人教A版 (2019)2.4 圆的方程测试题

这是一份人教A版 (2019)2.4 圆的方程测试题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第二章　2.4　2.4.2A　组·素养自测一、选择题1．若点A(1,2)，圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，则点A与圆的位置关系为( C )A．圆外　　　　　  B．圆内且不是圆心C．圆上　　　　　  D．圆心[解析]　根据题意，圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，将点A(1,2)代入，可得1＋4＋2－8＋1＝0，则点A在圆上．2．圆心是C(2，－3)，且经过原点的圆的方程为( D )A．x2＋y2＋4x－6y＋1＝0B．x2＋y2－4x＋6y＋1＝0C．x2＋y2＋4x－6y＝0D．x2＋y2－4x＋6y＝0[解析]　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为圆C经过原点，所以F＝0，又圆心为(2，－3)，所以D＝－4，E＝6.因此，所求圆的方程是x2＋y2－4x＋6y＝0.3．若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a的值为( C )A．1或－2　  B．2或－1C．－1　  D．2[解析]　若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则有a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，原方程可变为2x2＋2y2＋2x＋1＝0，配方，得22＋2y2＝－，不表示圆；当a＝－1时，原方程可变为x2＋y2－2x－1＝0，配方，得(x－1)2＋y2＝2，它表示以(1,0)为圆心，为半径的圆．4．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( A )A．－  B．－ C．  D．2[解析]　由题可知，圆心为(1,4)，结合题意得＝1，解得a＝－.5．已知圆的圆心为(－2,1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是( C )A．x2＋y2＋4x－2y－5＝0 B．x2＋y2－4x＋2y－5＝0C．x2＋y2＋4x－2y＝0D．x2＋y2－4x＋2y＝0[解析]　设直径的两个端点分别为A(a,0)，B(0，b)，圆心为点(－2,1)，由线段中点坐标公式得＝－2，＝1，解得a＝－4，b＝2.所以半径r＝＝，所以圆的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2＋4x－2y＝0.二、填空题6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_x2＋y2－2x＝0__.[解析]　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，又因为圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，所以解得D＝－2，E＝0，F＝0，所以圆的方程为x2＋y2－2x＝0.7．过圆x2＋y2＝4上一点P作x轴的垂线，垂足为H，则线段PH的中点M的轨迹方程为 x2＋4y2＝4　.[解析]　设M(x，y)，则P(x,2y)．因为点P(x,2y)在圆x2＋y2＝4上，所以x2＋4y2＝4.8．(2023·山东省潍坊市期中)若点(1,2)在圆x2＋y2－ax－2y＋2＝0外，则实数a的取值范围是_(－∞，－2)∪(2,3)__.[解析]　若x2＋y2－ax－2y＋2＝0表示圆，则(－a)2＋(－2)2－4×2＞0，解得a＜－2或a＞2.若点(1,2)在圆x2＋y2－ax－2y＋2＝0外，则12＋22－a－2×2＋2＞0，解得a＜3，所以实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2,3)．三、解答题9．已知方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．[解析]　(1)由题意，得D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<，故m的取值范围为.(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.10．求经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．[解析]　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E.由题知x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，所以D＋E＝－2.①又A(4,2)，B(－1,3)在圆上，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②1＋9－D＋3E＋F＝0.③由①②③解得D＝－2，E＝0，F＝－12.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.B　组·素养提升一、选择题1．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( B )A．5  B．10 C．15  D．20[解析]　圆x2＋y2－2x－6y＝0化成标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心坐标为M(1,3)，半径长为.由圆的几何性质可知：过点E的最长弦AC为点E所在的直径，则|AC|＝2.BD是过点E的最短弦，则点E为线段BD的中点，且AC⊥BD，E为AC与BD的交点，则由垂径定理可得|BD|＝2＝2＝2.从而四边形ABCD的面积为|AC||BD|＝×2×2＝10.2．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为( B )A.  B．5 C．2  D．10[解析]　由题意，得直线l过圆心M(－2，－1)，则－2a－b＋1＝0，则b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.3．(多选)若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则下列可能为m值的有( AB )A.  B． C．  D．1[解析]　x2＋y2－x＋y＋m＝0可化为2＋2＝－m，则－m>0，解得m<.因为点(1，－1)在圆外，所以1＋1－1－1＋m>0，即m>0，所以0<m<.对照选项，知AB可能．4．(多选)若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为( CD )A．－2  B． C．2  D．0[解析]　化圆为标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝5，则由圆心(1,2)到直线x－y＋a＝0距离为，得＝，∴a＝2或0.故选CD.二、填空题5．若曲线C：x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－16＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围是_(－∞，－4)__.[解析]　曲线C：x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－16＝0，即(x－a)2＋(y＋2a)2＝16表示圆，圆心为(a，－2a)，半径为r＝4，故圆上任意一点(x，y)满足a－4≤x≤a＋4，－2a－4≤y≤－2a＋4，又因为任一点(x，y)在第二象限内，所以a＋4<0且－2a－4>0，解得a<－4.6．如图，已知圆O：x2＋y2＝16，A，B是圆O上两个动点，点P(2,0)，则矩形PACB的顶点C的轨迹方程是 x2＋y2＝28　.[解析]　设点C( x，y)，点P(2,0)，则AB和CP的交点为M为矩形PACB的中心且OM⊥AB，所以OB2＝OM2＋MB2＝OM2＋MP2，即16＝＋，即64＝[x2＋4x＋4＋y2]＋[x2－4x＋4＋y2]，即x2＋y2＝28.7．(2023·黑龙江省大庆一中模拟)已知圆C：x2＋y2＋2(a－1)x－12y＋2a2＝0.当C的面积最大时，实数a的值为_－1__；若此时圆C的一条对称轴为直线l：mx＋ny－6＝0(m>0，n>0)，则的最大值为 　.[解析]　圆C的方程可化为[x＋(a－1)]2＋(y－6)2＝－a2－2a＋37.当a＝－1时，－a2－2a＋37＝－(a＋1)2＋38取得最大值38，此时圆C的半径最大，面积也最大，此时圆心坐标为(2,6)，且圆C的一条对称轴为直线l：mx＋ny－6＝0(m>0，n>0)，故点(2,6)在直线l上，所以2m＋6n－6＝0，即m＋3n＝3，又＝，＋＝(m＋3n)·＝≥＝，当且仅当＝，即m＝n＝时取等号，所以＝≤，故的最大值为.三、解答题8．已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．[解析]　以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)所以①因为|AD|＝3所以(x0＋2)2＋y＝9.　②将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.因为点C不能在x轴上，所以y≠0.综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．9．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆．(1)求t的取值范围．(2)求这个圆的圆心和半径．(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．[解析]　(1)已知方程表示一个圆，所以D2＋E2－4F>0，即4(t＋3)2＋4(1－4t2)2－4(16t4＋9)>0，整理得7t2－6t－1<0，解得－<t<1，所以t的取值范围是.(2)圆的方程可化为[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2，所以圆的圆心坐标为(t＋3,4t2－1)，半径为.(3)由(2)知，r＝＝≤，所以r的最大值为，此时t＝∈，圆的标准方程为2＋2＝.