专题02 二次函数在闭区间上的最值问题-高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版必修第一册)

二次函数在闭区间上的最值问题

二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．

设，求在上的最大值与最小值．

分析：将配方，得顶点为、对称轴为；

当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在上的最值：

(1)当时，

的最小值是 的最大值是中的较大者．

(2)当时，由在上是增函数，则的最小值是，最大值是 ．

(3)当时，由在上是减函数，则的最大值是，最小值是．

当时，可类比得结论．

【题型一】定轴动区间

  已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是．

(1)求的解析式；

(2)设函数在上的最小值为，求的表达式．

【题型二】动轴定区间

  求在区间上的最大值和最小值．

【题型三】逆向题型

已知函数在区间上最大值为，求实数的值．

巩固练习

1 (★★) 已知函数．

当时，求函数在区间上的值域；

当时，求函数在区间上的最大值；

求在上的最大值与最小值．

2(★★) 已知函数．

(1)若，求在上的最大值和最小值；

(2)若在为单调函数，求的值；

(3)在区间上的最大值为4，求实数的值．

3(★★) 已知函数在上恒大于或等于，其中实数求实数的范围.

4(★★★) 已知函数在区间上的最小值是,最大值是，求的值.

挑战学霸

设为实数，记函数的最大值为．

(1)设，求的取值范围，并把表示为的函数，求和表达式及的取值范围．

(2)求.