高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 组合第1课时巩固练习

第五章　§3　第1课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．集合M＝{x|x＝C，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是(　D　)

A．M∪Q＝{0,1,2,3,4}　　 B．Q⊆M

C．M⊆Q　　 D．M∩Q＝{1,4}

[解析]　由C知n＝0,1,2,3,4，因为C＝1，C＝4，C＝＝6，C＝C＝4，C＝1，所以M＝{1,4,6}．故M∩Q＝{1,4}．

2．方程Cx2－x16＝C的解集为(　A　)

A．{1,3}　　 B．{3,5}

C．(1,3)　　 D．{1,3,5，－7}

[解析]　因为Cx2－x16＝C，

所以x2－x＝5x－5　①，

或(x2－x)＋(5x－5)＝16　②，

解①可得x＝1或x＝5(舍去)，解②可得x＝3或x＝

－7(舍)，所以该方程的解集是{1,3}．

3．若C－C＝C，则n等于(　C　)

A．12　　 B．13

C．14　　 D．15

[解析]　因为C－C＝C，即C＝C＋C＝C，所以n＋1＝7＋8，即n＝14.

4．组合数C(n>r≥1，n，r∈N)恒等于(　D　)

A．C　　 B．(n＋1)(r＋1)C

C．nrC　　 D．C

[解析]　C＝·＝＝C.

5．C＋C＋C＋C＋C＝(　D　)

A．35　　 B．54

C．56　　 D．70

[解析]　C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C

＝C＋C＋C＋C

＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝＝70.

6．(多选)下面结论正确的是(　CD　)

A．所有元素完全相同的两个排列为相同排列

B．一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序

C．两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同

D．排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了

[解析]　A错误．当两个排列的所有元素完全相同，但其排列顺序不同时，仍然不是相同排列，所以错误．B错误．因为相同的组合与元素的顺序无关，只与元素是否相同有关，所以该说法错误．C正确．当两个组合的元素完全相同时，能得出这两个组合是相同组合；当两个组合相同时，能得出它们的元素完全相同．D正确．由定义易知，取出的元素各不相同，因此取了的不能再取了．故选CD．

二、填空题

7．C＝15，则n＝_6__.

[解析]　C＝＝15，

∴n2－n－30＝0，

∴(n－6)(n＋5)＝0，

∴n＝6或n＝－5(舍去)．

8．已知5C＝(n＋7)C＋3A，则n＝_2__.

[解析]　∵5C＝(n＋7)C＋3A，

∴5×＝(n＋7)×＋3×(n＋3)(n＋2)，

∴5×＝(n＋7)×＋3×(n＋3)(n＋2)，

∴＝＋3，

∴n∈N*，解得n＝2.

三、解答题

9．解不等式C>C＋2C＋C.

[解析]　因为C＝C，所以原不等式可化为C>(C＋C)＋(C＋C)，

即C>C＋C，也就是C>C，

所以>，

即(n－3)(n－4)>20，

解得n>8或n<－1.

又n∈N*，n≥5.

所以n≥9且n∈N*.

10．(1)解方程：C＝C；

(2)求值C＋C.

[解析]　(1)由题意知

或

解得x＝4或6.

(2)由组合数的定义知所以7≤r≤9.又r∈N*，所以r＝7,8,9，

当r＝7时，原式＝C＋C＝46；

当r＝8时，原式＝C＋C＝20；

当r＝9时，原式＝C＋C＝46.

B　组·素养提升

一、选择题

1．(C＋C)÷A的值为(　C　)

A．6　　 B．101

C．　　 D．

[解析]　(C＋C)÷A＝(C＋C)÷A＝C÷A＝÷A＝＝.

2．若C－C＝C(n∈N*)，则n等于(　B　)

A．11　　 B．12

C．13　　 D．14

[解析]　根据题意，C－C＝C变形可得，C＝C＋C；

由组合数的性质可得，C＋C＝C，

即C＝C，

则可得到n＋1＝6＋7⇒n＝12.

3．(多选)C＋C等于(　BD　)

A．C　　 B．C　　

C．C　　 D．C

[解析]　由组合数的性质得：C＋C＝C＝C.

4．若1<k<n，那么与C不相等的是(　D　)

A．C　　 B．C

C．C　　 D．C

[解析]　C＝，

A中，C＝＝，

B中，C＝＝，

C中，C＝＝，

D中，C＝＝，故不相等．

二、填空题

5．若C＝C，则C＝_190__.

[解析]　由C＝C可知n＝20.

∴C＝C＝＝190.

6．C＋C＝_466__.

[解析]　依题意得即

解得≤n≤，又n∈N*，所以n＝10.

故C＋C＝C＋C＝C＋C＝466.

7．已知C＝C＋C＋C，则x＝_3或4__.

[解析]　因为C＝C＋C＋C，

所以C＝C＋C，

所以C－C＝C，

所以C＝C，

所以x＝2x－3，或x＋2x－3＝9，

解得x＝3，或x＝4.

三、解答题

8．求20C＝4(n＋4)C＋15A中n的值．

[解析]　原方程可化为20×

＝4(n＋4)×＋15(n＋3)(n＋2)，

即

＝＋15(n＋3)(n＋2)，

所以(n＋5)(n＋4)(n＋1)－(n＋4)(n＋1)n＝90，

即5(n＋4)(n＋1)＝90，

所以n2＋5n－14＝0，即n＝2或n＝－7.

注意到n≥1且n∈N*，所以n＝2.

9．证明：

(1)C＝C＝C；

(2)m！＋＋＋…＋＝m！C.

[解析]　(1)C＝·＝＝C，C

＝·＝＝C，

故C＝C＝C.

(2)左边

＝m！

＝m！(1＋C＋C＋…＋C)

＝m！(C＋C＋C＋…＋C)①

＝m！(C＋C＋…＋C)②

＝…

＝m！C

＝右边，

故等式成立．