高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式同步达标检测题

函数专题：二次函数在闭区间上的最值问题

一、二次函数的三种形式

1、一般式：

2、顶点式：若二次函数的顶点为，则其解析式为

3、两根式：若相应一元二次方程的两个根为，，

则其解析式为

二、二次函数在闭区间上的最值

二次函数在区间上的最值，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置讨论，

一般为：对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况.

设，求在上的最大值与最小值。

将配方，得顶点为，对称轴为

（1）当时，

的最小值为，

的最大值为与中的较大值；

（2）时，

若，由在上是增函数，则的最小值为，最大值为；

若，由在上是减函数，则的最小值为，最大值为；

三、二次函数在闭区间上的最值类型

1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；

2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；

3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；

4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。

题型一 定二次函数在定区间上的最值问题

【例1】函数在区间上的最大值、最小值分别是（    ）

A．        B．        C．        D．最小值是，无最大值

【变式1-1】已知函数，则函数的值域为__________.

【变式1-2】设，则函数的最大值为______.

【变式1-3】函数在上的最大值是______________．

题型二 定二次函数在动区间上的最值问题

【例2】已知函数.

（1）若，求的单调区间和值域；

（2）设函数在的最小值为，求的表达式.

【变式2-1】已知二次函数满足，且

（1）求的解析式.

（2）求在，的最小值，并写出的函数的表达式.

【变式2-2】函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值为g(t)．

（1）求g(t)的解析式；

（2）求g(t)的最大值．

【变式2-3】二次函数，且的解集为.

（1）求a的值；

（2）求在区间上的最大值.

题型三 动二次函数在定区间上的最值问题

【例3】已知函数．求在上的最大值与最小值．

【变式3-1】已知函数R)．当时，设的最大值为，则的最小值为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式3-2】已知函数.

（1）当时，求函数的值域；

（2）若函数的最小值为a，求实数a的值.

【变式3-3】已知函数，.

（1）求的最小值；        （2）若的最小值是，求实数a的值.

题型四 动二次函数在动区间上的最值问题

【例4】函数在区间上的最小值为，求的表达式.

【变式4-1】已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.

【变式4-2】设函数在闭区间上的最大值为，最小值为，求与的表达式.

题型五 逆向型二次函数最值问题

【例5】若函数在上最小值为，求的值.

【变式5-1】若二次函数在时的最大值为3，那么m的值是________．

【变式5-2】若函数在上的最小值为．则____．

【变式5-3】已知函数在上恒大于或等于，其中实数求实数的范围.

【变式5-4】一次函数是R上的增函数，且，

（1）求；

（2）若在单调递增，求实数m的取值范围；

（3）当时，有最大值13，求实数m的值．