新教材2023年高中数学第8章立体几何初步习题课素养作业新人教A版必修第二册

第八章　习题课

A组·素养自测

一、选择题

1．分别在两个平行平面内的两条直线间的位置关系不可能为(　B　)

A．平行 B．相交

C．异面 D．垂直

[解析]　因为两平行平面没有公共点，所以两直线没有公共点，所以两直线不可能相交．

2．已知PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是(　C　)

A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC

C．AC⊥PB D．PC⊥BC

[解析]　由PA⊥平面ACB⇒PA⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意．

3．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是(　A　)

A．平行 B．相交

C．在平面内 D．不能确定

[解析]　如图，由＝得AC∥EF．又因为EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，所以AC∥平面DEF．

4．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(　D　)

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

[解析]　对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，不符合题意；同理，选项B、C也不符合题意；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件，故选D．

5．如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是(　D　)

A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC

[解析]　因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体P－ABC中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE，又DF∥BC，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE．因此选项B、C均正确．

二、填空题

6．如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有__3__条；与AP垂直的直线有__1__条．

 [解析]　∵PC⊥平面ABC，

∴PC垂直于直线AB，BC，AC．

∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，

又∵AP⊂平面PAC，

∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB．

7．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：

①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ．

如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且____，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是__①或③__(填序号)．

[解析]　由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③．

8．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确命题的序号是__①③__．

[解析]　如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH．同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC－A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．

三、解答题

9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是AB、AD的中点，E、F、P分别是B1C1、BB1、DD1的中点．

(1)证明：MN∥平面BDD1B1；

(2)证明：CA1⊥MN．

[解析]　(1)连接BD，B1D1，∵MN∥BD，MN⊄面BDD1B1，BD⊂平面BDD1B1，

∴MN∥平面BDD1B1．

(2)AA1⊥平面ABCD，MN⊂平面ABCD，∴AA1⊥MN，

∵AC⊥BD，MN∥BD，∴AC⊥MN．

又∵AA1∩AC＝A，∴MN⊥平面A1AC，∴CA1⊥MN．

10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．

求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；

(2)平面B1DE⊥平面A1C1F．

[解析]　(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1，又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F．

(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥A1C1，又因为A1C1⊥A1B1，A1B1∩AA1＝A1，AA1⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，

所以A1C1⊥平面ABB1A1，

因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D．

又因为B1D⊥A1F，A1C1∩A1F＝A1，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，所以B1D⊥平面A1C1F，

因为直线B1D⊂平面B1DE，

所以平面B1DE⊥平面A1C1F．

B组·素养提升

一、选择题

1．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且n⊂β，则下列叙述正确的是(　C　)

A．若m∥n，m⊂α，则α∥β B．若α∥β，m⊂α，则m∥n

C．若m∥n，m⊥α，则α⊥β D．若α∥β，m⊥n，则m⊥α

[解析]　两个平面内各一条直线互相平行，不能保证两个平面互相平行，A错误；分别在两个互相平行的平面内的两条直线不能保证相互平行，B错误；两条平行线中的一条垂直于一个平面，可得另一条也垂直于这个平面，于是β内有一条直线垂直于α，故α⊥β，C正确；m垂直于β内的一条直线，不能保证m垂直于β，故不能得到m垂直于α，D错误．

2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB．若E，F分别为线段A1D1，CC1的中点，则直线EF与平面ADD1A1所成角的正弦值为(　C　)

A． B．

C． D．

[解析]　取DD1的中点G，连接EG、FG、EC1，易知∠FEG为直线EF与平面ADD1A1所成的角，设AB＝a，则AA1＝AD＝2a，在△ED1C1中可求出EC1＝a，在△EFC1中可求出EF＝a，所以在△EFG中，sin ∠FEG＝＝，故选C．

3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“平面α和平面β不垂直”是“直线a和直线b不垂直”的(　D　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

[解析]　作出正三棱柱ABC－DEF(如图所示)，

当面ABED为面α、面BCFE为面β、直线AD为直线a、直线EF为直线b时，

平面α和平面β不垂直，但直线a和直线b垂直，

即“平面a和平面β不垂直”不是“直线a和直线b不垂直”的充分条件；

当面ABED为面α、面DEF为面β、直线AB为直线a、直线EF为直线b时，

直线a和直线b不垂直，但平面α和平面β垂直，

即“平面α和平面β不垂直”不是“直线a和直线b不垂直”的必要条件；

综上所述，“平面α和平面β不垂直”是“直线a和直线b不垂直”的既不充分也不必要条件．

故选D．

4．(多选题)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：

①没有水的部分始终呈棱柱形；

②水面EFGH所在四边形的面积为定值；

③棱A1D1始终与水面所在平面平行；

④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．

其中正确的命题是(　ACD　)

A．① B．②

C．③ D．④

[解析]　由题图，显然①是正确的，②是错误的；对于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，

∴A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，FG⊂平面EFGH，

∴A1D1∥平面EFGH(水面)．

∴③是正确的；

对于④，∵水是定量的(定体积V)，

∴S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V．

∴BE·BF＝(定值)，即④是正确的，故选ACD．

二、填空题

5．已知直线l⊥平面α，垂足为A，直线PA⊥l，则AP与平面α的位置关系是__AP⊂α__．

[解析]　设AP与l确定的平面为β．假设AP⊄α，不妨设α∩β＝AM，AP与AM不重合，如图所示．因为l⊥α，AM⊂α，所以l⊥AM．又AP⊥l，所以在平面β内，过点A有两条直线垂直于l，这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，所以假设不成立．所以AP⊂α．

6．如图所示，等边三角形ABC的边长为4，D为BC的中点，沿AD把△ADC折叠到△ADC′处，使二面角B－AD－C′为60°，则折叠后二面角A－BC′－D的正切值为__2__．

[解析]　易知∠BDC′即二面角B－AD－C′的平面角，有∠BDC′＝60°，所以△BDC′为等边三角形．取BC′的中点M，连接DM，AM，则易知DM⊥BC′，AM⊥BC′，所以二面角A－BC′－D的平面角即∠AMD．在等边三角形ABC中，易知AD＝2，在等边三角形BDC′中，易知DM＝，所以tan ∠AMD＝＝2．

三、解答题

7．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝2CD＝2，△APD为等边三角形，E为棱PB的中点．

(1)证明：直线CE∥平面PAD；

(2)当PB的长为多少时，平面PAD⊥平面ABCD?

[解析]　(1)证明：如下图所示，取线段PA的中点F，连接EF、FD，因为E为棱PB的中点，

则EF为△PAB的中位线，所以EF∥AB，且EF＝AB，因为底面ABCD是梯形，

AB∥CD，AB＝2CD，所以CD∥AB，且CD＝AB，所以EF∥CD，且EF＝CD，

所以四边形CEFD为平行四边形，所以CE∥DF，

因为DF⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD．

(2)当PB＝2时，平面PAD⊥平面ABCD．理由如下：

在△PAB中，因为AB＝PA＝2，若PB＝2，则AB2＋PA2＝PB2，

所以AB⊥PA，又因为AB⊥AD，AD∩PA＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以AB⊥平面PAD，又AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD．

8．如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点E，F分别在棱AA1，CC1上，且满足AE＝AA1，CF＝CC1，平面BEF与平面ABC的交线为l．

(1)证明：直线l⊥平面BDD1；

(2)已 知EF＝2，BD1＝4，设BF与平面BDD1所成的角为θ，求sin θ的取值范围．

[解析]　(1)如图，连接AC，与BD交于点O．

由条件可知AE∥CF，且AE＝CF，所以AC∥EF，

因为EF⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，所以AC∥平面BEF．

因为平面BEF∩平面ABC＝l，所以AC∥l．

因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且侧棱垂直于底面，

所以AC⊥BD，AC⊥BB1，

又BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BDD1，

所以l⊥平面BDD1．

(2)设EF∩平面BDD1＝H，连BH．

由(1)知EH⊥平面BDD1，故∠HBF＝θ．

则sin θ＝＝．

令BO＝a，则BD＝2a＜BD1＝4，则0＜a＜2．

在Rt△D1DB中，DD1＝＝2，

∴FC＝HO＝

∴在Rt△HOB中HB＝＝，

∴在Rt△FHB中，BF＝＝，

∴sin θ＝，

由0＜a＜2得sin θ∈．