2022北京三十五中初三（上）期中数学

2022北京三十五中初三（上）期中

数    学

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（    ）．

A．  B．  C．  D．

2．点关于原点对称点的坐标是（    ）．

A．   B．   C．   D．

3．关于的一元二次方程的根的情况是（    ）．

A．有两个不相等的实数根     B．有两个相等的实数根

C．无实数根        D．无法判断

4．二次函数图象的顶点坐标是（    ）．

A．   B．   C．   D．

5．如图，将绕点按逆时针方向旋转45°后得到，若，则的度数是（    ）．

A．25°    B．30°    C．35°    D．40°

6．若要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）．

A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度

B．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度

C．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度

D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度

7．一元二次方程经过配方后可变形为（    ）．

A．  B．  C．  D．

8．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（    ）．

A．10m    B．20m    C．15m    D．22.5m

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．抛物线的开口方向是______．

10．已知是关于的方程的一个根，则的值是______．

11．如图，正方形的边长为6，点在边上．以点为中心，把顺时针旋转90°至的位置．若，则______．

12．已知、是一元二次方程的两个根，则______，______．

13．如图，抛物线的对称轴为，点，点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则点的坐标为______．

14．如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕坐标原点顺时针旋转90°至，则点的坐标是______．

15．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______．

16．对于二次函数和．其自变量和函数值的两组对应值如下表：

根据二次函数图象的相关性质可知：______，______．

三、解答题（本题共68分，第17题8分，第18~22、24、25题每小题5分，第23、26、28题每小题6分，第27题7分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．解方程：（1）；（2）．

18．如图，在等边中，点是边上一点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转60°后得到，连接．求证：．

19．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求的取值范围；

（2）若为正整数，求此时方程的根．

20．如图，用一条长40m的绳子围成矩形，设边的长为．

（1）边的长为______m，矩形的面积为______（均用含的代数式表示）；

（2）矩形的面积是否可以是？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由．

21．在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，．

（1）画出关于原点对称的；

（2）点关于轴的对称点的坐标为______

（3）点向左平移个单位后，落在内部，写出一个满足条件的的值：______．

22．已知关于的一元二次方程．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．

23．对于抛物线．

（1）它与轴交点的坐标为______，与轴交点的坐标为______，顶点坐标为______；

（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线：

（3）利用以上信息解答下列问题：若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是______

24．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为1.5米，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（米）与水平距离（米）之间近似满足函数关系

（1）求与之间的函数关系式；

（2）求水流喷出的最大高度．

25．为深化疫情防控国际合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物资出口工作．2020年3月，国内某企业口罩出口订单额为1000万元，2020年5月该企业口罩出口订单额为1440万元．求该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率．

26．某滑雪场在滑道上设置了几个固定的计时点．一名滑雪者从山坡滑下，测得了滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）的若干数据，如下表所示：

为观察与之间的关系，建立坐标系，以为横坐标，为纵坐标，描出表中数据对应的点（如图）．可以看出，其中绝大部分的点都近似位于某条抛物线上．于是，我们可以用二次函数来近似地表示与的关系．

（1）有一个计时点的计时装置出现了故障，这个计时点的位置编号可能是______；

（2）当时，，所以______；

（3）当此滑雪者滑行距离为30m时，用时约为______（结果保留一位小数）．

27．在平面直角坐标系中，二次函数图象与轴的交点为，将点向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到点．

（1）直接写出点的坐标为______，点的坐标为______；

（2）若函数的图象与线段恰有一个公共点，求的取值范围．

28．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：

若，则称点为点的“可控变点”．

例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点．

（1）点的“可控变点”坐标为______；

（2）若点在函数的图象上，其“可控变点”的纵坐标是7，求“可控变点”的横坐标；

（3）若点在函数的图象上，其“可控变点”的纵坐标的取值范围是，求实数的取值范围．