2021北京五十五中初三（上）期中数学（教师版）

2021北京五十五中初三（上）期中

数    学

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个

1．（2分）下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　

A． B． C． D．

2．（2分）下列方程中，属于一元二次方程的是　　

A． B． C． D．

3．（2分）二次函数的顶点坐标是　　

A． B． C． D．

4．（2分）关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是　　

A． B． C．1 D．2

5．（2分）如图，绕点逆时针旋转得到，若，的度数是　　

A． B． C． D．

6．（2分）将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是　　

A． B． C． D．

7．（2分）近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为，则可列出关于的方程为　　

A． B． 

C． D．

8．（2分）如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论中正确的是　　

A． 

B． 

C．若点，在抛物线上，则 

D．关于的一元二次方程的两根为和

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．（2分）点关于原点的对称点的坐标为　　．

10．（2分）如图，抛物线的对称轴是　　．

11．（2分）如图，四边形内接于，若，则的度数是　 　．

12．（2分）如图，的半径为2，直线、为的切线，、为切点，若，则的长为　 　．

13．（2分）写出一个过原点的二次函数表达式，可以为　　．

14．（2分）若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是　　．

15．（2分）点，是抛物线上的两点，则　　．（填，或

16．（2分）在进行垂径定理的证明教学中，老师设计了如下活动：先让同学们在圆中作了一条直径，然后任意作了一条弦（非直径），如图1，接下来老师提出问题：在保证弦长度不变的情况下，如何能找到它的中点？

在同学们思考作图验证后，小华说了自己的一种想法：只要将弦与直径保持垂直关系，如图2，它们的交点就是弦的中点．请你说出小华此想法的依据是　 　．

三、解答题（本题共68分，第17-22题每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小7分）

17．（5分）解方程：

（1）；

（2）．

18．（5分）如图，点的坐标为，点的坐标为，作如下操作：以点为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到△．

（1）在图中画出△．

（2）请接写出点的坐标 　　．

（3）请直接写出点旋转到点所经过的路径长 　　．

19．（5分）已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的表达式．

20．（5分）已知：如图，内接于，，，求的半径．

21．（5分）已知二次函数．

（1）用配方法将其化为的形式；

（2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象．

22．（5分）关于的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根大于3，求的取值范围．

23．（6分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，，．求的半径．

24．（6分）已知中，，在上，以为直径的与相切于，连接．

（1）求证：平分；

（2）如果，，求的半径．

25．（6分）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现．该种健身球每天的销售量（个与销售单价（元有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为元．

（1）求与之间的函数关系式；

（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

26．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点和点（点在点的左边）．

（1）求点的坐标（用含的式子表示）和对称轴；

（2）求点和点的坐标；

（3）已知点，，如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围．

27．（7分）已知：和是两个不全等的等腰直角三角形，其中，，联结，取的中点，联结和．

（1）如图1，如果点、分别在边、上，那么、的数量关系与位置关系是 　　．

（2）将图1中的绕点顺时针旋转90度，补全旋转后的图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

28．（7分）对于平面直角坐标系中的点和，给出如下定义：如果的半径为，外一点到的切线长小于或等于，那么点叫做的“离心点”．

（1）当的半径为1时．

①在点，，，，中，的“离心点”是 　　．

②点在直线上，点是的“离心点”，求点横坐标的取值范围．

（2）的圆心在轴上，半径为2，直线与轴、轴分别交于点，．如果线段上存在点是的“离心点”，请直接写出圆心纵坐标的取值范围．

2021北京五十五中初三（上）期中数学

参考答案

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个

1．【分析】根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．

【解答】解：、此图形旋转后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项错误；

、此图形旋转后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故选项错误；

、此图形旋转后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项错误；

、此图形旋转后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故选项正确．

故选：．

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．

2．【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

【解答】解：、它是一元二次方程，故此选项符合题意；

、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；

、它是分式方程，不是整式方程，故此选项不合题意；

、未知数次数为1，不是一元二次方程，故此选项不合题意；

故选：．

【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．

3．【分析】直接根据二次函数的顶点式即可求得顶点坐标．

【解答】解：二次函数的图象的顶点坐标为．

故选：．

【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，找出函数图象的顶点坐标是解题的关键．

4．【分析】把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程可以求得的值．

【解答】解：把代入方程，可得，即，

故选：．

【点评】本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．

5．【分析】由旋转的性质可得，由，即可求的度数．

【解答】解：绕点逆时针旋转得到，

，

故选：．

【点评】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练运用旋转的性质是本题的关键．

6．【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．

【解答】解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是，

故选：．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象右移减、左移加，上移加、下移减是解题关键．

7．【分析】设年平均增长率为，根据2017年及2019年的全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为，

则可列出关于的方程为，

故选：．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

8．【分析】由抛物线与轴有两个交点则可对进行判断；由于抛物线开口向上，有最小值则可对进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对进行判断；根据二次函数的对称性可对进行判断．

【解答】解：、图象与轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根，，故选项错误；

、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为，所以，故选项正确；

、抛物线的对称轴为直线，因为离对称轴的距离等于离对称轴的距离，所以，故选项错误；

、根据抛物线的对称性可知，关于对称轴的对称点为，所以关于的一元二次方程的两根为和，故选项错误．

故选：．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点远近二次函数与不等式的关系．

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．【分析】由关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可求出答案．

【解答】解：因为关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，

所以：点关于原点的对称点的坐标为．

故答案为：．

【点评】考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

10．【分析】根据抛物线与轴的交点关于对称轴对称是解答此题的关键．

【解答】解：抛物线与轴的交点是，，

抛物线的对称轴是直线．

故答案为：直线．

【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知抛物线与轴的交点关于对称轴对称是解答此题的关键．

11．【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可．

【解答】解：四边形内接于，

，

，

，

故答案为：．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

12．【分析】首先连接，由直线、为的切线，，易得是等腰直角三角形，继而可求得的长．

【解答】解：连接，

直线、为的切线，，

，，

是等腰直角三角形，

的半径为2，

即，

．

故答案为：．

【点评】此题考查了切线的性质、切线长定理以及等腰直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

13．【分析】根据题意，可以写出一个过原点的二次函数的解析式，注意本题答案不唯一．

【解答】解：二次函数的图象过原点，

故答案为：．

【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，注意答案不唯一．

14．【分析】根据判别式的意义得到△，然后解不等式即可．

【解答】解：根据题意得△，

解得．

故答案为：．

【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根．

15．【分析】根据抛物线解析式得到开口向上，对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得到结论．

【解答】解：抛物线，

抛物线开口向上，对称轴为直线，

当时，随的增大而增大，

点关于对称轴的对称点为，且，

．

故答案为．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

16．【分析】连接、，则是等腰三角形，依据等腰三角形的性质判断．

【解答】解：连接、，则是等腰三角形，当过的中点时，一定有，依据三线合一定理可得．

故答案是：等腰三角形三线合一定理．

【点评】本题考查了垂径定理，正确转化为等腰三角形的性质解决问题是关键．

三、解答题（本题共68分，第17-22题每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小7分）

17．【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；

（2）利用因式分解法求解即可．

【解答】解：（1），

，

，；

（2），

，

则或，

解得，．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

18．【分析】（1）利用网格特点画出、的对应点、即可；

（2）利用（1）所画图形写出点的坐标；

（3）根据弧长公式计算．

【解答】解：（1）如图，△为所作；

（2）

（3），

所以点旋转到点所经过的路径长．

故答案为．

【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．

19．【分析】设二次函数的表达式为，把，以及点，代入解析式即可得出答案．

【解答】解：设二次函数的表达式为 ，

抛物线的顶点坐标是，

，

又抛物线经过点，，

，

二次函数的表达式为，

化为一般式．

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式即可，掌握二次函数的解析式的三种形式是解题的关键．

20．【分析】连接，，根据圆周角定理得出，再由勾股定理得出的半径即可．

【解答】解：连接，，

，

，

，

，

，

．

【点评】本题考查了圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半是解题的关键．

21．【分析】（1）用配方法配方成顶点式即可；

（2）写出顶点坐标，计算其与轴的交点和与轴的交点，列表、描点，画出图象．

【解答】解：（1）；

（2）顶点，

当时，，

，

，，

与轴交点为、，

【点评】本题考查了配方法确定二次函数的顶点式及画出二次函数的图象，知道用五点法画二次函数图象的方法：①五点是指：顶点、与轴的两个交点、与轴交点及其对称点（也可取任意两个对称点），②计算出五点的坐标，③再列表、描点，连线即可．

22．【分析】（1）根据判别式△即可得；

（2）由求根公式得出，，由方程有一个根大于3知，解之可得．

【解答】解：（1）证明：依题意，得△，

，

方程总有两个实数根；

（2）由求根公式，得，

，，

方程有一个根大于3，

．

．

的取值范围是．

【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．

23．【分析】根据垂径定理得出，则，在中，有，进而可求得半径．

【解答】解：如图，连接，

是弦的中点，过圆心，

．

．

，

．

设，则，

在中，根据勾股定理，得

．

解得．

的半径为13．

【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形．

24．【分析】（1）连接．根据圆的半径都相等的性质及等边对等角的性质得到；再由切线的性质及平行线的判定与性质证明；最后由角平分线的性质证明结论；

（2）连接，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质得到结论．

【解答】（1）证明：连接，

，

，

为的切线，

，

，

，

，

，

，

是的平分线；

（2）解：连接，

是的切线，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

的半径为．

【点评】本题考查了切线的性质，角平分线的定义，解直角三角形，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．

25．【分析】（1）根据总利润每个利润销售量可得函数解析式；

（2）将所得函数解析式配方成顶点式即可．

【解答】解：（1）根据题意可得：

，

与的函数关系式为：；

（2）根据题意可得：，

，

当时，有最大值．最大值为200．

答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式及二次函数的性质．

26．【分析】（1）利用对称轴公式即可求得对称轴，令，求得的值，即可求得的坐标；

（2）令，则得到关于的方程，解方程即可求得、的坐标；

（3）当时，如图1，点在抛物线上方，则点在抛物线上或下方，抛物线与线段恰有一个公共点；当时，当抛物线顶点直线线段上时，抛物线与线段恰有一个公共点，进而求解．

【解答】解：（1）抛物线，

对称轴为直线，

把代入得，，

；

（2）把代入得，，

解得或，

，；

（3）当时，如图1，

抛物线轴交于点和点，

点在抛物线的上方，

抛物线与线段恰有一个公共点，点需在抛物线的下方，

当时，，

；

当时，如图2，

抛物线轴交于点和点，对称轴为直线，

抛物线与线段恰有一个公共点，则抛物线顶点需在线段上，

当时，，

，

综上，的取值范围是或．

【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线和轴的交点等，数形结合是本题解题的关键．

27．【分析】（1）利用直角三角形的性质可证，再运用三角形外角的性质可得，即可证明；

（2）连接，并延长交的延长线于，连接，利用平行加中点可证，得，再证点、、三点共线，即可由（1）同理证明结论．

【解答】解：（1），为的中点，

，，

，

，

，

，

，

故答案为：，；

（2）（1）中结论仍然成立，理由如下：

如图，连接，并延长交的延长线于，连接，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

四边形是平行四边形，

，

，

点、、三点共线，，

，为的中点，

，，

由（1）同理可得，

，．

【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键．

28．【分析】（1）①设圆的半径是，点到圆由题意得，圆心的距离记作，切线的长记作，则，比较与即可；

②运用①可得：，从而，进而得出，从而得出的范围；

（2）作，根据勾股定理求出，根据，求得，进而求得结果．

【解答】解：（1）①如图1，

，

在上，

不是的“离心点”，

，

点是的“离心点”，

，

点是的“离心点”，

故答案是，；

②点在上，

，

由题意得，

，

，

，

；

（2）如图2，

可得，，，

过点作于，假设切于，

当时，

，

可知：，

，

，

，

，

根据对称性得，

，

设点纵坐标是，则的范围是：．

【点评】本题考查了与圆的位置关系，即圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质，解决问题的关键是正确理解题意，转化条件．