人教版新课标A必修1第一章 集合与函数概念综合与测试练习题

专题强化练2　二次函数在闭区间上最大(小)值的求法

一、选择题

1.(2019浙江温州十五校联合体高一上期中联考,★★☆)函数f(x)=x2-2x+t(t为常数,且t∈R)在[-2,3]上的最大值是(　　)

A.t-1 B.t+6 C.t+8 D.t+3

2.(2019湖北宜昌部分示范高中教学协作体高一上期中联考,★★☆)函数y=x2-2x+3(-1≤x≤2)的值域是(　　)

A.R B.[3,6]

C.[2,6] D.[2,+∞)

3.(★★☆)设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于x∈[1,3], f(x)<-m+4恒成立,则实数m的取值范围为(　　)

A.(-∞,0] B.

C.(-∞,0)∪ D.

4.(2019天津一中高一上期中,★★★)已知二次函数f(x)=x2-2x-4在区间[-2,a]上的最小值为-5,最大值为4,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-2,1) B.(-2,4]

C.[1,4] D.[1,+∞)

5.(★★★)函数y=+的值域是(　　)

A.[0,] B.[0,2] C.[1,] D.[1,2]

二、填空题

6.(★★☆)已知函数f(x)=-x2+4x+m,x∈[0,1],若f(x)有最大值1,则f(x)的最小值是　　　　　. 

7.(2020重庆高一上月考,★★☆)已知函数f(x)=x2-2x+2在闭区间[0,m]上有最大值2,最小值1,则m的取值范围为　　　　. 

8.(★★☆)函数f(x)=x2+2x+a,若对任意x∈[1,+∞), f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. 

9.(2019浙江杭州十四中高一上期中,★★★)已知函数y=x2+2x在闭区间[a,b]上的值域为[-1,3],则a·b的最大值为　　　　. 

三、解答题

10.(2019湖北普通高中协作体高一上期中联考,★★☆)已知二次函数f(x)满足f(0)=2, f(x)-f(x-1)=2x+1,求函数f(x2+1)的最小值.

11.(★★☆)某旅行团去风景区旅游,若该团人数不超过30,飞机票每张收费900元;若该团人数多于30,则给予优惠,每多1人,机票每张减少10元.该团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.假设一个旅行团不能超过70人.

(1)写出每张飞机票的价格关于人数的函数关系式;

(2)该团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?

12.(2020河北承德一中高一上月考,★★★)已知函数f(x)=-x2+2x-3.

(1)求f(x)在区间[a,a+1]上的最大值g(a);

(2)已知g(a)=-3,求a的值.

答案全解全析

专题强化练2　二次函数在闭区间上

最大(小)值的求法

一、选择题

1.C　由f(x)=x2-2x+t=(x-1)2+t-1(t为常数,且t∈R),得f(x)在[-2,1]上递减,在[1,3]上递增,又f(-2)=8+t, f(3)=3+t<8+t,∴f(x)max=f(-2)=8+t,故选C.

2.C　由y=x2-2x+3=(x-1)2+2得,函数在[-1,1]上递减,在[1,2]上递增.当x=-1时,y=(-1-1)2+2=6;当x=1时,y=(1-1)2+2=2;当x=2时,y=(2-1)2+2=3.∴当-1≤x≤2时,ymax=6,ymin=2.∴y=x2-2x+3(-1≤x≤2)的值域为[2,6],故选C.

3.D　由f(x)<-m+4可得,mx2-mx-1<-m+4,整理得m(x2-x+1)<5.①

∵x2-x+1=+>0,

∴由①可得,m<.

设g(x)=,

则只需满足m<g(x)min即可.

∵g(x)==,

∴g(x)在[1,3]上是减函数,

∴g(x)min=g(3)==.

∴m<,故选D.

4.C　∵f(x)=x2-2x-4=(x-1)2-5,

∴f(x)min=f(1)=-5,

又由题知, f(x)max=4,

即x2-2x-4=4,解得x=-2或x=4,

∴作出f(x)的大致图象如图所示.

由题意及图象可知,1≤a≤4.故选C.

5.C　由y=+,得解得2 018≤x≤2 019,即函数的定义域为[2 018,2 019].又y2=2 019-x+x-2 018+2

=1+2,

且2 018≤x≤2 019,∴0≤-+≤,即1≤y2≤2,又y>0,

∴1≤y≤.故选C.

二、填空题

6.答案　-2

解析　∵函数f(x)=-x2+4x+m的图象开口向下,图象的对称轴方程为x=2,∴函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,∴f(x)max=f(1)=3+m=1,∴m=-2,∴f(x)min=f(0)=m=-2.

7.答案　[1,2]

解析　f(x)=(x-1)2+1,

由f(x)min=1得,1∈[0,m],即m≥1.

又f(x)max=2,且f(0)=2,

∴f(m)≤2,即m2-2m+2≤2,解得0≤m≤2.

综上所述,m的取值范围是[1,2].

8.答案　(-3,+∞)

解析　∵对任意x∈[1,+∞), f(x)>0恒成立,

∴只需满足f(x)min>0(x∈[1,+∞))即可.

由题知, f(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1,

∴ f(x)在[1,+∞)上单调递增,因此,f(x)min=f(1)=3+a.

∴3+a>0,解得a>-3.

故a的取值范围是(-3,+∞).

9.答案　3

解析　因为函数y=x2+2x=(x+1)2-1,图象开口向上,图象的对称轴为x=-1,

所以当x=-1时,函数取得最小值-1.又由题知,当y=3,即x2+2x=3时,可得x=-3或x=1.因为函数y=x2+2x在闭区间[a,b]上的值域为[-1,3],所以a=-3,-1≤b≤1,此时-3≤a·b≤3,或b=1,-3≤a≤-1,此时-3≤a·b≤-1.因此a·b的最大值为3.

三、解答题

10.解析　∵f(x)为二次函数,∴可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∴f(0)=c=2.

又f(x)-f(x-1)=2x+1,

∴ax2+bx+c-a(x-1)2-b(x-1)-c=2x+1,

即2ax-a+b=2x+1,∴

解得∴f(x)=x2+2x+2.

令t=x2+1,则t≥1,∴函数f(x2+1)即为f(t)=t2+2t+2=(t+1)2+1.

∵f(t)的图象开口向上,图象的对称轴为t=-1,

∴f(t)在[1,+∞)上单调递增,

∴f(t)min=f(1)=5,即f(x2+1)的最小值为5.

11.解析　(1)设旅行团的人数为x,每张飞机票价格为y元,则

y=

即y=

(2)设旅行社可获得利润为Q元,则Q=

即Q=

当1≤x≤30且x∈N*时,Qmax=900×30-15 000=12 000;当30<x≤70且x∈N*时,Q=-10(x-60)2+21 000,当x=60时,Qmax=21 000,

所以当该团人数为60时,旅行社可获得最大利润21 000元.

12.解析　(1)∵f(x)=-x2+2x-3,

∴当a≥1时,g(a)=f(a)=-a2+2a-3;

当0<a<1时,g(a)=f(1)=-12+2-3=-2;

当a≤0时,g(a)=f(a+1)=-(a+1)2+2(a+1)-3=-a2-2,

综上所述,g(a)=

(2)由题意可得,g(a)=-3,

当a≤0时,令g(a)=-a2-2=-3,解得a=-1或a=1(舍去),

当a≥1时,令g(a)=-a2+2a-3=-3,解得a=2或a=0(舍去).

综上所述,a=-1或2.