新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案37第六章数列第四讲数列求和

这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案37第六章数列第四讲数列求和，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
练案[37]　第四讲　数列求和
A组基础巩固
一、单选题
1．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于( A )
A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－
C．n2＋1－ D．n2－n＋1－
[解析]　该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋1－.
2．(2022·重庆调研)已知数列{an}满足an＝，则a1＋＋＋…＋＝( A )
A. B．
C. D．
[解析]　由题知，数列{an}满足an＝，所以数列的通项公式为＝＝－，所以a1＋＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
3．已知数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，则的前100项和为( D )
A. B．
C． D．
[解析]　∵an＋1＝a1＋an＋n，a1＝1，∴an＋1－an＝1＋n.
∴an－an－1＝n(n≥2)．
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝.
∴＝＝2.
∴的前100项和为2＝2＝.故选D.
4．已知数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和Sn＝，则项数n等于( D )
A．13 B．10
C．9 D．6
[解析]　∵an＝＝1－，
∴Sn＝n－＝n－1＋.
而＝5＋，∴n－1＋＝5＋.∴n＝6.
5．(2023·黑龙江哈尔滨三中期末)数列{an}的前n项和为Sn，且an＝(－1)n(2n－1)，则S2 023＝( C )
A．2 021 B．－2 021
C．－2 023 D．2 023
[解析]　本题考查用并项相加求数列的前n项和．由已知an＝(－1)n·(2n－1)，a2 023＝(－1)2 023(2×2 023－1)＝－4 045，且an＋an＋1＝(－1)n(2n－1)＋(－1)n＋1(2n＋1)＝(－1)n＋1(2n＋1－2n＋1)＝2×(－1)n＋1，因而S2 023＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 021＋a2 022)＋a2 023＝2×1 011－4 045＝－2 023.故选C.
6．在数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于( B )
A．(3n－1)2 B．(9n－1)
C．9n－1 D．(3n－1)
[解析]　因为a1＋a2＋…＋an＝3n－1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1(n≥2)．则当n≥2时，an＝2·3n－1.
当n＝1时，a1＝3－1＝2，适合上式，所以an＝2·3n－1(n∈N*)．
则数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列，a＋…＋a＝＝(9n－1)．故选B.
7．Sn＝＋＋＋…＋＝( B )
A. B．
C. D．
[解析]　由Sn＝＋＋＋…＋，得Sn＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n·n＋1，两式相减得Sn＝＋2＋3＋4＋…＋n－n·n＋1＝－n·n＋1＝1－－n·n＋1＝，所以Sn＝.故选B.
8．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
(1)构造数列1，，，，…，；①
(2)将数列①的各项乘以，得到一个新数列a1，a2，a3，a4，…，an.
则a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝( C )
A. B．
C. D．
[解析]　依题意可得新数列为，，，…，×，
所以a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝＋…＋
＝
＝×＝.故选C.
二、多选题
9．(2023·济南调研)已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，设数列{bn}的前n项和Sn，则( AC )
A．an＝ B．an＝n
C．Sn＝ D．Sn＝
[解析]　由题意得an＝＋＋…＋＝＝，
∴bn＝＝＝4，
∴数列{bn}的前n项和
Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝
4
＝4＝.故选AC.
10．(2022·重庆月考)已知数列{an}满足a1＝－2，＝(n≥2，n∈N*)，{an}的前n项和为Sn，则( ABD )
A．a2＝－8 B．an＝－2n·n
C．S3＝－30 D．Sn＝(1－n)·2n＋1－2
[解析]　由题意可得，＝2×，＝2×，＝2×，…，＝2×(n≥2，n∈N*)，以上式子左、右分别相乘得＝2n－1·n(n≥2，n∈N*)，把a1＝－2代入，得an＝－2n·n(n≥2，n∈N*)，又a1＝－2符合上式，故数列{an}的通项公式为an＝－2n·n(n∈N*)，a2＝－8，故A，B正确；Sn＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n)，则2Sn＝－[1×22＋2×23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1]，两式相减，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2(n∈N*)，故S3＝－34，故C错误，D正确．
11．已知数列{an}的首项为4，且满足2(n＋1)an－nan＋1＝0(n∈N*)，则( BD )
A．数列为等差数列
B．数列{an}为递增数列
C．数列{an}的前n项和Sn＝(n－1)·2n＋1＋4
D．数列的前n项和Tn＝
[解析]　由2(n＋1)an－nan＋1＝0得＝2×，所以数列是以＝a1＝4为首项，2为公比的等比数列，故A错误；因为＝4×2n－1＝2n＋1，所以an＝n·2n＋1，显然递增，故B正确；因为Sn＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1,2Sn＝1×23＋2×24＋…＋n·2n＋2，所以－Sn＝1×22＋23＋…＋2n＋1－n·2n＋2＝－n·2n＋2，故Sn＝(n－1)·2n＋2＋4，故C错误；因为＝＝n，所以数列的前n项和Tn＝＝，故D正确．
三、填空题
12.＋＋＋…＋＝ －　.
[解析]　∵＝＝＝，
∴＋＋＋…＋
＝
＝
＝－.
13．(2023·海南三亚模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝10n－n2，数列{bn}满足bn＝|an|，设数列{bn}的前n项和为Tn，则T4＝_24__，T30＝_650__.
[解析]　当n＝1时，a1＝S1＝9，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝10n－n2－[10(n－1)－(n－1)2]＝－2n＋11，当n＝1时也满足，所以an＝－2n＋11(n∈N*)，所以当n≤5时，an>0，bn＝an，当n>5时，an0，故Sn≥an等价于－≥－
即：n2－11n＋10≤0
解得1≤n≤10
所以n的取值范围是[1,10]n∈N*.
5．(2023·山东省济南市历城第二中学高三模拟考试)等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)令cn＝，设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.
[解析]　(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
由b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3，
得，解得.
∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1.
(2)由a1＝3，an＝2n＋1得Sn＝n(n＋2)，
当n为奇数，cn＝＝－，
当n为偶数，cn＝2n－1.
∴T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)
＝＋(2＋23＋…＋22n－1)
＝1－＋＝＋(4n－1)．
6．(2023·辽宁开原模拟)给出以下三个条件：①4a3,3a4,2a5成等差数列；②∀n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝2x－a的图象上，其中a为常数；③S3＝7.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
设{an}是一个公比为q(q>0，且q≠1)的等比数列，且它的首项a1＝1，________.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝2log2an＋1(n∈N*)，证明：数列的前n项和Tn0，所以q＝2，所以an＝2n－1.
(2)证明：bn＝2log22n－1＋1＝2n－1，n∈N*，
则＝＝，
所以Tn＝
＝，
因为n∈N*，所以1－