为定点。（垂径定理.神助）

∵∠FPG=60°

∴∠FMG=30°（定角度）

（同弧上的圆周角等于圆心角的一半.神助）

∴MG是一条定直线。

作OG’⊥MG于点G’.则OG’最小。

∵∠FMG=30°，OM=OF+AF+AM=4+2+2=8

∴OG’=4       

本题解题要点：（3点定轨迹，计算圆助攻）

①本题从特殊到一般，找出点G的轨迹是关键。

②本题点P在AB上运动，所以猜测点G的轨迹是一条线段。

③本题的辅助圆为找点G的轨迹和后面的证明、计算起到非常重要的作用。

一、知道圆心和半径作圆

例1、（2021十堰16）．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是平面内一个动点，且AP＝3，Q为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，

则m的取值范围是 　 　．

分析：

①由于P是动点，A是定点，AP=3，所以点P在以点A为圆心3为半径的⊙A上。

画出点P的3个位置，同时画出动点Q的3个位置，发现3个点Q不在一条直线上，就可猜测动点Q的轨迹是个圆了,如上右图。

②有中点的动点问题，要求线段长，经常运用三角形的中位线，所以要想办法构造三角形的中位线。

③受我们所学知识的限制，所以动点运动轨迹一般是线段、直线、弧或圆，可以大胆猜测。填空题不需要证明，只要找到答案即可。

④3点定轨迹简介：分析动点轨迹时，从特殊到一般，从起点到终点，逐步画图分析，大胆猜测。不要受点动的影响，以静制动，一般画出运动中的3个（包括特殊位置的）点就可以猜测了：画出的3点在一条直线上，猜动点轨迹是线段或直线；若3点不在一条直线上，猜动点轨迹是弧或圆。

解：如图1，以点A为圆心AP为半径作圆；加倍延长BC至D，DC=BC=6,连接DP.

      ∵BQ=QP，BC=CD

      ∴CQ∥DP,且（三角形的中位线在动点问题中经常用到）

   那么CQ的长度m就由DP的长度决定。

∵AC=8,DC=6   ∴AD=10

  如图2. 点P在⊙A上运动，当P在线段AD上时，DP最小为AD-AP’=10-3=7；

  如图3. 点P在⊙A上运动，当P在DA延长线上时，DP最大为AD+AP”=10+3=13.

      ∴7≤DP≤13

      ∴3.5≤m≤6.5

例2、（2019桂林）如图，在矩形ABCD中，AB=，AD=3，点P是AD边上的一个动点，连接BP，作点A关于直线BP的对称点，连接,设的中点为Q，当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为       。

分析：

3点定轨迹：如下图1，当点P在起点A处时，点与点A重合，点Q在AC、BD的交点处；当点P在终点D处时，点在点处，取CE的中点。

3个点Q不在一条直线上，猜测点Q的轨迹是一条弧。

计算圆助攻：实际上，猜测是对的。取BC中点，连接，总有（由对称知BA=BE=BF）（OQ总是某个三角形的中位线）；所以点Q在以BC的中点为圆心，以为半径的弧上运动，如图2.

      ∵AB=，AD=3   ∴∠ABD=60°=∠DBE

∴∠ABE=120°

∴点Q运动得到的弧所对的圆心角是120°

∴ 点Q的路径长为：

例3、（2018咸宁）如图，已知∠MON=，点A,B分别在OM,ON上,且OA=OB=，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM,旋转角为，作点A关于直线OM的对称点C，作直线BC交OM于点D，连接AC,AD.有下列结论：①AD=CD  ;②∠ACD的大小随着的变化而变化  ；③连接OC，当时，四边形OADC为菱形  ；④△ACD面积的最大值为。其中正确的是  ①③④          （把你认为正确结论的序号都填上）

分析：

由题意知，OA=OB=OC ，点A、B、C在⊙O上，如上图1所示。

判断时，充分借用辅助圆。

解：

①√

理由：

点A、C关于射线OM对称，点D在对称轴OM上，

∴AD=CD

②×

理由：如右图2

∵OA=OC=OB

  ∴点A、B、C三点共圆。

  ∴∠ACD=∠AFB

（四边形的外角等于圆的内对角。）

∴∠ACD=∠AFB=∠AOB=（不变）（没有辅助圆，此问不易判断）

③√

理由：

当时，如右图3，

∠AOD=∠DOC=30°

∴∠AOC=60°

∴△AOC为等边三角形。

∴AC=AO=CO

又DC=DA，由②结论∠ACD=

∴△DCA为等边三角形。

∴AC=DC=DA

∴AO=CO=DC=DA

∴四边形OADC为菱形。

④√

理由：

由②知△ACD是等边三角形，

∴当AC最大时，△ACD面积最大。

∵点C在⊙O上运动，

∴点C在OA反向延长线上时最大，如图4.（借用辅助圆，找到AC的最大位置是关键）

此时AC=，，OD=，

      （没有辅助圆，此问不易判断）

二、知道直径作圆

例4、（2021鄂州10．）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（D）

A．3      B．       C．         D．

分析：如图，由于 所以∠APC=90°，取AC的中点O，则点P在以AC为直径的⊙O上运动。当点P在线段BO上时，PB最小。这就是辅助圆神助的表现。

解：由知∠APC=

那么，以AC为直径作圆，点P在此圆上运动；当点P在OB上时，PB最小。

∵

∴

∵

∴∠COB==∠ACP

∴PC=OC=

PA=3

∴的面积：

三、过四点作圆

例5、（2021鄂州16）．如图，四边形中，，，于点．若，，则线段的长为_____________．                     

解法一：如右下图，AD交BC于点E，作CF⊥AD于点F。

     ∵∠ACB=∠ADB=90°

∴A、B、D、C四点共圆。

     ∴∠ADC=∠ABC=  

（这是辅助圆神助，少用2次相似）

     在等腰直角三角形CDF中CF=DF==4

     易证△EBD∽△ECF得

∴

∴DE=EF=DF=

    在Rt△BDE中 ，

易证△EAB∽△ECD

∴

∴

∴

若没有辅助圆，要用到4次相似，比较麻烦，下面解答给你看。

解法二：

在△EAC和△EBD中

∵∠AEC=∠BED,∠ACE=∠BDE

∴△EAC∽△EBD

∴

在△EAB和△ECD中

∵∠AEB=∠CED,

∴△EAB∽△EC

∴∠ABE=∠CDE=45°（用2次相似，才得到∠CDE=45°）

在等腰直角三角形CDF中CF=DF==4

再证△EBD∽△ECF

得

∴DE=EF=DF=

    在Rt△BDE中 ，

再用△EAB∽△ECD求AB.

∴

∴

例6、（2021黄石18）．如图,，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点．

（1）若正方形的边长为2，则△CEF的周长是 　 　．

解：如图1，将△ADF绕点A逆时针旋转至△

易证△AEF≌△

∴EF==DF+BE

∴△CEF的周长：

CE+CF+EF=CE+CF+ DF+BE=2+2=4

（2）下列结论：

①BM2+DN2＝MN2；

②若F是CD的中点，则tan∠AEF＝2；

③连接MF，则△AMF为等腰直角三角形．

其中正确结论的序号是 ①③（把你认为所有正确的都填上）．

解：①√

如图2，作AH⊥EF于H，连接MH,NH

由（1）知△AEF≌△

∴∠AEB=∠AEH

又AB⊥BE,AH⊥EF,AE=AE

∴△AEB≌△AEH

∴△AEB与△AEH关于AE对称.

∴∠MHE=∠MBE=45°,BM=HM

同理可得∠NHF=∠NDF=45°,DN=HN

       ∴∠MHE+∠NHF=90°,

       ∴∠MHN=90°

       ∴BM2+DN2 ＝HM2+HN2＝MN2

②×

在原图中，设BE=x，CD=2，则DF=FC=1（求比值经常设过渡参数）

EF=BE+DF=1+x,EC=2-x，

由，得

,

tan∠AEB=

③√

如图3，∠MAF=∠MDF=45°

∴A、M、F、D四点共圆

∴∠AMF=∠ADF=90°

∠MFA=∠MDA=45°

∴∠MAF=∠MFA=45°

∴△AMF为等腰直角三角形.（这是辅助圆的神助效果，易识别，好判断）

若不用辅助圆，则需要2次相似才能得到∠MFA=45°.（跟前面例5类似）

首先证△NDF∽△NAM得到;再证△NDA∽△NFM.得到∠MFN=∠ADN=45°，是不是很麻烦。