【导数大题】题型刷题突破 第11讲 双变量不等式：极值和差商积问题

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2、做题经验。更简单的来说：“一个知识点对应的题目有无数个”，哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。对于备考当中的学生来说“多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。”
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
第11讲 双变量不等式:极值和差商积问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共21小题）
1．（2021春•温州期中）已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，．
（2）若存在两个极值点，，证明：．
【解答】证明：（1）当时，，定义域为，
，在定义域上恒成立，
所以在上单调递减，
当时，（1），
当时，（1），原命题得证．
（2），
若存在两个极值点，则，解得，
由韦达定理可知，，，
，
原命题即证：，
不妨设，原命题即证：，
由知，，即证：，不妨令，
原命题即证：，记，
则，
当时，，在上单调递减，
（1），原命题得证．
2．（2021春•浙江期中）已知函数．（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若存在两个极值点，，证明：．
【解答】（1）解：因为，
则，
当时，，
所以（1），
则在处的切线方程为；
（2）解：函数的定义域为，且，
令，且，
①当时，恒成立，此时，则在上单调递减；
②当时，判别式△，
当时，△，即，所以恒成立，此时函数在上单调递减；
当时，令，解得，
令，解得或，
所以在，上单调递增，在和，上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在和，上单调递减．
（3）证明：由（2）可知，，，，
则
，
则，
故问题转化为证明即可，
即证明，则，
即证，即证在上恒成立，
令，其中（1），
则，
故在上单调递减，
则（1），即，
故，
所以．
3．（2021秋•武汉月考）已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）设，是函数的两个极值点，证明：恒成立．
【解答】解：（1）的定义域为，
，
①当时，令，得，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
②当时，令，得或，
令，得，
所以在，，上单调递增，在上单调递减，
③当时，则，所以在上单调递增，
④当时，令，得或，
，得，
所以在，上单调递增，在，上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在，，上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
当时，在，上单调递增，在，上单调递减．
（2）证明：，则的定义域为，
，
若有两个极值点，，
则方程的判别式△，且，，
解得，又，所以，即，
所以
，
设，其中，，
由，解得，又，
所以在区间内单调递增，在区间，内单调递减，
即的最大值为，
所以恒成立．4．（2021秋•南昌月考）已知函数．
（Ⅰ）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数存在两个极值点，，求实数的取值范围，并比较与的大小．
【解答】解：（Ⅰ）由得，（2分）
由题在恒成立，即在恒成立，
而，所以；（5分）
（Ⅱ），
由题意知，，是方程在内的两个不同实数解，
令，
注意到，其对称轴为直线，
故只需，解得，
即实数的取值范围为；（8分）
由，是方程的两根，得，，
因此，（10分）
又，所以，
即得证．（12分）
5．（2021•运城模拟）已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，，证明：．
【解答】解：（1）由题得，其中，
令，，对称轴为，△，
若，则△，此时，
则，所以在上单调递增，
若，则△，此时在上有两个根，即，，
且，所以当时，，
则，单调递增，
当，时，，则，单调递减，
当，时，，则，单调递增，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：由（1）知，当时，有两个极值点，，
且，，
所以
，
令，，
由于，
故在上单调递增，所以（1），
所以，即．
6．（2021•安徽开学）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若有两个极值点，，求证：．
【解答】解：（1），
时，，在递增，
时，令，解得：，令，解得：，故在递增，在，递减，
综上：当时，递増区间为；
当时，递增区间为，通减区间是．
（2）证明：，
当时，，在递增，无极值点，
当或时，由，得，
若，则，在递增，无极值点，
若，则，，不妨设．
此时有两个极值点，，
，
因为，故，
即．
7．（2021秋•上城区校级月考）已知实数，设函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若有两个极值点，，且恒成立，求正实数的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域是，
，
令，则，
令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在，上单调递增，
故，
①即时，，在递减，②即时，，在递增；
（Ⅱ），
有两个极值点，，，
，
令，则，
易知，当时，，当，时，，
在上递减，在，上递增，
，（1），
故，即，
由，可得，
，则，
，
则，
，
，
由，得，下证，
即证，即证，
，等价于证，
令，，，
则，故，，即，
令，
则
，
令，则，
在上递减，
，
正实数的最大值为1．
8．（2021春•鲤城区校级期末）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．
【解答】解：（1），则．
令，若△，即时，则恒成立，即恒成立，
可得在上单调递增；
若△，则或，
当时，函数的对称轴方程为，，则当时，
恒成立，即恒成立，可得在上单调递增；
当时，函数的对称轴方程为，，
由，得，当，，时，，，
当，时，，，
在，，上单调递增，
在，上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在，，上单调递增，
在，上单调递减．
（2）函数，
，
由，得，
，是函数的两个极值点，，，
，，，，
解得，
，
构造函数，，
，
在，上单调递减．
当时，，
故的最大值为．9．（2021春•湖南期中）已知函数在处的切线与直线平行，函数．
（1）求实数的值；
（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
（3）设，是函数的两个极值点，证明：．
【解答】（1）解：函数，则，
因为处的切线与直线平行，
则切线的斜率为（1），解得；
（2）解：由（1）可得，函数，
则，
因为函数存在单调递减区间，
则在上有解，
因为，设，
则，
所以只需或，
解得或，
故实数的取值范围为；
（3）证明：由题意可知，，
因为有两个极值点，，
所以，是的两个根，则，
所以
，
所以要证，
即证，
即证，
即证，
即证，
令，
则证明，
令，
则，
所以在上单调递增，
则（1），即，
所以原不等式成立．10．（2021•浙江模拟）已知函数．
（Ⅰ）若，讨论的单调性；
（Ⅱ）有两个极小值点，，求实数的取值范围，并证明．
【解答】解：（1），当时，
设，，所以在上单调递增，上单调递减，
则（1），即当时，
故，当时，，当时，．
所以在上单调递减，上单调递增．
（2）由（1）知，当时，在上单调递减，上单调递增，只有一个极小值．
当时，因为当时，恒成立，在上单调递增，上单调递减，只有一个极大值，无极小值．
当时，由的图象，知存在，，使得，即．
当时，，，所以，在单调递减；
当时，，，所以，在单调递增；
当时，，，所以，在单调递减；
当时，，，所以，在单调递增；
所以，为的极小值点，，为极小值．
故的取值范围为．
由，由，即，两边取对数，，．
所以，同理得
故，又，所以，所以．
即．
11．（2021•南关区校级四模）已知函数有两个极值点，．
（1）求的取值范围；
（2）证明：．
【解答】（1）解：因为有两个极值点，，
所以有两个零点，
又，
①当时，在上单调递增，至多1个零点，不符合题意；
②当时，令，解得，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以（a），
当时，（a），此时无零点；
当时，（a），此时1个零点；
当时，（a），
又，且，
所以在，上各有一个零点，
则有两个零点．
综上所述，实数的取值范围为；
（2）证明：不妨设，
则所要求证的不等式可变形为，
即，
即，
令，
则，
故在上为单调递增函数，
所以，
故．
12．（2021春•姑苏区校级月考）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个极值点，．
①求的取值范围；
②若恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），
则①当时，是常数函数，不具备单调性；
②当时，由：由，
故此时在单调递增，在单调递减；
③当时，由，由，故此时在单调递减，在单调递增；
综上：当时，是常数函数，不具备单调性，
②当时，在单调递增，在单调递减，
③当时，在单调递减，在单调递增．
（2）①因为，
所以，
由题意有两个不同的正根，
即有两个不同的正根，则，可得，
②不等式恒成立，
等价于恒成立，
又
，
所以，
令，则，
所以在上单调递减，
所以，所以，即的取值范围是．
13．（2021春•台江区校级期末）已知函数．
（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；
（2）若在定义域上有两个极值点，，证明：．
【解答】解：（1），
，
若在上单调递减，则在上恒成立，
故，，
，
若在递增，则在恒成立，
故，
没有最小值，
此时不存在，
综上，的取值范围是，；
（2）证明：当时，△，方程有2个不相等的正根，，
不妨设，则当，，时，
当，时，，
有极小值点和极大值点且，，
，
令（a），，
则当时，（a），
则（a）在单调递减，故（a）（2），
即．
14．（2021春•绵阳期末）已知，．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若有两个极值点，，且，证明：当，时，．
【解答】解：（1）由题意知，
①当△时，即时，恒成立，故函数在上单调递增，
②当△时，即时，
令，得，，
因为，
所以，
因为，
所以且，
所以函数在和，上单调递增，在，上单调递减，
综上所述，当时，函数在上单调递增，
当时，函数在，和，上单调递增，
在，上单调递减．
（2）证明：由题意知，，
由两个不相等的实数根，，
不妨设，则由（1）可知，
，，
则，，
所以
，
又因为，
所以，
因为，，，，，所以，，
所以设，，，
因为，，所以，单调递增，
所以（1），
即，
所以．
15．（2021秋•庄浪县校级月考）已知函数．
（1）讨论函数的单调性．
（2）若，设，是函数的两个极值点，若，求证：．
【解答】解：（1）由题意可得，函数的定义域为，，
当时，，
所以函数在上单调递增，
当时，令，得，
若，则，单调递增，
若，，则，单调递减，
综上所述，当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，在，上单调递减．
（2）证明：因为，
，
由，得，
若，则△，
所以，，
所以，因为，，，
所以，解得，
所以
，
设，
则，
所以函数在，上单调递减，
所以当时，．
所以时，．
16．（2021春•绵阳期末）已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个极值点，，且，证明：当，，，．
【解答】解：（1）当时，，
，
所以在上，，单调递增，
在，上，，单调递减，
在上，，单调递增．
（2）证明：因为，函数有两个极值点，，
所以，，其中，，，，
所以，
，
，
设，，，
，
所以在上，，单调递减，
在，上，，单调递增，
所以（1），得证．
17．（2021秋•平邑县校级月考）已知函数，．
（1）若函数在，上单调递增，求实数的取值范围．
（2）若函数存在两个极值点，，且，当恒成立时，求实数的最小值．
【解答】解：（1）在，上单调递增，在，恒成立，
即当时，，又在，上单调递增，
所以当时，取得最小值1，
所以，即，；
（2）函数存在两个极值点、，且，
在上有两个不相等的实根，即、是方程的两个不相等的正实根，
，．
令，则，
，令，则，
在上单调递增，（1）．
当恒成立，在上恒成立，
（1），
实数的最小值为0．
18．（2021春•新乡期末）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，，且，求的取值范围．
【解答】解：（1），
，，
当时，△，，
在上单调递增，
当时，令，即，解得，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
函数在区间单调递减，在单调递增，
当时，令，即，
解得得，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，故函数在区间，单调递增，在区间单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在区间单调递减，在单调递增，
当时，在区间，单调递增，在区间单调递减．
（2）由（1）可得，当时，函数存在两个极值点，，且，，
，
，
，即，
，
，
令（a），，（a），
（a）在为单调递增函数，
又（1），
当时，（a），
故实数的取值范围为．
19．（2021春•武清区校级期末）已知函数．
（1）当时，有最大值，
（ⅰ）求实数的值；
（ⅱ）证明：当时，；
（2）时，存在两个极值点，且的取值范围是，求的取值范围．
【解答】解：（1）（ⅰ）当时，，，
当时，在上，单调递增，
函数无最大值，不合题意，
当时，在上，，单调递增，
在，上，，单调递减，
所以，
又有最大值，
所以，
所以．
（ⅱ）证明：若证当时，，
需证当时，，
令，，
只需证明，
，
令，
，
所以当时，，单调递减，
所以（1），
所以，即在上单调递减，
所以（1），即可得证．
（2）当时，，
，
因为存在两个极值点，，
所以，为的根，所以，为的根，
所以，，
所以
，
，
，
令，，
则，
，
所以在上单调递减，
又（2），
（4），
所以，
由，
又，单调递增，
所以，
所以实数的取值范围为，．
20．（2021春•商洛期末）已知函数．
（1）当时，求极值点的个数；
（2）若，是的两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1），
，令，
，
，在递增，
而，，
时，，，时，，
时，，，时，，
在递减，在，递增，
只有1个极值点；
（2）由（1）知，，，
要使有2个极值点，即有2个不同的根，
则，解得：，
此时若，，则，，
又，
，
恒成立，
若（a），则只需时，（a）即可，
而（a），（a）单调递减，则（a）（4），
故，即的取值范围是，．
21．（2021•庐阳区校级模拟）已知函数． （Ⅰ）若，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若有两个极值点分别为，，求的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
所以，
由得或．
①当时，因为，不满足题意，
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
于是，解得，
所以的取值范围为，．
（Ⅱ）函数，定义域为，，
因为，是函数的两个极值点，所以，是方程的两个不等正根，
则有△，，，
得，对称轴，故，，
且有，，
，
令，则，，
，当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，
所以的最小值为．