北师大版（2019） 高中数学 选择性必修第一册 第五章 计数原理 章末测评卷（含解析）

《第五章  计数原理》章末测评卷

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.若的二项式展开式中二项式系数的和为32,则正整数n的值为(　　)

A.7 B.6

C.5 D.4

2.2022年某省实行“3+1+2”新高考模式,学生选科时语文、数学、英语三科必选,物理、历史两科中选择1科,政治、地理、化学、生物四科中选择2科,则学生不同的选科方案共有(　　)

A.6种 B.12种

C.18种 D.24种

3.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b,组成复数a+bi,其中虚数有(　　)

A.36个 B.42个

C.30个 D.35个

4.的展开式中的常数项为(　　)

A.-6 B.-2

C.2 D.6

5.设(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则a1+a3+a5=(　　)

A.61 B.121

C.122 D.224

6.1+(1+x)6的展开式中x的系数为(　　)

A.6 B.15

C.18 D.21

7.如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数是(　　)

A.72 B.96

C.108 D.120

8.某医院抽调3名医生,5名护士支援某市的三家医院,规定每家医院医生一名,护士至少一名,则不同的安排方案有(　　)

A.900种 B.1 200种

C.1 460种 D.1 820种

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.现安排高二年级A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每名同学只能选择一个工厂,且允许多人选择同一个工厂,则下列说法正确的是(　　)

A.所有可能的情况有34种

B.若工厂甲必须有同学去,则不同的安排方法有37种

C.若同学A必须去工厂甲,则不同的安排方法有16种

D.若三名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有24种

10.对于m≤n,m∈N,n∈N+,下列排列组合数,结论正确的是(　　)

A.

B.

C.=(m+1)

D.(n+1)=(m+1)

11.已知二项式ax-6,则下列说法正确的是(　　)

A.若a=1,则展开式中的常数项为15

B.若a=2,则展开式中各项系数之和为1

C.若展开式中的常数项为60,则a=2

D.若展开式中各项系数之和为64,则a=2

12.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动,有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排,则以下说法错误的是(　　)

A.若每人都安排一项工作,则不同的方法数为54

B.若每项工作至少有1人参加,则不同的方法数为

C.每项工作至少有1人参加,甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是

D.如果司机工作不安排,其余三项工作至少安排1人,则这5名同学全部被安排的不同方法数为(

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.若6,则正整数n=　　　　　.

14.在某市举办的中学生运动会上,将4名同学全部分配到田径、游泳和球类3个不同比赛项目做志愿者,共有　　　　　种不同分配方法;若每个项目至少需要1名志愿者,则不同的分配方法有　　　　　种(用数字作答).

15.“隔板法”是排列组合问题中的一种解题模型,多应用于“实际分配问题”.例如:8个完全相同的球全部放到3个不同的盒子中,每个盒子至少一个,有多少种不同的分配方法.在解决本题时,我们可以将8个球排成一行,8个球出现了7个空档,再用两块隔板把8个球分成3份即可,故有种分配方法.请试写出一道利用“隔板法”解决的题目:                     　

(答案不唯一,合理即可).

16.元宵节灯展后,如图悬挂有6盏不同的花灯需要取下,每次取1盏,共有　　　　　种不同取法(用数字作答).

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)10件不同厂生产的同类产品:

(1)在某商品评选会上,有2件商品不能参加评选,要选出4件商品,并排定选出的4件商品的名次,有多少种不同的方法?

(2)若要选6件商品放在六个不同的位置上陈列,且必须将获金质奖章的两件商品放上,有多少种不同的布置方法?

18.(12分)在杨辉三角形中,每一行除首末两个数之外,其余每个数都等于它肩上的两数之和.

(1)试用组合数表示这个一般规律;

(2)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数,使它们的比是3∶4∶5,并证明你的结论.

19.(12分)在①a2=60,②二项式系数之和为64,③二项式系数最大项为第4项这三个条件中任选一个,补充在下面横线中,已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N+),　　　　　,求:

(1)n的值;

(2)-+…+(-1)n的值.

20.(12分)5名男生,2名女生站成一排照相. 求在下列约束条件下,有多少种不同的站法.

(1)女生不站在两端;

(2)女生相邻;

(3)女生不相邻;

(4)站成两排,前排3人,后排4人.

21.(12分)已知n的展开式中,前三项的系数依次为a,b,c,且满足2b=a+c.

(1)求正整数n;

(2)求展开式中的有理项;

(3)求展开式中系数最大的项.

22.(12分)已知m,n是正整数,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为7.

(1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m,n,求出此时x3的系数;

(2)利用上述结果,求f(0.003)的近似值.(精确到0.01)

参考答案

一、单项选择题

1.C　

2.B　根据题意,分两步进行分析:

先在物理、历史两科中选择1科,有2种选法,

再从政治、地理、化学、生物四科中选择2科,有=6(种)选法,

则有2×6=12(种)选法.故选B.

3.A　4.A　5.C　

6.D　1+(1+x)6的展开式中x的系数为1×+1×=6+15=21.故选D.

7.B　第一步,涂区域1,有4种方法;第二步,涂区域2,有3种方法;第三步,涂区域4,有2种方法(此前三步已经用去三种颜色);第四步,涂区域3,分两类:第一类,3与1同色,则区域5涂第四种颜色;第二类,区域3与1不同色,则涂第四种颜色,此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色,有3种方法.所以不同的涂色种数为4×3×2×(1×1+1×3)=96.故选B.

8.A　根据题意,分两步进行分析:

①将3名医生安排到三家医院,有=6(种)安排方法,

②将5名护士分为3组,安排到三家医院,有=150(种)安排方法,

则有6×150=900(种)不同的安排方案.故选A.

二、多项选择题

9.BCD　对于选项A,每人有4种选择,则三人一共有4×4×4=43(种)方法,A错误;

对于选项B,分三种情况讨论:①若有1名同学去甲工厂,则情况为,另外两名同学的安排方法有3×3=9(种),此种情况共有×9=27(种)方法,

②若有两名同学去甲工厂,则同学选派方法有种,另外一名同学的排法有3种,此种情况共有×3=9(种)方法,

③若三名同学都去甲工厂,此种情况唯一,则共有27+9+1=37(种)安排方法,B正确;

对于选项C,若A必去甲工厂,则B,C两名同学各有4种安排,共有4×4=16(种)安排方法,C正确;

对于选项D,若三名同学所选工厂各不同,则共有=24(种)安排方法,D正确.

故选BCD.

10.ABD　显然AB正确.

∵=(n+1)n(n-1)…(n-m+1),(m+1)=(m+1)n(n-1)…(n-m+1),故C错误;

∵(n+1)=(n+1)·,

(m+1)=(m+1)·,故D正确,故选ABD.

11.AB　二项式ax-6,

对于选项A,若a=1,则x-6的二项式通项Tk+1=·(-1)k·,

令6-k=0,得k=4,

故所求常数项为=15,故A正确;

对于选项B,若a=2,则展开式中各项系数之和为(2-1)6=1,故B正确;

对于选项C,的二项式通项Tk+1=·(-1)k·a6-k·,

令6-k=0,解得k=4,

故所求常数项为·a2=15a2=60,解得a=±2,故C错误;

对于选项D,若展开式中各项系数之和为64,即(a-1)6=64=26,解得a=-1或a=3,故D错误.

故选AB.

12.ABD　根据题意,依次分析选项:

对于A,安排5人参加4项工作,若每人都安排一项工作,每人有4种安排方法,则有45种安排方法,故A错误;

对于B,根据题意,分两步进行分析,先将5人分为4组,再将分好的4组全排列,安排4项工作,有种安排方法,故B错误;

对于C,根据题意,分2种情况讨论,①从丙、丁、戊中选出2人开车,②从丙、丁、戊中选出1人开车,则有种安排方法,故C正确;

对于D,分2步分析,需要先将5人分为3组,有种分组方法,将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作,有种情况,则有种安排方法,D错误.故选ABD.

三、填空题

13.5　若6,则6×=n(n-1)(n-2),求得n=5.

14.81　36　对于第一空:每个学生都可以被分配到运动会的田径、游泳和球类3个不同比赛项目中的一个,有3种分配方法,则4名同学有3×3×3×3=81(种)分配方法;对于第二空:分2步进行分析:①先将4名同学分成3组,有=6(种)分组方法,②将分好的三组全排列,安排到3个不同比赛项目,有=6(种)情况,则有6×6=36(种)不同的分配方法.

15.8本完全相同的书分给3位同学,有多少种不同的分配方法.

16.90　因为取灯时每次只能取一盏,所以每串灯必须先取下面的灯,即每串两个灯取下的顺序确定,问题转化为求六个元素排列,其中甲在乙前,丙在丁前,戊在己前的排列数,先将六个元素全排列共有种排法,因为甲乙顺序确定,丙丁顺序确定,戊己顺序确定,所以六个元素排列甲在乙前、丙在丁前、戊在己前的排法数为=90,即取下6盏不同的花灯,每次取1盏,共有90种不同取法.

四、解答题

17.解(1)10件商品,除去不能参加评选的2件商品,剩下8件,从中选出4件进行排列,有=1 680(种)方法.

(2)先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的2个位置上,有种方法,再从剩下的8件商品中选出4件,布置在剩下的4个位置上,有种方法,

共有=50 400(种)方法.

18.解(1).

(2)设=3∶4∶5,

由,得,即3n-7k+3=0. ①

由,得,即4n-9k-5=0. ②

解①②联立方程组,得n=62,k=27,

即=3∶4∶5.

19.解(1)若选①,因为T3=(-2x)2=a2x2,所以a2=(-2)2=60,化简可得n(n-1)=30,且n∈N+,解得n=6.

若选②,则2n=64,∴n=6.

若选③,则+1=4,∴n=6.

(2)(1-2x)6的二项式通项Tk+1=(-2x)k=akxk,所以ak=(-2)k,所以(-1)k,-+…+(-1)n+…+=26-1=63.

20.解(1)先考虑两端站的人,再考虑其他位置,满足条件的站法有=2 400(种).

(2)将相邻对象捆绑,当作一个对象,与其他对象一起全排列,可得满足条件的站法有=1 440(种).

(3)分两步:

第一步,先排男生,有种站法;

第二步,将2名女生插入男生所形成的6个空(包括两端)中,有种站法.由分步乘法计数原理知,满足条件的站法有=3 600(种).

(4)无论分成多少排,实质都是要在7个不同位置上排7个不同对象,因此满足条件的站法共有=5 040(种).

21.解(1)∵n的展开式中,前三项的系数分别为,

∴2=,即n2-9n+8=0,解得n=1(舍去)或n=8.

(2)∵二项式通项Tk+1=·k·,

当k=0,4,8时,x的幂指数为整数,

故有理项为T1=x4,T5=x,T9=.

(3)设第k+1项的系数最大,

则k∈Z,解得k=2或k=3,

故展开式中系数最大的项为T3=7,T4=7.

22.解(1)根据题意得=7,

即m+n=7, ①

f(x)中的x2的系数为.将①变形为n=7-m代入上式,得x2的系数为m2-7m+21=,

故当m=3或m=4时,x2的系数的最小值为9.

当m=3,n=4时,x3的系数为=5;

当m=4,n=3时,x3的系数为=5.

(2)f(0.003)=(1+0.003)4+(1+0.003)3≈×0.003+×0.003≈2.02.