数学选择性必修 第一册3.2 抛物线的简单几何性质同步练习题

第二章　§3　3.2　

A　组·素养自测

一、选择题

1．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为(　A　)

A．4　　 B．5　　

C．6　　 D．7

[解析]　由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，

∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，

则P(3，±2)，∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，

∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A．

2．过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若|AB|＝6，则线段AB中点的横坐标为(　B　)

A．1　　 B．2　　

C．3　　 D．4

[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋2＝6，即x1＋x2＝4，所以＝2，故线段AB中点的横坐标为2.

3．顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是(　D　)

A．y2＝6x　　 B．y2＝－6x

C．x2＝6y　　 D．x2＝－6y

[解析]　抛物线的标准方程可设为x2＝－2py(p>0)，由题意知＝，即p＝3.因此所求抛物线的标准方程 为x2＝－6y.选D．

4．P为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有(　B　)

A．|PP1|＝|AA1|＋|BB1|　　 B．|PP1|＝|AB|

C．|PP1|>|AB|　　 D．|PP1|<|AB|

[解析]　如图所示，根据题意，PP1是梯形AA1B1B的中位线，故|PP1|＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.

5．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为(　D　)

A．2　　 B．4　　

C．6　　 D．4

[解析]　由题意知，△FPM为等边三角形，

|PF|＝|PM|＝|FM|，

∴PM⊥抛物线的准线．

设P，则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋，又由F(1,0)，|PM|＝|FM|，

得1＋＝，得m＝±2，

∴等边三角形的边长为4，其面积为4，故选D．

6．(多选)点A(2,1)到抛物线y2＝ax准线的距离为1，则a的值可能为(　AC　)

A．－4　　 B．　　

C．－12　　 D．12

[解析]　抛物线y2＝ax的准线方程为x＝－，

∴＝1，解得a＝－4或a＝－12.

二、填空题

7．一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为36，则a＝_±2__.

[解析]　设正三角形边长为x.

36＝x2sin 60°，∴x＝12.

当a>0时，将(6，6)代入y2＝ax得a＝2，

当a<0时，将(－6，6)代入y2＝ax得a＝－2，

故a＝±2.

8．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝_6__.

[解析]　抛物线的焦点坐标F，准线方程为y＝－.

将y＝－代入－＝1得|x|＝.

要使△ABF为等边三角形，则tan＝＝＝，解得p2＝36，p＝6.

三、解答题

9．一抛物线拱桥跨度为52 m，拱顶离水面6.5 m，一竹排上载有一宽4 m，高6 m的大木箱，问竹排能否安全通过？

[解析]　如图所示建立平面直角坐标系，

设抛物线方程为x2＝－2py，则有A(26，－6.5)，

设B(2，y)，由262＝－2p×(－6.5)得p＝52，

∴抛物线方程为x2＝－104y.

当x＝2时，4＝－104y，y＝－，

∵6.5－>6，∴能安全通过．

10．已知抛物线y2＝8x.

(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；

(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．

[解析]　(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.

(2)如图所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|.

因为F(2,0)，所以|OM|＝|OF|＝3，

所以M(3,0)，故设A(3，m)．

代入y2＝8x得m2＝24，

所以m＝2或m＝－2，

所以A(3,2)，B(3，－2)，

所以|OA|＝|OB|＝，

所以△OAB的周长为2＋4.

B　组·素养提升

一、选择题

1．设抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则·的值是(　B　)

A．　　 B．－　　

C．3　　 D．－3

[解析]　抛物线y2＝2x焦点，

当直线AB斜率不存在时，

可得A，B

·＝·

＝－1＝－，∴选B．

2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点F和准线l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且＝3，则|AB|＝(　C　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)和准线l：x＝－1，设A(－1，a)，B(m，n)，∵＝3，∴＝，∴m＋1＝，AB＝.

3．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(　C　)

A．y2＝9x　　 B．y2＝6x

C．y2＝3x　　 D．y2＝x

[解析]　方法1：分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线的定义得，|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，由|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a,2|AE|＝|AC|，得3＋3a＝6，解得a＝1.设准线与x轴交于点G，因为BD∥FG，所以＝，即＝，解得p＝，因此抛物线的方程为y2＝3x.

方法2：过点B作准线的垂线，垂足为B1，记准线与x轴的交点为F1，则依题意得＝＝，所以|BB1|＝|FF1|＝.由抛物线的定义，得|BF|＝|BB1|＝.由抛物线的焦点弦的性质＋＝，得＋＝，解得p＝.故抛物线的方程是y2＝3x，选C．

4．抛物线y2＝2x的焦点为F，则经过点F与点M(2,2)且与抛物线的准线l相切的圆有(　B　)

A．1个　　 B．2个　　

C．0个　　 D．无数个

[解析]　因为点M(2,2)在抛物线y2＝2x上，又焦点F，

由抛物线的定义知，过点F，M且与l相切的圆的圆心即为线段FM的垂直平分线与抛物线的交点，这样的交点共有2个，故过点F，M且与l相切的圆有2个．

二、填空题

5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝_2__.

[解析]　由双曲线离心率为2得＝＝4，

∴＝，

又∵|AB|＝××2＝p，

∴S△AOB＝×p×＝，

∴p＝2.

6．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|＝3，则|BF|＝___.

[解析]　方法1：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，焦点为F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由于|AF|＝x1＋1＝3，得x1＝2，所以y1＝±2.由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)，由A，F，B三点共线可知直线AB的方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2(x－1)，代入抛物线方程消去y得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2(舍去)或x＝，所以x2＝，故|BF|＝x2＋1＝.

方法2：由题意知|AF|＝3，p＝2，由抛物线的焦点弦的性质＋＝知|BF|＝.

三、解答题

7．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．

(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；

(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．

[解析]　(1)因为抛物线方程为y2＝6x，所以准线方程为x＝－，F，又因为直线l的倾斜角为60°，所以直线l的斜率为k＝tan 60°＝，所以过焦点的直线l的方程为y＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立，消去y得x2－5x＋＝0，则x1＋x2＝5，

而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，

所以|AB|＝5＋3＝8.

(2)由抛物线的定义，知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋3＝9，所以x1＋x2＝6，

于是线段AB的中点M的横坐标是3.

又准线方程是x＝－，所以中点M到准线的距离为3＋＝.

8．已知曲线C上的任意一点M到点F(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，直线l过点A(1,1)，且与C

交于P，Q两点．

(1)求曲线C的方程；

(2)若A为PQ中点，求三角形OPQ的面积．

[解析]　(1)设曲线上任意一点M(x，y)，

由抛物线定义可知，曲线是以点F(1,0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，

所以曲线的方程为y2＝4x.

(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2，

所以y－y＝(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，

因为A为PQ中点，所以y1＋y2＝2，

所以直线l的斜率为kPQ＝＝2，

所以直线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此时直线l与抛物线相交于两点．

设T为l与x轴交点，则|OT|＝，

由消去x得y2－2y－2＝0，

所以y1＋y2＝2，y1y2＝－2，

所以三角形OPQ的面积为S＝|OT||y1－y2|＝＝.