新教材2023版高中数学第五章计数原理章末复习课学案北师大版选择性必修第一册

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第五章 章末复习课一、两个计数原理的综合应用1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理很少单独命题，多与排列、组合等问题相结合，以选择题或填空题的形式考查，难度适中，属中档题．2．应用两个原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成还是分步完成，而分类与分步的区别又在于任取其中某一方法是否能完成事件，能完成便是分类，否则便是分步．对于有些较复杂问题可能既要分类又要分步，此时，应注意层次分明，不重不漏．例1　(1)某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(　　)A．14 B．16C．20 D．48 (2)如图，一个地区分为5个行政区域，现给区域着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．(以数字作答)跟踪训练1　已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6，7，}C＝{8，9}，现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可组成集合的个数为(　　)A．24 B．36C．26 D．27二、排列组合的应用1．排列组合应用题是高考的一个重点内容，常与实际问题相结合进行考查．要认真阅读题干，明确问题本质，灵活利用排列组合的相关公式与方法解题．2．排列组合问题的解决方法主要有：(1)直接法(元素、位置优先考虑法)：①特殊元素分析法：即以元素为主考虑，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．②特殊位置分析法：即以位置为主考虑，先安排有特殊要求的位置，再考虑其他位置．(2)插空法：不相邻问题常用插空法：我们可以根据题目的具体特点．先排某些元素，再将余下的元素进行插空．这样处理有关的排列组合问题，往往能收到良好的解题效果．(3)捆绑法：对于几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个元素，与其他元素排列，然后再考虑它们“内部”的排列，这种解决排列问题的方法称为“捆绑法”．(4)间接法：间接法是求解排列组合问题的常用方法．带有限制条件的排列组合问题，常用“元素分析法”和“位置分析法”，当直接考虑对象较为复杂时，可用逆向思维，使用间接法(排除法)，即先不考虑约束条件，求出所有排列、组合总数，然后减去不符合条件的排列、组合种数．例2　50件产品中有3件是次品，从中任意取4件. (1)至少有1件次品的抽法有多少种？ (2)至多有两件次品的抽法有多少种？ 例3　马路上有9盏路灯，为了节约用电，可以关掉其中的三盏路灯，要求关掉的路灯不能相邻，且不在马路的两头，那么不同的关灯方案共有多少种？例4　用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的五位数，其中恰有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数有多少个？例5　从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？ (1)A，B，C三人至少一人入选； (2)A，B，C三人至多二人入选. 跟踪训练2　(1)[多选题]甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(　　)A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C．甲乙不相邻的排法种数为72种D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种(2)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有不同的选法种数为(　　)A．420 B．660C．840 D．880三、二项式定理的应用对于二项式定理的考查常出现两类问题：一类是直接运用通项公式来求特定项；另一类需要运用转化思想化归为二项式定理来处理问题．从近几年高考命题趋势来看，对于本部分知识的考查以基础知识和基本技能为主，难度不大，但不排除与其他知识交汇，具体归纳如下：(1)考查通项公式问题．(2)考查系数问题：①涉及项的系数、二项式系数以及系数的和. ②一般采用通项公式或赋值法解决．③可转化为二项式定理解决问题．例6　(1)在的二项展开式中，x2的系数为(　　)A．－B．C．－D．(2)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是(　　)A．60 B．80C．84 D．120(3)[多选题]若(1＋mx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8且a1＋a2＋…＋a8＝255，则实数m的值可以为(　　)A．－3 B．－1C．0 D．1跟踪训练3　(1)(2－x3)(x＋a)5的展开式的各项系数和为243，则该展开式中x4的系数是(　　)A．5 B．－40C．－60 D．100(2)设(－3＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为________．章末复习课考点聚集·分类突破例1　解析：(1)分两类，第1类：甲企业有1人发言，有2种情况，另两个发言人来自其余4家企业，有6种情况，由分步乘法计数原理，得N1＝2×6＝12；第2类：3人全来自其余4家企业，有N2＝4种情况．综上可知，共有N＝N1＋N2＝12＋4＝16(种)情况. (2)涂①有4种方法；涂②有3种方法；涂③有2种方法；涂④时分两类：当④与②同色时，④有1种方法，⑤有2种方法；当④与②不同色时，④有1种方法，⑤有1种方法．∴共有4×3×2×(1＋2)＝72种涂法．答案：(1)B　(2)72跟踪训练1　解析：分三类情况：从集合A、B中各选一个元素组成的集合有4×3个，从A、C中选一个元素组成的集合有4×2个，从B、C中各选一个元素组成的集合有3×2个，所以共有4×3＋4×2＋3×2＝26(个).答案：C例2　解析：抽取的4件产品中至少有1件次品分为有1件次品、2件次品、3件次品3种情况：有1件次品的抽法有种；有2件次品的抽法有种；有3件次品的抽法有种．根据分类加法计数原理，至少有1件次品的抽法共有＋＋＝51 935种．(2)抽取的4件产品中至多有2件次品的抽法分没有次品、有1件次品、有2件次品3种情况，根据分类加法计数原理，共有＋＋＝230 253种抽法．例3　解析：本题可以看成被关掉的路灯夹在6盏亮着的灯的空当里.6盏亮着的灯排在一起，中间有5个空当，从5个空当中选出某3个，插进去三盏关掉的路灯，因此，不同的关灯方案共有＝10种．例4　解析：第一步：先将两个偶数排好，有种不同的排法；第二步：两个偶数之间的奇数，可以有种选择；第三步：将两个偶数和它们中间的奇数捆在一起，与另外两个奇数排列，有种不同的排法．由分步乘法计数原理，适合题意的五位数共有··＝36个．例5　解析：(1)解法一　(直接法)可分三类，①A，B，C三人只选一人，有·＝378种，②A，B，C三人中选择二人，则还需从其余9人中选3人，有·＝252种，③A，B，C三人都入选则有·＝36种，所以A，B，C三人至少一人入选，共有378＋252＋36＝666种选法．解法二　(间接法)先从12人中任选5人，再减去A，B，C三个都不选的情况，共有－＝666种．(2)解法一　(直接法)可分三类，①A，B，C三人都不入选，有种，②A，B，C三人只选一人，有·＝378种，③A，B，C三人中选二人，有·＝252种，所以A，B，C三人至多二人入选，共有＋·＋·＝756种选法．解法二　(间接法)先从12人中任选5人，再减去A，B，C三人均入选的情况，即A，B，C三人至多二人入选，有－＝756种选法．跟踪训练2　解析：(1)A. 甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有＝24种，故A正确．B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有＋＝42种，故B正确．C．甲乙不相邻的排法种数为＝72种，故C正确．D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有＝20种，故D正确．(2)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，共有·＝840种选法，其中不含女生的有＝180种选法，所以服务队中至少有1名女生的选法种数为840－180＝660.答案：(1)ABCD　(2)B例6　解析：(1)Tk＋1＝·＝(－1)k·22k－6·x3－k令3－k＝2，得k＝1∴T2＝－6×2－4x2＝－x2.(2)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数为：＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝＋…＋＝＝120.(3)∵(1＋mx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝1，得(1＋m)8＝a0＋a1＋a2＋…＋a8，令x＝0，得a0＝1又a1＋a2＋…＋a8＝255∴(1＋m)8－1＝255∴(1＋m)8＝256＝28∴1＋m＝2或1＋m＝－2∴m＝1或m＝－3.答案：(1)C　(2)D　(3)AD跟踪训练3　解析：(1)当x＝1时，(2－x3)(x＋a)5＝(1＋a)5＝243∴a＝2∴(2－x3)(x＋a)5＝(2－x3)(x＋2)5展开式中x4的系数是：2×2＋(－1)×24＝－60.(2)令x＝1得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1①又Tk＋1＝ (－3)4－k(2x)k∴当k＝4时，x4的系数a4＝16②由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15.答案：(1)C　(2)－15