新教材2023年高中数学第5章计数原理1计数原理素养作业北师大版选择性必修第一册

第五章　§1　

A　组·素养自测

一、选择题

1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为(　C　)

A．182　　 B．14　　

C．48　　 D．91

[解析]　由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48，故选C．

2．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，至多5个，则不同的分法共有(　A　)

A．4种　　 B．5种　　

C．6种　　 D．7种

[解析]　分类考虑，若最少一堆是1个，那由至多5个知另两堆分别为4个、5个，只有一种分法；若最少一堆是2个，则由3＋5＝4＋4知有2种分法；若最少一堆是3个，则另两堆为3个、4个，故共有分法1＋2＋1＝4种．

3．如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同涂色方法种数为(　C　)

A．24种　　 B．48种

C．72种　　 D．96种

[解析]　方法1：分两种情况：

(1)A、C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B、D各有1种，由分步乘法计数原理知有4×3×2＝24种．

(2)A、C同色，先涂A有4种，E有3种，B、D各有2种，由分步乘法计数原理知有4×3×2×2＝48种．

由分类加法计数原理知，共有72种，故选C．

方法2：先涂A，有4种涂法，再涂B、D，①若B与D同色，则B有3种，E有2种，C有2种，共有4×3×2×2＝48种；

②若B与D不同色，则B有3种，D有2种，E有1种，C有1种，共有4×3×2×1×1＝24种，

由分类加法计数原理知，共有不同涂法48＋24＝72种．

4．已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a、b、c∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有(　C　)

A．125个　　 B．15个　　

C．100个　　 D．10个

[解析]　由题意可得a≠0，可分以下几类，

第一类：b＝0，c≠0，此时a有4种选择，c也有4种选择，共有4×4＝16个不同的函数；

第二类：c＝0，b≠0，此时a有4种选择，b也有4种选择，共有4×4＝16个不同的函数；

第三类：b≠0，c≠0，此时a，b，c都各有4种选择，共有4×4×4＝64个不同的函数；

第四类：b＝0，c＝0，此时a有4种选择，共有4个不同的函数．

由分类加法计数原理，可确定不同的二次函数共有N＝16＋16＋64＋4＝100(个)．故选C．

5．体育老师把9个相同的足球放入编号为1,2,3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不小于其编号，则不同的放球方法有(　B　)

A．8种　　 B．10种

C．12种　　 D．16种

[解析]　首先在三个箱子中放入个数与编号相同的球，这样剩下三个足球，这三个足球可以随意放置，第一种方法，可以在每一个箱子中放一个，有1种结果；第二种方法，可以把球分成两份，1和2，这两份在三个位置，有3×2＝6种结果；第三种方法，可以把三个球都放到一个箱子中，有3种结果．

综上可知共有1＋6＋3＝10种结果．

6．(多选)某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是(　BD　)

A．此人有4种选课方式

B．此人有5种选课方式

C．自习不可能安排在第2节

D．自习可安排在4节课中的任一节

[解析]　由于生物在B层，只有第2,3 节有，故分两类：

若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法，其他两节政治、自习任意选即可，故有2×2＝4种(此种情况自习可安排在第1,3,4节中的某节)；

若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种．

根据分类加法计数原理可得选课方式有4＋1＝5种．

综上，自习可安排在4节课中的任一节．

二、填空题

7．如图，在由开关组A与B组成的并联电路(规定只能合上其中一个开关)中，接通电源使灯泡发光的方法有_5__种．

[解析]　要完成的“一件事”是“使灯泡发光”，在由开关组A与B组成的并联电路中，只要合上题图中的任一开关，接通电源，灯泡就会发光．因此接通电源使灯泡发光的方法有2＋3＝5(种)．

8．有A，B，C型号的高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4名操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型号的电脑，而丁只会操作A型号的电脑．从这4名操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有_8__种．

[解析]　要完成“从4名操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑”这件事，可分四类：第一类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型号的电脑，故有2×2×1＝4(种)选派方法；第二类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型号的电脑，故有2种选派方法；第三类，选甲、丙、丁3人，这时只有1种选派方法；第四类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种选设方法．根据分类加法计数原理，知共有4＋2＋1＋1＝8(种)选派方法．

三、解答题

9．已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数是多少？

[解析]　圆方程由三个量a，b，r确定，a，b，r分别有3种、4种、2种选法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为3×4×2＝24(个)．

10．一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．

(1)某人要从两个袋子中任取一张供自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？

(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？

[解析]　(1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况：

第1类，从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种取法；

第2类，从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种取法．

根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22(种)取法．

(2)想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行：

第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法；

第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法．

根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120(种)取法．

B　组·素养提升

一、选择题

1．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　B　)

A．243　　 B．252　　

C．261　　 D．279

[解析]　由分步乘法计数原理知，用0,1，…，9十个数字组成的三位数的个数为9×10×10＝900，组成无重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，因此组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.

2．大学生小王和小张即将参加实习，他们分别从荆州市荆州中学，荆门市龙泉中学、钟祥一中，襄阳市第四中学、第五中学，宜昌市第一中学、夷陵中学这七所省重点中学中随机选择一所参加实习，两人可选同一所或者两所不同的学校，假设他们选择哪所学校是等可能的，则他们在同一个市参加实习的概率为(　C　)

A．　　 B．　　　　

C．　　 D．

[解析]　由题意知，两人从七所学校中随机选择一所参加实习，共有7×7＝49种选法，他们在同一个市参加实习共有1×1＋2×2＋2×2＋2×2＝13种选法，所以他们在同一个市参加实习的概率为，故选C．

3．从集合{0,1,2,3,4,5}中任取两个互不相等的数组成形如a＋bi的复数，其中虚数有(　C　)

A．36个　　 B．30个　　

C．25个　　 D．20个

[解析]　第一步，取b的值，有5种方法；第二步，取a的值，也有5种方法．由分步乘法计数原理得，共有5×5＝25个虚数．

4．舞蹈演员甲有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有(　B　)

A．24种　　 B．14种　　

C．10种　　 D．9种

[解析]　由题意可得，舞蹈演员甲有4×3＋2＝14种不同的选择方式．

二、填空题

5．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有不同的取法_242__种．

[解析]　取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有10×9＝90(种)不同取法；

取两本书中，一本语文、一本英语，有9×8＝72(种)不同取法；

取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8＝80(种)不同取法．

综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有90＋72＋80＝242(种)不同取法．

6．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示1－9的一种方法，则据此，3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的两位数的个数为_16__.

[解析]　根据题意，6根算筹可以表示的数字组合为1,5；1,9；2,4；2,8；6,4；6,8；3,3；3,7；7,7.

数字组合1,5；1,9；2,4；2,8；6,4；6,8；3,7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2×7＝14个两位数；

数字组合3,3；7,7中，每组可以表示1个两位数，则可以表示2×1＝2个两位数．

综上，共可以表示14＋2＝16个两位数．

三、解答题

7．4个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己的贺年卡，共有多少种不同取法？

[解析]　将该问题转化为“用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数，要求1不在个位、2不在十位、3不在百位、4不在千位的四位数有多少个”．因此，可分三步，第一步确定个位数，有3种不同的方法；第二步确定把1放到十位、百位、千位中的任一位上，也有3种不同的方法；第三步，余下的两个数字只有一种方法，由分步计数原理可得不同的分配方法为3×3＝9种．

8．如图，一个长方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？

[解析]　先对A部分种植，有4种不同的种植方法；再对B部分种植，有3种不同的种植方法；对C部分种植进行分类：

①若与B相同，D有2种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×1×2×2＝48(种)；

②若与B不同，C有2种不同的种植方法，D有1种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×2×1×2＝48(种)；综上所述，共有96种种植方法．