新教材2023年高中数学第5章计数原理2排列第2课时排列数的应用素养作业北师大版选择性必修第一册

第五章　§2　第2课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　D　)

A．24　　 B．48　　

C．60　　 D．72

[解析]　由题意，可知个位可以从1,3,5中任选一个，有A种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A种方法，所以奇数的个数为AA＝3×4×3×2×1＝72.

2．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字中任取2个不同的数字分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为(　D　)

A．56　　 B．54　　

C．53　　 D．52

[解析]　在8个数中任取2个不同的数可以组成A＝56(个)对数值．但在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个)．

3．从8人中选3人排成一队，其中甲、乙同时参加排队或同时不参加排队，若参加排队，就一定相邻，则不同的排法共有(　C　)

A．252种　　 B．278种

C．144种　　 D．362种

[解析]　若甲、乙都不参加排队，则不同的排法有A＝120(种)；若甲、乙都参加排队，则不同的排法有AAA＝24(种)，所以不同的排法共有120＋24＝144(种)．故选C．

4．我国第一艘航母“辽宁号”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，如果甲机不能最先着舰，而乙机必须在丙机之前着舰(不一定相邻)，那么不同的着舰方法有(　D　)

A．12种　　 B．24种

C．36种　　 D．48种

[解析]　甲机的着舰方法有A种，其余飞机的着舰方法有A种，而乙机与丙机的相对顺序关系有A种，故不同的着舰方法有＝48种．

5．把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比历史先上，那么不同的排法有(　C　)

A．48种　　 B．24种　　

C．60种　　 D．120种

[解析]　五门课程随意安排有A种排法，数学课在历史课前和历史课在数学课前各占总排法数的一半，所以数学课排在历史课前的排法有A＝60(种)．

6．(多选)停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有(　AD　)

A．A种　　 B．AA种

C．8A种　　 D．9A种

[解析]　将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行全排列，共有A＝9A种．

二、填空题

7．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相邻，这样的六位数的个数是_40__.

[解析]　可分为三步来完成这件事：

第一步：先将3,5进行排列，共有A种排法；

第二步：再将4,6插空排列，共有2A种排法；

第三步：将1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有A种排法；

由分步乘法计数原理得，共有2AAA＝40种不同的排法．

8．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_96__.

[解析]　先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A种，因此共有不同的分法4A＝4×24＝96(种)．

9．2021年某地举行博物展，某单位将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该单位展出这5件作品不同的方案有_24__种．(用数字作答)

[解析]　将2件书法作品排列，方法数为2种，然后将其作为1件作品与标志性建筑设计作品共同排列有2种排法，对于其每一种排法，在其形成的3个空位中选2个插入2件绘画作品，故共有不同展出方案：2×2×A＝24种．

三、解答题

10．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．

(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？

(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？

[解析]　(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A种排法，故共有不同排法AA＝14 400种．

(2)先不考虑排列要求，有A种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有AA种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A－AA)＝37 440种．

11．从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有实根的方程有多少个？

[解析]　先考虑组成一元二次方程的问题．

首先确定a，只能从1,3,5,7中选一个，有A种，然后从余下的四个数中任选两个作b，c，有A种，又0,1,3,5,7并无公因数，故由分步乘法计数原理知，组成的一元二次方程共AA＝48(个)．

方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)要有实根，必须满足Δ＝b2－4ac≥0.分类讨论如下：

当c＝0时，a，b可以从1,3,5,7中任取两个，一元二次方程有A个；

当c≠0时，分析判别式知b只能取5,7中的一个．

当b取5时，a，c只能取1,3这两个数，一元二次方程有A个；

当b取7时，a，c可取1,3或1,5这两组数，一元二次方程有2A个．

此时共有(A＋2A)个一元二次方程．

由分类加法计数原理知，有实根的一元二次方程共有A＋A＋2A＝18(个)．

B　组·素养提升

一、选择题

1．某地为了迎接2021年运动会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是(　C　)

A．1 205秒　　 B．1 200秒

C．1 195秒　　 D．1 190秒

[解析]　由题意每次闪烁共5秒，所有不同的闪烁为A个，相邻两个闪烁的时间间隔为5秒，因此需要的时间至少是5A＋(A－1)×5＝1 195秒．

2．有4本不同的书A、B、C、D，要分给三个同学，每个同学至少分一本，书A、B不能分给同一人，则这样的分法共有(　C　)

A．18种　　 B．24种　　

C．30种　　 D．36种

[解析]　4本不同的书分给三个同学，共有6A＝36，书A、B分给同一人有A＝6，所以共有36－6＝30种，故选C．

3．把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有(　B　)

A．48　　 B．36　　

C．30　　 D．24

[解析]　将A，B捆绑在一起，有A种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A种摆法，共有AA种摆法，而A，B，C 3件产品在一起，且A，B相邻，A，C相邻时有2种情况，将这3件产品与剩下2件产品全排列，有2A种摆法．故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有AA－2A＝36(种)．

4．用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位数字的六位数共有(　A　)

A．300个　　 B．464个

C．600个　　 D．720个

[解析]　方法1：确定最高位有A种不同方法．确定万位、千位、百位，从剩下的5个数字中取3个排列，共有A种不同的方法，剩下两个数字，把大的排在十位上即可，由分步乘法计数原理知，共有A·A＝300(个)．

方法2：由于个位数字大于十位数字与个位数字小于十位数字的应各占一半，故有A·A＝300(个)．

二、填空题

5．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为_576__.

[解析]　“不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件，由间接法可得A－AA＝576.

6．如图是一个正方体纸盒的展开图，若把1,2,3,4,5,6分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则所得到的正方体相对面上的两个数的和都相等的概率是___.

[解析]　6个数任意填入6个小正方形中有A＝720种方法；将6个数分三组(1,6)，(2,5)，(3,4)，每组中的两个数填入一对面中，共有不同填法A×2×2×2＝48种，故所求概率P＝＝.

三、解答题

7．用0、1、2、3、4五个数字：(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．

[解析]　(1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有4×5×5×5×5＝2 500(个)．

(2)方法1：先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A种填法，其余四个位置四个数字共有A种，

故共有A·A＝96(个)．

方法2：先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入有A种方法，其余四个数字全排有A种方法，

故共有A·A＝96(个)．

(3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类：

①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排，先填百位A，其余任排有A，故有2A·A种．

②不取0，则只能取3，从1或4中再任取一个，再取2然后进行全排为2A，所以共有2AA＋2A＝8＋12＝20(个)．

(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个填入个位有A种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A种填法，包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为A，故共有A·A·A＝36(个)．

8．4名男同学和3名女同学站成一排．

(1)7名同学中，甲、乙、丙排序一定(只考虑位置的前后顺序)，有多少种不同的排法？

(2)甲不在最左端，乙不在最右端，有多少种不同的排法？

(3)7名同学中，甲乙两名同学之间必须恰有3名同学，有多少种不同的排法？

(4)7名同学中，甲、乙两名同学相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？

(5)女同学从左到右按从高到矮的顺序排，有多少种不同的排法？ (3名女生身高互不相等)

[解析]　(1)7名同学的所有排法有A种，其中甲、乙、丙的排序有A种，所以甲、乙、丙排序一定的排法有＝840(种)．

(2)方法1：甲不在最左端，按甲的排法分类：

若甲在最右端，则有A种排法；若甲不在最右端，则甲有A种排法，乙有A种排法，其余同学有A种排法．综上，不同的排法共有A＋AAA＝＝3 720(种)．

方法2：在排列时，先不考虑甲、乙站位的要求，有A种站法，甲在最左端的站法有A种，乙在最右端的站法有A种，而甲在最左端且乙在最右端的站法有A种，故不同的排法有A－2A＋A＝3 720(种)．

(3)先排甲、乙两名同学，有A种排法，再从余下5名同学中选3名同学排在甲、乙两名同学中间，有A种排法，这时把已排好的5名同学视为一个整体，与最后剩下的2名同学进行全排列，有A种排法，故不同的排法共有AAA＝720(种)．

(4)先排除甲、乙、丙3名同学以外的其他4名同学，有A种排法，由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有A种排法，最后把排好的甲、乙看作一个整体与丙分别插入原先排好的4名同学形成的5个空位中，有A种排法，故不同的排法共有AAA＝960(种)．

(5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，有A种排法，然后在余下的3个位置中排女生，由于要求女生从左到右按从高到矮的顺序排，故女生的排法只有1种，故不同的排法共有A×1＝840(种)．