高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第3课时课时训练

第3课时　余弦定理、正弦定理的综合

必备知识基础练　

1．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝4∶3∶2，那么cos C的值为(　　)

A．    B．C．－    D．

2．在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积等于(　　)

A．9    B．18C．9    D．18

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bc sin A＝b2＋c2－a2，△ABC的外接圆半径为，则a的值为(　　)

A．1    B．2C．    D．2

4．在△ABC中，若b＝1，A＝60°，△ABC的面积为，则a＝(　　)

A．13    B．C．2    D．

5．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝(　　)

A．2    B．C．    D．

6．在△ABC中，B＝45°，点D是边BC上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则边AB的长是(　　)

A．4    B．C．    D．2

7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin C＝2sin A，b＝a，则B＝________．

8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝2，b＝3，sin A＝2sin B cos C，则△ABC的面积为________．

9．在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2c sin A.

(1)确定角C的大小；

(2)若c＝，且ab＝6，求边a，b.

10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＝a.

(1)求角B的大小；

(2)若△ABC为锐角三角形，且a＝2c，b＝2，求△ABC的面积．

关键能力综合练　

1．在△ABC中，若△ABC的面积S＝(a2＋b2－c2)，则C＝(　　)

A．    B．

C．    D．

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为2，B＝，a2＋c2＝3ac，则b＝(　　)

A．2    B．2C．4    D．4

3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的命题是(　　)

A．若＝＝，则△ABC一定是等边三角形

B．若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是等腰三角形

C．若b cos C＋cos B＝b，则△ABC一定是等腰三角形

D．若a2＋b2－c2>0，则△ABC一定是锐角三角形

4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＝c2－ab，且AB边上的中线CD＝1，则△ABC面积的最大值为(　　)

A．    B．C．3    D．2

5．边长为3的等边△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，DE将△ABC的面积分为相等的两部分，若AD＝2，此时DE＝(　　)

A．    B．C．2    D．

6．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝6，C＝60°，则△ABC的面积为________．

7.

如图，在平面四边形ABCD中，∠ADC＝，∠ABC＝，∠BAC＝∠DAC，CD＝2AB＝4，则AC＝________．

8．△ABC中，AB＝2，BC＝2，∠ACB＝45°.

(1)求∠BAC；

(2)平面四边形ABCD中，BC＝2CD，∠ABC＋∠ADC＝180°，求△ACD的面积．

9．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin B＋a sin A＝b sin A＋c sin C.

(1)求角C；

(2)若c＝2，求a＋b的最大值．

10．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－a sin B＝a cos B－b.

(1)求A；

(2)若b＝c，且BC边上的高为2，求a.

11．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝，△ABC的面积S＝(c sin C＋a sin A－b sin B).

(1)求B；

(2)求△ABC周长的取值范围．

核心素养升级练　

1．已知△ABC的三个内角A，B，C满足sin B＋2sin A cos C＝0，则(　　)

A．△ABC是锐角三角形

B．角B的最大值为

C．角C的最大值为

D．sin2022A＋sin2022B<sin2022C

2．海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：S＝，p＝；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式．现在有周长为10＋2的△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为________．

3．从①＝a；②a sin B－b cos B cos C＝c cos2B；③(sinA－sin C)2＝sin2B－sinA sin C这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若________．

(1)求角B的大小；

(2)若△ABC为锐角三角形，c＝1，求a的取值范围．

注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分．

第3课时　余弦定理、正弦定理的综合

必备知识基础练

1．答案：B

解析：∵sin A∶sin B∶sin C＝4∶3∶2，∴由正弦定理可得a∶b∶c＝4∶3∶2，可得：a＝，c＝，由余弦定理可得cos C＝＝＝.故选B.

2．答案：C

解析：根据正弦定理得：＝，所以AC＝＝6，因为C＝180°－B－A＝30°，所以S△ABC＝×CA×CB×sin C＝9.故选C.

3．答案：B

解析：由余弦定理得b2＋c2－a2＝2bc cos A，∴2bc sin A＝2bc cos A，∴tan A＝1，又∵0<A<π，∴A＝，由正弦定理得＝2R，即a＝2R sin A＝2××＝2，故选B.

4．答案：B

解析：在△ABC中，b＝1，A＝60°，△ABC的面积为，所以S△ABC＝bc sin A＝×1×c×＝，解得c＝4.由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc cos A＝1＋16－4＝13，所以a＝.故选B.

5．答案：B

解析：在△ABC中，由正弦定理得＝＝，由余弦定理得cos A＝＝，∴＝×＝.故选B.

6．答案：C

解析：△ACD中cos C＝＝＝，所以sin C＝ ＝，△ABC中，由正弦定理＝得AB＝＝＝.故选C.

7．答案：

解析：由题设及正弦定理边角关系可得：c＝2a，而b＝a，又cos B＝＝＝，又0<B<π，所以B＝.

8．答案：2

解析：依题意sin A＝2sin B cos C，由正弦定理得a＝2b cos C，2＝2×3×cos C，cos C＝>0，所以0<C<，所以sin C＝＝，所以三角形ABC的面积为ab sinC＝×2×3×＝2.

9．解析：(1)由a＝2c sin A及正弦定理得＝＝，

因为sin A>0，故sin C＝，

又锐角△ABC，所以C＝.

(2)由余弦定理a2＋b2－2ab cos ＝7，

ab＝6，得a2＋b2＝13，

解得或.

10．解析：(1)由正弦定理＝，得b sin A＝a sin B，

又b sin A＝a，所以sin B＝，

又∵B为△ABC的一个内角，∴B∈(0，π)，

∴B＝或.

(2)∵△ABC为锐角三角形，则B＝，

由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，

所以24＝4c2＋c2－2c2，解得c＝2(负值舍去)，所以a＝2c＝4.

∴S△ABC＝ac sin B＝×4×2×＝4.

关键能力综合练

1．答案：A

解析：由题意可知，在△ABC中，满足S＝(a2＋b2－c2)，即ab sin C＝(a2＋b2－c2)，又由cos C＝，所以ab sin C＝ab cos C，即sin C＝cos C，因为C∈(0，π)，所以当cos C＝0即C＝时显然不成立．所以tan C＝1，又由C∈(0，π)，所以C＝.故选A.

2．答案：C

解析：因为△ABC的面积为2，B＝，所以S△ABC＝ac sin B＝ac＝2，所以ac＝8，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝2ac＝16，所以b＝4.故选C.

3．答案：A

解析：由正弦定理＝＝，若＝＝，则tan A＝tan B＝tan C，A，B，C为三角形内角，所以A＝B＝C，三角形是等边三角形，A正确；若a cos A＝b cos B，由正弦定理得sin A cos A＝sin B cos B，即sin 2A＝sin 2B，A，B∈(0，π)，则2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，三角形为等腰三角形或直角三角形，B错；例如b＝，C＝，B＝，满足b cos C＋cos B＝b，但此时△ABC不是等腰三角形，C错；a2＋b2－c2>0时，由余弦定理可得cos C＝>0，即C为锐角，但A，B是否都是锐角，不能保证，因此该三角形不一定是锐角三角形，D错．故选A.

4．答案：A

解析：

由a2＋b2＝c2－ab，得cos ∠ACB＝＝－⇒∠ACB＝120°，如图，作出平行四边形ACBE，则△ABC与△ACE的面积相等．在△ACE中，∠CAE＝60°，CE＝2，则cos ∠CAE＝＝，∴a2＋b2－ab＝4.又a2＋b2－ab≥ab，∴ab≤4，∴S△ACE＝ab sin 60°＝ab≤，故△ABC面积的最大值为.故选A.

5．答案：B

解析：

因为等边三角形△ABC的边长为3，所以S△ABC＝×32＝，因为DE将△ABC的面积分为相等的两部分，AD＝2，所以S△ADE＝AD·AE·sin ＝×2×AE×＝×，解得AE＝，在△ADE中，由余弦定理可得DE2＝22＋－2×2××＝，所以DE＝，故选B.

6．答案：

解析：因为(a＋b)2－c2＝6，C＝60°，所以a2＋b2－c2＝6－2ab，cos C＝＝＝，解得ab＝2，所以S△ABC＝ab sin C＝×2×＝.

7．答案：2

解析：在△DCA中，由正弦定理可得：＝⇒＝，所以AC sin ∠DAC＝2　①，在△BCA中，由正弦定理可得：＝⇒＝，所以AC sin ∠CAB＝BC·　②，又因为∠BAC＝∠DAC，所以由①②可得：BC·＝2，解得：BC＝2，所以在△BCA中，由余弦定理得：AC2＝22＋(2)2－2×2×2×＝20，解得：AC＝2.

8．解析：(1)由正弦定理知：＝，

则sin ∠BAC＝＝＝1，

∵0°<∠BAC<135°，∴∠BAC＝90°.

(2)由(1)得：∠ABC＝180°－90°－45°＝45°，

又∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝135°；

又AC＝＝2，CD＝BC＝，

由余弦定理得：AC2＝CD2＋AD2－2AD·CD cos ∠ADC＝2＋AD2＋2AD＝4，

解得：AD＝－1，

∴S△ACD＝AD·CD sin ∠ADC＝×(－1)××＝.

9．解析：(1)由正弦定理＝＝及b sin B＋a sin A＝b sin A＋c sin C，得b2＋a2＝ab＋c2.

所以由余弦定理得cos C＝＝，

又C∈(0，π)，所以C＝.

(2)因为c＝2，C＝，由余弦定理得cos C＝＝，

则(a＋b)2－2ab－12＝ab，所以(a＋b)2－12＝3ab≤3，当且仅当a＝b时取等号，

即≤12，解得a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，

所以a＋b的最大值为4.

10．解析：(1)由正弦定理，原式可化为sin C－sin A sin B＝sin A cos B－sin B，

由于sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，

整理得cos A sin B－sin A sin B＝－sin B.

又∵sin B≠0，∴cos A－sin A＝－1，

∴sin (A－)＝，

∵A∈(0，π)，∴A－∈(－，)，

∴A－＝，即A＝.

(2)由题意可知，由S△ABC＝×a×2＝bc sin ，

得bc＝4a，

又b＝c，∴c2＝16a，b2＝a，

由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bc cos A＝a＋16a－4a＝13a，

解得a＝13.

11．解析：(1)ac sin B＝(c sin C＋a sin A－b sin B)，两边同时乘以2R，

得abc＝(c2＋a2－b2)，根据余弦定理可知c2＋a2－b2＝2ac cos B，又b＝，

所以abc＝ac cos B，得cos B＝，因为B∈(0，π)，

所以B＝.

(2)b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝2，

因为ac≤，所以≤2，又a＋c>b＝，

所以<a＋c≤2，

所以2<a＋b＋c≤3，

综上，△ABC周长的取值范围为(2，3].

核心素养升级练

1．答案：D

解析：由sin B＋2sin A cos C＝0得b＋2a cos C＝0，则cos C<0，所以△ABC是钝角三角形，故A不正确；由sin B＋2sin A cos C＝0得b＋2a cos C＝0，则b＋2a·＝0，整理得a2＋2b2＝c2，所以cos B＝＝≥，当且仅当3a2＝c2等号成立，∴B≤，故B不正确；由sin B＋2sin A cos C＝0得sin (A＋C)＋2sin A cos C＝0，化简可得tan C＝－3tan A，则tan B＝－tan (A＋C)＝，因为C为钝角，所以A为锐角，取C＝，得tanA＝，tan B＝，符合题意，即C可以取大于的值，故C错误；由cos C<0得<0，a2＋b2<c2，＋<1，所以＋<1，即a2 022＋b2 022<c2 022，结合正弦定理可得sin2022A＋sin2022B<sin2022C，故D正确．故选D.

2．答案：6

解析：∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，∴a∶b∶c＝2∶3∶，∴△ABC周长为10＋2，即a＋b＋c＝10＋2，

∴a＝4，b＝6，c＝2，∴p＝＝5＋，∴△ABC的面积S＝ ＝6.

3．解析：(1)若选①，

由正弦定理得＝sin A，

即sin B sin A＝sin A(1＋cos B)，

因为0<A<π，所以sin A≠0，

所以sin B＝1＋cos B，所以sin (B－)＝，

又因为－<B－<，所以B＝.

若选②，

因为a sin B－b cos B cos C＝c cos2B，

由正弦定理得sinA sin B＝sin B cos B cos C＋sin C cos2B，

即sinA sin B＝cos B(sin B cos C＋sin C cos B)＝cos B·sin(B＋C)，

所以sin A sin B＝cos B sin A，

由A∈(0，π)，得sin A≠0，

所以sin B＝cos B，即tan B＝，

因为B∈(0，π)，所以B＝.

若选③，

由(sin A－sin C)2＝sin2B－sinA sin C，化简得sin2A＋sin2C－sin2B＝sinA sin C.

由正弦定理得：a2＋c2－b2＝ac，即＝，

所以cos B＝.

因为B∈(0，π)，所以B＝.

(2)在△ABC中，由正弦定理＝，得a＝，

由(1)知：B＝，又c＝1代入上式得：a＝＝＝＋.

因为△ABC为锐角三角形，所以，

解得C∈(，)，

所以tan C>，所以a＝＋∈(，2).