2022-2023学年天津市南开中学高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年天津市南开中学高二下学期期中数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年天津市南开中学高二下学期期中数学试题 一、单选题1．函数的导数为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据基本初等函数的导函数结合乘法求导法则运算求解.【详解】由题意可得：.故选：C.2．函数的导数为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据复合函数的导函数运算求解.【详解】由题意可得：，则.故选：C.3．函数在处的切线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导，结合导数的几何意义分析运算.【详解】由题意可得：，则，可得，所以函数在处的切线的斜率，倾斜角为.故选：B.4．以下关于函数，的单调性的判断正确的是（    ）A．在上单调递增B．在上单调递减C．在上单调递增，在上单调递减D．在上单调递减，在上单调递增【答案】B【分析】求出函数的导函数，根据余弦函数的性质得到，即可判断.【详解】因为，，所以，因为，所以，则，即，所以函数在上单调递减.故选：B5．以下关于函数的极值的说法正确的是（    ）A．极大值为，极小值为11B．极大值为11，极小值为C．极大值为，极小值为D．既无极大值，也无极小值【答案】C【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值.【详解】函数定义域为,所以，令，解得，令，解得或，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，，所以在处取得极小值，在处取得极大值，即，.故选：C6．将一个边长为3cm的正方形铁片的四角截去四个边长均为cm的小正方形，做成一个无盖方盒，则该方盒容积最大为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意方盒的底面边长为的正方形，高为，即可求出的取值范围，则无盖方盒的容积为，，利用导数求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值.【详解】依题意方盒的底面边长为的正方形，高为，则，即，所以无盖方盒的容积为，，则，令，解得或；令，解得．函数的定义域为，函数在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值即最大值，所以，即该方盒容积最大为.故选：B7．已知函数在处极大值，则的值为（    ）A．1 B．3 C．1或3 D．0或1或3【答案】B【分析】求出函数的导数，再令导数等于，求出值，再检验函数的导数是否满足在处左侧为正数，右侧为负数，把不满足条件的值舍去．【详解】函数，，由题意知，，或，又函数在处有极大值，故导数值在处左侧为正数，右侧为负数．当时，，满足导数值在处左侧为正数，右侧为负数．当时，，导数值在处左侧为负数，右侧为正数，不符合题意，故．故选：B．8．若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据导数与单调性的关系分析可得原题意等价于在上恒成立，根据恒成立问题结合二次函数分析运算.【详解】由题意可得：，令，可得，原题意等价于在上恒成立，因为开口向下，对称轴，可得在上单调递减，当时，取到最大值，所以的取值范围是.故选：A.9．若函数恰有两个零点，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意分析可得：原题意等价于与有两个交点，求导，利用导数判断的单调性，结合图象分析求解.【详解】当时，则无零点，不符合题意；当时，令，则，故原题意等价于与有两个交点，构建，则，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，可得，且当x趋近于时，趋近于，所以的图象如图所示，由图象可得：若与有两个交点，则，解得，故的取值范围是.故选：D.10．已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，都有成立，且，则不等式解集为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，首先判断的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据函数的单调性解函数不等式.【详解】令，，因为是定义在上的奇函数，即，，是奇函数；又当时，，在上单调递增，在上单调递增；又，， 对于不等式，又，所以，所以不等式等价于，即，即，所以，即不等式解集为．故选：A． 二、填空题11．函数在处的切线方程为______.【答案】【分析】利用导数的几何意义求出斜率、切点，再代入直线的点斜式方程化简即可．【详解】因为，所以，切线的斜率，，所以切点为，所以切线方程为：，即．故答案为：．12．函数的单调递增区间是______.【答案】【分析】求导，利用导数判断原函数单调性.【详解】由题意可得：，令，解得或，所以函数的单调递增区间是.故答案为：. 三、双空题13．已知函数，则在上的最小值为______，最大值为______.【答案】     /0.5     【分析】求导，利用导数判断原函数单调性，进而确定最值.【详解】由题意可得：，令，解得；令，解得；则在上单调递减，在上单调递增，空1：所以当时，取到最小值；空2：又因为，且，可得，所以当时，取到最大值.故答案为：；. 四、填空题14．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是____________.【答案】【分析】根据为函数有两个不同的极值点，由 有两个不同的根求解.【详解】解：因为 ，所以，因为函数有两个不同的极值点，所以 有两个不同的根，即方程有两个不同的根，所以 ，解得 ，所以实数a的取值范围是故答案为：15．已知函数，若函数（为常数）有且仅有4个零点，则的取值范围是______.【答案】【分析】根据题意分析可得原题意等价于与有4个不同的交点，求导，利用导数判断原函数的单调性与极值，结合图象分析判断.【详解】令，则，原题意等价于与有4个不同的交点，当时，则，可得，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，可得，且当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于0；当，则开口向下，对称轴，可得；可得的图象，若与有4个不同的交点，则的取值范围是.故答案为：.16．明年是我校建校120周年，也是同学们在南开的最后一年，欧阳南德与上官索爱同学想以数学的浪漫纪念这特殊的一年，他们以三次函数及其三条切线为蓝本设计了一枚“NK章”，并把它放入一个盒子，埋藏于南开园的某角落，并为这“时间胶囊”设置了一个密码，他们把密码隐藏于刻在盒子上的一道“数学谜语”中：在这盒子中有一枚我们留下的微章，它由“N”，“K”两个字母组合而成.其中“N”蕴含在函数的图象中，过点与曲线相切的直线恰有三条，这三条切线勾勒出了“K”的形状，请你求出使满足条件的三条切线均存在的整数的个数，这就是打开盒子的密码：______.欧阳南德&上官索爱【答案】31【分析】求导，根据导数的几何意义分析可得原题意等价于与有三个不同的交点，求导判断的单调性与极值，结合图象分析运算.【详解】由题意可得：，且，设切点坐标为，斜率，则切线方程，因为切线过点，则，整理得，构建，原题意等价于与有三个不同的交点，因为，令，解得；令，解得或；则在上单调递增，在，上单调递减，且，若与有三个不同的交点，则，所以整数的个数为31.故答案为：31.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 五、解答题17．求函数，的最大值和最小值.【答案】【分析】求导，利用导数判断原函数单调性，进而确定最值.【详解】由题意可得：，令，解得；令，解得或；则函数在上单调递增，在上单调递减，且，因为，所以当时，取到最大值20，当时，取到最小值.18．已知函数，讨论其单调区间与极值.【答案】答案见详解【分析】求导，讨论的正负以及与0的大小，利用导数判断原函数的单调性与极值.【详解】由题意可得：，（i）当时，则，令，解得；令，解得；可得的单调递增区间为，单调递减区间为，有极大值，无极小值；（ⅱ）当时，令，解得或，①当，即时，令，解得或；令，解得；可得的单调递增区间为，单调递减区间为，有极大值，极小值；②当，即时，则，可得的单调递增区间为，无极值；③当，即时，令，解得或；令，解得；可得的单调递增区间为，单调递减区间为，有极大值，极小值；综上所述：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，有极大值，无极小值；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，有极大值，极小值；当时，的单调递增区间为，无极值；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，有极大值，极小值.19．已知函数.(1)当时，求在处的切线方程；(2)若有两个零点，求的取值范围；(3)求证：.【答案】(1)(2)(3)证明见详解 【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义运算求解；（2）求导，利用导数分类讨论原函数的单调性，结合单调性分析零点，即可得结果；（3）由（2）可得，构建，利用导数可得，进而可得结果.【详解】（1）当时，则，可得，即切点坐标为，斜率，所以切线方程.（2）由题意可得：，因为，则有：（i）当时，则，即，所以在上单调递减，至多有1个零点，不合题意；（ⅱ）当时，令时，则；令时，则；则在上单调递增，在上单调递减，且当x趋近于时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，若有两个零点，则，构建，则在上单调递增，且，若，则；综上所述：的取值范围为.（3）由（2）可知：当时，在上单调递增，在上单调递减，则，可得，当且仅当时，等号成立；构建，则，构建，则，构建，则，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，所以，即恒成立，则在上单调递增，且，令，解得；令，解得；即当时，；当时，；则在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，当且仅当时，等号成立；综上所述：，但等号不能同时取到，所以.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数h(x)；（3）利用导数研究h(x)的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．