高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念同步测试题

7．1.1　数系的扩充和复数的概念

必备知识基础练　

1．复数z＝1－2i的虚部为(　　)

A．1    B．i

C．－2    D．－2i

2．已知a∈R，若2a＋1＋(a－1)i∈R，则a＝(　　)

A．－    B．

C．－1    D．1

3．若复数z＝(m＋2)＋(m－4)i是虚数，则实数m取值的集合是(　　)

A．{m|m>4}    B．{m|m<4}

C．{m|m≠4}    D．{m|m∈R}

4．若2＋ai＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数z＝a＋bi的虚部为(　　)

A．－i　　　B．－1    C．2i　　　D．2

5．已知x，y∈R，i为虚数单位，且(y＋2)i＋2y＝－x，则x＋y的值为(　　)

A．1    B．2

C．3    D．4

6．已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a＝(　　)

A．－3    B．3

C．－1    D．1

7．已知复数a－2＋(a＋2)i的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．

8．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的取值分别为________．

关键能力综合练　

1．(多选)下列说法中正确的有(　　)

A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数

B．若x2－1＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1

C．若a≤0，则z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数

D．若a，b∈R，且a>b，则bi2>ai2

2．(多选)若z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，则m＋n＝(　　)

A．4    B．－4

C．2    D．0

3．“b≠0”是“复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”的(　　)

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

4．若复数z＝(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i是纯虚数，则实数m的值为(　　)

A．2    B．3C．2或3    D．0或3

5．若x2＋(1－2i)x＋(3m－i)>0，求实数m的取值范围(　　)

A．(1，＋∞)    B．(，＋∞)

C．(－∞，2)    D．(－∞，)

6．已知关于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z＝(　　)

A．3＋i    B．3－i

C．－3－i    D．－3＋i

7．若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为________．

8．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则a的取值范围为________．

9．分别求满足下列条件的实数x，y的值．

(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；

(2)＋(x2－2x－3)i＝0.

10．已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当m取何实数值时，复数z是：

(1)纯虚数；

(2)z＝2＋5i.

核心素养升级练　

1．欧拉恒等式：eiπ＋1＝0被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e、圆周率π、虚数单位i、自然数1和0完美地结合在一起，它是由欧拉公式：eiθ＝cos θ＋isin θ(θ∈R)令θ＝π得到的．设复数z＝ei，则根据欧拉公式z的虚部为(　　)

A．    B．C．    D．1

2．若z＝lg (m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i是纯虚数，则实数m＝________．

3．已知关于x的实系数一元二次方程x2－mx＋1＝0有两个虚根α，β.

(1)求m的取值范围；

(2)若α＝，求m的值及β3＋β.

7．1.1　数系的扩充和复数的概念

必备知识基础练

1．答案：C

解析：复数z＝1－2i的虚部为－2，故选C.

2．答案：D

解析：因为2a＋1＋(a－1)i∈R，所以a－1＝0，解得a＝1.故选D.

3．答案：C

解析：由复数z＝(m＋2)＋(m－4)i是虚数，所以m－4≠0，所以实数m取值的集合是{m|m≠4}，故选C.

4．答案：D

解析：因为2＋ai＝b－i，故b＝2，故复数z＝a＋bi的虚部为2.故选D.

5．答案：B

解析：因为x，y∈R，(y＋2)i＋2y＝－x，所以，得，所以x＋y＝4－2＝2.故选B.

6．答案：C

解析：复数z1＝1＋3i的实部为1，复数z2＝－1－ai的虚部为－a，则－a＝1，解得a＝－1，所以实数a等于－1.故选C.

7．答案：2

解析：依题意复数a－2＋(a＋2)i的实部为0，故a－2＝0，解得a＝2.

8．答案：1，1或－1，－1

解析：因为x2－y2＋2xyi＝2i，所以解得或

关键能力综合练

1．答案：CD

解析：对于A中，当a＝－1，可得(a＋1)i＝0不是纯虚数，故A错误；对于B中，当x＝－1，可得x2＋3x＋2＝0，此时x2－1＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，所以B错误；对于C中，当a≤0时，可得|a|＋a＝0，所以z＝a2－b2为实数，所以C正确；对于D中，由i2＝－1，且a>b，所以bi2>ai2，所以D正确．故选CD.

2．答案：AD

解析：因为z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，所以，解得或，所以m＋n＝4或0.故选AD.

3．答案：A

解析：复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数应满足：a＝0，b≠0.所以“b≠0”是“复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”的必要不充分条件．故选A.

4．答案：A

解析：因为z＝(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i是纯虚数，所以，则，所以x＝2.故选A.

5．答案：B

解析：由题意知，x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝x2＋x＋3m－(2x＋1)i>0，故，解得：.所以实数m的取值范围为(，＋∞).故选B.

6．答案：B

解析：由题意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i，即，解得，∴z＝3－i，故选B.

7．答案：3

解析：因为复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，由m2－9＝0，解得m＝3或m＝－3，当m＝3时，m＋2＝5∈R*，符合题意；当m＝－3时，m＋2＝－1，不符合题意，所以实数m的值为3.

8．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)

解析：由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1.因此，a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞).

9．解析：(1)因x，y∈R，2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，

则有，解得，

所以.

(2)因x∈R，＋(x2－2x－3)i＝0，

于是得，解得x＝3，

所以x＝3.

10．解析：(1)若复数z是纯虚数，则，解得，所以m＝0.

(2)利用复数相等的条件实部与虚部分别相等可得，

解得，即m＝2.

核心素养升级练

1．答案：A

解析：根据欧拉公式：eiθ＝cos θ＋isin θ(θ∈R)，可得z＝ei＝cos ＋isin ＝＋i，则复数z的虚部为.故选A.

2．答案：3

解析：因为z＝lg (m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，若z是纯虚数，则，即，解m2－2m－2＝1得m＝－1或m＝3，解m2＋3m＋2≠0得m≠－1且m≠－2，综上可得m＝3.

3．解析：(1)由已知得Δ＝m2－4<0，

则－2<m<2.

(2)由α＝知β＝，

则m＝α＋β＝1.

由β2－β＋1＝0得β2＝β－1，

则β3＝β(β－1)＝β2－β＝－1，

故β3＋β＝.