高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.1 直线与圆锥曲线的交点同步练习题

第二章　§4　4.1　

A　组·素养自测

一、选择题

1．若过点P(1,1)的直线与抛物线y2＝2x只有一个公共点，则这样的直线的条数是(　A　)

A．1　　 B．2　　

C．3　　 D．4

[解析]　由于点P(1,1)在抛物线y2＝2x的内部，所以过点P只有一条平行于x轴的直线与抛物线有一个公共点．故选A．

2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　A　)

A．相交　　 B．相切　　

C．相离　　 D．不确定

[解析]　∵y＝kx－k＋1，∴y－1＝k(x－1)，过定点(1,1)，定点在椭圆＋＝1内部，故选A．

3．若直线l：x－y－1＝0与椭圆C：x2＋＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　D　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　联立方程可得消去y化简得3x2－2x－1＝0，解得x1＝1，x2＝－，即两交点坐标为(1,0)，，根据两点间的距离公式可得|AB|＝＝.故选D．

4．不论k为何值，直线y＝k(x－2)＋b与曲线x2－y2＝1总有公共点，则b的取值范围是(　B　)

A．(－，)　　 B．[－，]

C．(－2,2)　　 D．[－2,2]

[解析]　直线恒过点(2，b)．只要点(2，b)在双曲线上或双曲线的内部(即含焦点的区域)，则直线l与双曲线x2－y2＝1总有公共点．当x＝2时，y2＝x2－1＝3，即y＝±，故b∈[－，]，故选B．

5．直线y＝x＋3与曲线－＝1(　D　)

A．没有交点　　 B．只有一个交点

C．有两个交点　　 D．有三个交点

[解析]　当x≤0时，曲线方程为＋＝1，与直线方程联立并消元得13x2＋24x＝0，解得x1＝0，x2＝－，此时直线与曲线有两个交点，当x>0时，曲线方程为－＝1，与直线方程联立并消元得5x2－24x＝0，解得x1＝0(舍去)，x2＝，此时直线与曲线有一个交点．综上，直线与曲线有三个交点，故选D．

6．(多选)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，则(　AC　)

A．椭圆C1的方程为＋y2＝1

B．椭圆C1的方程为＋＝1

C．直线l的方程y＝x＋或y＝－x－

D．直线l的方程y＝－x＋或y＝x－

[解析]　∵椭圆左焦点为F1(－1,0)，

∴a2－b2＝1，又∵点P(0,1)在椭圆上，

∴b＝1，∴a＝.故椭圆方程为＋y2＝1.

∵直线l与椭圆C1和抛物线C2都相切，

∴其斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，

由得

(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，

由题意得Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0，

∴m2＝2k2＋1①

由得ky2－4y＋4m＝0，

∴Δ＝1－mk＝0，∴mk＝1，②

由①②得或

∴直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.

二、填空题

7．过点(0，－1)且与抛物线y2＝4x相切的直线方程为_x＝0或x＋y＋1＝0__.

[解析]　过点(0，－1)且斜率不存在的直线方程为x＝0，与抛物线相切．

过点(0，－1)斜率存在的直线方程为y＝kx－1(k≠0)，

由得ky2－4y－4＝0，

Δ＝16＋16k＝0，∴k＝－1.

∴直线方程为y＝－x－1.

综上可知，所求直线方程为x＝0或x＋y＋1＝0.

8．若直线l：y＝kx＋2与双曲线C：－y2＝1的右支交于两个不同点，则k的取值范围是___.

[解析]　联立直线与双曲线方程并消去y得(1－2k2)x2－8kx－10＝0.由于直线l与双曲线C的右支交于两个不同点，则

解得－<k<－.

故k的取值范围是.

三、解答题

9．若直线y＝kx＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求实数m的取值范围．

[解析]　方法1(代数法)：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知0<m<5.

由消去y，得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.

又直线与椭圆总有公共点，所以Δ≥0对于一切实数k恒成立，

即(10k)2－4(m＋5k2)×5(1－m)≥0，即5k2≥1－m对一切实数k恒成立，所以1－m≤0，即m≥1.

故m的取值范围为[1,5)．

方法2(几何法)：已知直线y＝kx＋1过定点(0,1)．

因为椭圆＋＝1的焦点在x轴上，所以0<m<5，则短半轴长为.

由图(图略)可知只要定点(0,1)在椭圆内或椭圆上，直线与椭圆就恒有公共点，所以≥1，即m≥1.

故m的取值范围为[1,5)．

10．如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.

(1)求实数b的值；

(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

[解析]　(1)方法1：由得x2－4x－4b＝0(*)．

由直线l与抛物线C相切，得Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.

故实数b的值为－1.

方法2：设A(2t，t2)，则抛物线在点A处的切线方程为2tx＝2(y＋t2)，即y＝tx－t2.由条件知t＝1，所以b＝－t2＝－1.

(2)由(1)知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0，解得x＝2.

将其代入x2＝4y，得y＝1，即点A的坐标为(2,1)．

又圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2.

故圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.

B　组·素养提升

一、选择题

1．若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　B　)

A．0或1　　 B．2

C．1　　 D．0

[解析]　由直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，得>2，

即m2＋n2<4，所以＋≤＋<1，故点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，所以过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1有2个交点．故选B．

2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，若直线y＝x与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线C的离心率为(　D　)

A．　　 B．5　　

C．　　 D．

[解析]　由方程组消去y，得x2－x＋1＝0.根据题意，Δ＝2－4×1×1＝0，即2＝4，所以离心率e＝＝＝＝.故选D．

3．已知抛物线y2＝8x，过点A(2,0)作倾斜角为的直线l，若l与抛物线交于B，C两点，弦BC的中垂线交x轴于点P，则线段AP的长为(　A　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．8

[解析]　直线l的方程为y＝(x－2)，将直线l的方程与抛物线的方程y2＝8x联立，消去x得，y2－8y－16＝0，设BC的中点为M(xM，yM)，则yM＝，所以xM＝，即M，所以弦BC中垂线的方程为y－＝－，令y＝0得P.故|AP|＝＝.故选A．

4．已知抛物线y2＝2px(p>0)上三点A(2,2)，B，C，直线AB，AC是圆(x－2)2＋y2＝1的两条切线，则直线BC的方程为(　B　)

A．x＋2y＋1＝0　　 B．3x＋6y＋4＝0

C．2x＋6y＋3＝0　　 D．x＋3y＋2＝0

[解析]　把点A(2,2)代入抛物线方程可得p＝1，所以抛物线的方程为y2＝2x，又直线AB，AC是圆(x－2)2＋y2＝1的两条切线，设切线方程为y－2＝k(x－2)，因为圆心到切线的距离等于半径，则有1＝，解得k＝±，不妨设直线AB的方程为y－2＝(x－2)，则直线AC的方程为y－2＝－(x－2)，联立直线AB和抛物线的方程可求得B，同理可求得C，由直线的两点式方程可得，直线BC的方程为3x＋6y＋4＝0.故选B．

二、填空题

5．过点P(1,2)与双曲线C：2x2－y2＝2有且只有一个公共点的直线共_4__条．

[解析]　将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，当经过点(1,2)的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，直线x＝1与x2－＝1的图形有且只有1个公共点．

当经过点(1,2)的直线斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－1)＋2，代入双曲线的方程整理得(2－k2)x2＋(2k2－4k)x－k2＋4k－6＝0.

(1)当2－k2＝0，k＝±时，y＝±(x－1)＋2，直线与双曲线的渐近线y＝±x平行，直线与双曲线只有1个公共点；

(2)当k≠±时，由Δ＝(2k2－4k)2－4×(2－k2)(－k2＋4k－6)＝－32k＋48＝0，解得k＝，此时直线与双曲线相切，只有1个公共点．

综上，过点P(1,2)且与双曲线只有一个公共点的直线有4条．

6．直线3x－4y＝1与双曲线－＝1的位置关系是_相交__.

[解析]　方法1：联立直线与双曲线的方程得消去y得－6x＋1＝144，这是一个一元一次方程，解得x＝－，代入3x－4y＝1得y＝－，即方程组有唯一解．故直线3x－4y＝1与双曲线相交．

方法2：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，即3x±4y＝0，而直线3x－4y＝1与其中一条渐近线3x－4y＝0平行．故直线3x－4y＝1与双曲线相交．

三、解答题

7．若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．

[解析]　∵直线l与曲线C恰好有一个公共点，∴以方程组只有一组实数解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0(*)．

(1)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程(*)是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解

(2)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程(*)是关于x的一元二次方程．

由Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝－或a＝0(舍去)．此时方程组有唯一解

综上，实数a的取值集合是.

8．已知F1，F2分别是椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点．

(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，·＝－，求点P的坐标；

(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．

[解析]　(1)∵椭圆方程为 ＋y2＝1，∴a＝2，b＝1，c＝，可得F1(－，0)，F2(，0)，设P(x，y)(x>0，y>0)，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3＝－，由得解得即P.

(2)依题意设l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，由Δ＝(16k)2－4(1＋4k2)×12>0，得k2>.

x1＋x2＝－，x1x2＝.

∠AOB为锐角，即·>0，即x1x2＋y1y2>0，即x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)>0，

即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝(1＋k2)＋2k＋4＝>0，

可得k2<4.又k2>，故<k2<4，解得k∈∪.