新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案34第六章数列第一讲数列的概念与简单表示法

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练案[34] 第六章　数列第一讲　数列的概念与简单表示法A组基础巩固一、单选题1．(2023·河北省“五个一”名校联盟高三上学期数学摸底试卷)数列1,3,6,10,15，…的一个通项公式是an＝( C )A.  B．n2－nC.  D．2n2－n[解析]　因为数列1,3,6,10，…的前n项可写为，，，…则可知其一个通项公式是，也可以通过验证法排除得到选项C.2．(2023·天津河东区月考)已知数列，，，，，…，则5是它的( C )A．第19项  B．第20项C．第21项  D．第22项[解析]　数列，，，，，…中的各项分别可变形为，，，，，…，所以该数列的通项公式为an＝＝，令＝5，得n＝21.3．(2022·潍坊一模)已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn＝n2＋4n＋1，则a1＋a3＋a5＝( B )A．27  B．28 C．29  D．30[解析]　因为Sn＝n2＋4n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝6，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3.经检验，当n＝1时不符合，所以an＝所以a1＋a3＋a5＝28.故选B.4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，则S5＝( D )A．31  B．42 C．37  D．47[解析]　由题意，得Sn＋1－Sn＝Sn＋1(n∈N*)，所以Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)(n∈N*)，又S1＋1＝3，故数列{Sn＋1}是首项为3，公比为2的等比数列，则S5＋1＝3×24，所以S5＝47.5．(2022·山东潍坊学情调研)已知数列{an}中，a1＝2，an＝1－(n≥2)，则a2 024＝( A )A.  B．－ C．－1  D．2[解析]　∵a1＝2，an＝1－(n≥2)，∴a2＝1－＝，a3＝1－2＝－1，a4＝1－(－1)＝2，a5＝1－＝，….∴数列{an}是以3为周期的周期数列．∵2 024＝3×674＋2，∴a2 024＝a2＝，故选A.6．(2023·辽宁沈阳交联体期中)已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是( C )A．an＝2n－1  B．an＝n－1C．an＝n  D．an＝n2[解析]　解法一：由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，＝，∴为常数列，即＝＝1，所以an＝n.故选C.解法二：当n＝1时，a1＝a2－a1，∴a2＝2，否定A、B、D，故选C.7．数列{an}的通项公式an＝，则数列{an}中的最小项是( B )A．3  B．19 C．  D．[解析]　令f(x)＝x＋(x>0)，运用基本不等式得f(x)≥2，当且仅当x＝3时等号成立．因为an＝n＋，所以n＋≥2，由于n∈N*，不难发现当n＝9或n＝10时，an＝19最小，故选B.8.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设各层球数构成一个数列{an}，则( B )A．a4＝12  B．an＋1＝an＋n＋1C．a100＝5 005  D．2an＋1＝an·an＋2[解析]　由题意知，a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，an－1＝an－2＋n－1，an＝an－1＋n，将以上各式相加得，an＝1＋2＋3＋…＋n＝.对于A，a4＝＝10，故A不正确；对于B，an＋1＝an＋n＋1，故B正确；对于C，a100＝＝5 050，故C不正确；对于D,2an＋1＝(n＋1)(n＋1＋1)＝(n＋1)(n＋2)，an·an＋2＝，显然2an＋1≠an·an＋2当且仅当n＝1时等号成立，故D不正确．综上所述，选B.二、多选题9．(2022·潍坊一模)已知数列{an}的通项公式为an＝则( BC )A．a6＝19  B．a7>a6C．S5＝22  D．S6>S5[解析]　因为an＝所以a1＝4，a2＝－2，a3＝10，a4＝－6，a5＝16，a6＝－10，a7＝22，所以A错误，B正确；S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝4＋(－2)＋10＋(－6)＋16＝22，故C正确；因为a6＝－10，所以S6－S5＝a6<0，所以S6<S5，故D错误，故选BC.10．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．则下列说法正确的是( BC )A．这个数列的第10项为B.是该数列中的项C．数列中的各项都在区间内D．数列{an}是单调递减数列[解析]　an＝＝＝.令n＝10，得a10＝，故选项A不正确；令＝，得n＝33，故是该数列中的第33项，故选项B正确；因为an＝＝＝1－，又n∈N*，所以数列{an}是单调递增数列，所以≤an<1，所以数列中的各项都在区间内，故选项C正确，选项D不正确．故选B、C.11．下列四个命题中，正确的有( ABD )A．数列的第k项为1＋B．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项C．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为an＝2n－1D．数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则数列{an}是递增数列[解析]　对于A，数列的第k项为1＋，A正确；对于B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，B正确；对于C，将3,5,9,17,33，…的各项减去1，得2,4,8,16,32，…，设该数列为{bn}，则其通项公式为bn＝2n(n∈N*)，因此数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为an＝bn＋1＝2n＋1(n∈N*)，C错误；对于D，an＝＝1－，则an＋1－an＝－＝>0，因此数列{an}是递增数列，D正确．三、填空题12．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝ 　.[解析]　当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．故数列{an}的通项公式为an＝13．设数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝_1__，S5＝_121__.[解析]　解法一：由解得a1＝1.由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋＝3，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＋＝×3n－1，即Sn＝，所以S5＝121.解法二：由解得，又an＋1＝2Sn＋1，an＋2＝2Sn＋1＋1，两式相减得an＋2－an＋1＝2an＋1，即＝3，又＝3，∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an＋1＝3n，∴Sn＝，∴S5＝121.14．已知在数列{an}中，a1a2a3·…·an＝n2(n∈N*)，则a9＝ 　.[解析]　∵a1a2·…·a8＝82＝64，①a1·a2·…·a9＝92＝81，②②÷①得a9＝.15．请写出一个符合下列要求的数列{an}的通项公式：①{an}为无穷数列：②{an}为单调递增数列：③0<an<2.这个数列的通项公式可以是 an＝2－(答案不唯一)　.[解析]　因为函数an＝2－的定义域为N*，且an＝2－在N*上单调递增，0<2－<2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是an＝2－.四、解答题16．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.(1)若k＝－5，求数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围. [解析]　(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.因为n∈N*，所以n＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a2，a3.因为an＝n2－5n＋4＝2－，由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.(2)由an＋1>an，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，解得k>－3.所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．17．已知在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．[解析]　(1)由S2＝a2，得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3；由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝(a1＋a2)＝6.(2)由题设知a1＝1.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，整理，得an＝an－1，于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…，an－1＝an－2，an＝an－1，将以上n个等式两端分别相乘，整理，得an＝，经检验n＝1时，也满足上式．综上，{an}的通项公式an＝.B组能力提升1．设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝(－1)nan＋，则S1＋S3＋S5＝( D )A．0  B． C．  D．[解析]　数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝(－1)nan＋，当n为偶数时，Sn＝Sn－Sn－1＋，即有Sn－1＝，所以S1＋S3＋S5＝＋＋＝.故选D.2．已知数列{an}的通项公式为an＝(3n＋7)×0.9n，则数列{an}的最大项是( C )A．a5  B．a6 C．a7  D．a8[解析]　由＝×>1，解得n<，又n∈N*，所以n≤6.于是a1<a2<…<a7.当n≥7时，<1，故a7>a8>…，因此最大项为a7.3．(2022·辽宁省实验中学模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝( C )A．2n  B．2n－1 C．2n  D．2n－1[解析]　当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴数列{an}为等比数列，公比为2，首项为2，∴通项公式为an＝2n.故选C.4．(多选题)(2023·福建泉州一中检测改编)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，若{an}是递增数列，则实数a的值可以是( BD )A.  B． C．  D．[解析]　∵数列{an}是递增数列且an＝∴解得2<a<3，所以实数a的取值范围是(2,3)，故选B、D.5．(2022·浙江卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an－a(n∈N*)，则( B )A．2<100a100<  B．<100a100<3C．3<100a100<  D．<100a100<4[解析]　因为a1＝1，an＋1＝an－a＝－2＋≤，所以an≤(n≥2)，易知an≠0，所以有＝1－an≥>0(n≥2)，所以可得an>0(n∈N*)．由an＋1＝an－a＝an，可得＝＝＋，即－＝.一方面，由－＝>，累加可得>n＋1(*)，所以>×99＋1＝34，从而100a100<100×＝<3.另一方面，由(*)式可得an＋1<，所以an<(n≥2)，又a1＝1，所以an≤(n∈N*)，由－＝≤＝，累加可得≤n＋＋1，所以≤34＋×<34＋×＝<40，所以100a100>100×＝.综上可知，<100a100<3.故选B.[分析]　根据数列递推关系式，构造－＝，通过累加法，结合放缩，确定100a100的取值范围．6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，则数列an＝ 3－　.[解析]　由题意，得an＋1－an＝＝－，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋＋2＝3－.7．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：an＝＋＋＋…＋，求数列{bn}的通项公式．[解析]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，∵a1＝2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)∵an＝＋＋＋…＋(n≥1)，①∴an＋1＝＋＋＋…＋＋.②②－①，得＝an＋1－an＝2，bn＋1＝2(3n＋1＋1)．故bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．