2025届高考数学一轮总复习第六章数列第一节数列的概念与简单表示法课件

这是一份2025届高考数学一轮总复习第六章数列第一节数列的概念与简单表示法课件，共50页。PPT课件主要包含了强基础增分策略，确定的顺序，每一个数，数列的表示方法，Sn-Sn-1，数列的分类，答案D，增素能精准突破，答案C，an3n-2等内容，欢迎下载使用。

知识梳理1.数列的有关概念
并非每一个数列都有通项公式,数列有通项公式时也不一定是唯一的
给出了数列相邻两项或多项之间的关系
数列的图象是坐标系中的一些孤立的点
微点拨数列的通项公式与递推公式的异同点(1)数列的通项公式反映的是项与序号之间的关系,可根据某项的序号求出这一项;递推公式反映的是项与项之间的关系,可根据第1项(或前几项)通过迭代求出数列的项.(2)数列的通项公式与递推公式都可以确定一个数列,都可以求出数列的任意一项.
3.an与Sn的关系
微点拨利用an与Sn的关系解题的注意事项(1)切记an=Sn-Sn-1的成立条件是n≥2,当n=1时,只能用a1=S1求解,在解题过程中要始终注意这一条件.(2)在已知an与Sn的关系式解决有关问题时,注意两种策略:一是再写一个式子与已知式子相减消去Sn,得到an与an-1的关系进行求解;二是将an用Sn-Sn-1代替,从而消去an得到Sn与Sn-1的关系进行求解.(3)类比an与Sn的关系,若设数列{an}前n项的积为Tn(Tn≠0),则有
微思考数列的单调性与对应函数的单调性相同吗?
提示 不同.数列作为特殊的函数,也具有单调性,但其单调性与对应函数的单调性又有所不同,由于数列中项数n只能取正整数,所以当函数f(x)在区间[1,+∞)内单调时,数列{f(n)}也是单调数列,但当数列{f(n)}是单调数列时,函数f(x)不一定是单调函数.
常用结论1.注意区分数列的项与项数,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数则是指该项对应的位置序号.2.若数列{an}是递增(递减)数列,则an+1>an(an+1对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)数列的通项公式是唯一的.(　　)(2)若数列{an}(an=f(n))是递减数列,则函数y=f(x)必为减函数.(　　)(3)若数列{an}满足an+1=an(n∈N*),则该数列是常数列.(　　)(4)数列可以看作是定义域为正整数集的函数的函数值.(　　)
2.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn,若对于n∈N*,都有an+1>an成立,则实数k的取值范围是(　　)A.(0,+∞)B.(-1,+∞)C.(-2,+∞)D.(-3,+∞)
解析 由an+1>an知该数列是递增数列,又因为通项公式an=n2+kn可以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N*,所以- ,即得k>-3.故选D.
3.已知数列{an+2n}的前n项和Sn=n2+1,则数列{an}的通项公式为　　　　　. 
解析 当n=1时,有a1+2=12+1=2,所以a1=0;当n≥2时,an+2n=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1,所以an=2n-1-2n,又a1=0不适合上式,故数列{an}的通项公式为
考向1.已知Sn求an典例突破(2)若数列{an}对任意n∈N*满足a1+2a2+3a3+…+nan=n,则数列{ }的前n项和为　　　　　. 
例1.(1)(2023北京朝阳二模)已知数列{an}的前n项和是2n-1,则a5=(　　)A.9B.16C.31D.33
解析(1)设数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=2n-1,则a5=S5-S4=(25-1)-(24-1)=16.故选B.
方法总结已知Sn求an的流程(1)先利用a1=S1求出a1.(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系式,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式.(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并.
对点训练1已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1,若bn=lg2an+1(n∈N*),则数列{bn}的前n项和是(　　)A.2n+1-1 B.2n-1
解析当n=1时,a1=S1=21-1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,a1=1满足上式,所以an=2n-1.所以bn=lg2an+1=lg22n=n,
考向2.已知an与Sn的关系式求an典例突破
例2.(1)(2023河南名校联考改编)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=an(an+1),则a4 023=(　　)A.4 022B.4 023C.4 024D.4 025
答案 (1)B　(2)11　
∴{an}是首项为1,公差为1的等差数列.∴a4 023=1+(4 023-1)×1=4 023.故选B.
方法总结利用an与Sn的关系式求通项公式已知an与Sn的关系式求an时,一般有两种基本思路:(1)消去Sn,根据已给出的关系式,令n=n+1(n∈N*)或n=n-1(n≥2),再写出一个式子,然后将两式相减,消去Sn,得到an与an+1或an与an-1的关系,从而确定数列{an}是等差数列或等比数列,然后求出其通项公式;(2)消去an,在an与Sn的关系式中,令an=Sn-Sn-1(n≥2)代入,消去an,得到Sn与Sn-1的关系,从而确定数列{Sn}是等差数列或等比数列,求出Sn后再求得an.
对点训练2已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则S4等于(　　)A.85B.255C.64D.256
解析由an+1=3Sn(n≥1)①得,an=3Sn-1(n≥2)②,①-②得an+1-an=3an,即an+1=4an,n≥2.又a1=1,令n=1,得a2=3S1=3.所以当n≥2时,数列{an}是以a2=3为首项,公比为4的等比数列,所以an=3×4n-2,n≥2.则a2=3,a3=12,a4=48,故S4=a1+a2+a3+a4=1+3+12+48=64.
考向1.累加法典例突破
例3.(2023广西南宁三中一模)已知数列{an}满足nan+1-(n+1)an=2,a1=1,则数列{an}的通项公式为　　　　　. 
化简得an=(2+a1)n-2,由a1=1,得an=3n-2.
方法总结累加法求通项公式如果数列{an}的递推公式满足an+1-an=f(n)的形式,且f(n)可求和,那么就可以运用累加法an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1,求出数列{an}的通项公式.
考向2.累乘法典例突破
方法总结累乘法求通项公式
对点训练4在数列{an}中,a1=2, (n≥2,n∈N*),则a9=　　　　　. 
考向3.构造法典例突破
B.数列{Sn}为等差数列C.S36=6D.a2+a3+a4=1(3)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2an=n,则an=　　　　　. 
方法总结构造法求数列通项公式
所以(an+1-an-1)(an+1+an)=0,所以an+1-an=1或an+1+an=0.
又an>0,故an+1-an=1,所以数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列,
考向1.数列的周期性典例突破
例6.(2023山东潍坊模拟)数列1,3,2,…中,an+2=an+1-an(n∈N*),则a2 023+a2 024=(　　)A.6B.5C.4D.3
解析∵an+2=an+1-an,∴an+3=an+2-an+1=(an+1-an)-an+1=-an,∴an+6=-an+3=an(n∈N*),∴数列{an}的周期为6.∵2 023=6×337+1,2 024=6×337+2,∴a2 023=a1=1,a2 024=a2=3,∴a2 023+a2 024=4.故选C.
方法总结利用数列周期性解题的方法先利用所给数列的递推公式,结合数列的首项,求出数列的前几项,通过前几项观察发现数列的周期性,并确定数列的周期,然后再解决相关的问题.
考向2.数列的单调性典例突破
解析 若{an}是递增数列,则有 解得2方法总结判断数列单调性的方法(1)利用数列所对应的函数的单调性确定数列的单调性.(2)对数列的相邻两项作差(作商),即通过判断an+1-an的符号( 与1的大小关系)来确定数列的单调性,作商需满足an≠0(n∈N*).
对点训练7(2023北京密云三模)设数列{an}的前n项和为Sn,则“对任意n∈N*,an>0”是“数列{Sn}为递增数列”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件
解析数列{an}中,对任意n∈N*,an>0,则Sn=Sn-1+an>Sn-1,n≥2,数列{Sn}为递增数列,充分性成立;当数列{Sn}为递增数列时,Sn>Sn-1,n≥2,即Sn-1+an>Sn-1,所以an>0,n≥2,如数列-1,1,3,5,…,不满足题意,必要性不成立.故选A.
考向3.数列的最值典例突破
方法总结求数列最值的常用方法(1)利用数列的单调性:根据单调性求数列的最值.(2)利用均值不等式:但要注意均值不等式成立的条件以及数列项数n只能取正整数这一特殊性质.(3)通过建立不等式组求解:若设第k(k≥2)项最大,则有 解该不等式组确定k的值即得数列的最大值.