2022-2023学年天津市南开中学高二上学期阶段性质量检测（一）数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年天津市南开中学高二上学期阶段性质量检测（一）数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年天津市南开中学高二上学期阶段性质量检测（一）数学试题 一、单选题1．已知向量，，则（    ）A．（2，3，4） B．（2，3，3） C．（2，5，8） D．（2，4，6）【答案】A【分析】由空间向量坐标运算法则可得答案.【详解】因，则，则.故选：A2．已知三角形ABC的三个顶点分别为，，，则AB边上的中线所在直线的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出的中点，再用两点式求AB边上的中线所在直线的方程【详解】边的中点为，∴边上的中线所在直线的方程，即.故选：C3．圆与圆的公切线有（    ）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【分析】分别求两圆的圆心和半径，进而确定两圆的位置关系，分析判断.【详解】，即，则圆心，半径，，即，则圆心，半径，∵，即，则圆与圆外切，故两圆的公切线有3条.故选：C.4．与直线切于点，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用待定系数法，结合点到直线的距离公式进行求解即可.【详解】因为该圆的圆心在x轴上，所以设该圆的方程为，于是有：，即该圆的方程为，故选：D5．若过点的直线l与直线的交点位于第一象限，则直线l斜率的范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】用直线l斜率表示出l方程，再求出直线l与直线的交点坐标，利用其位于第一象限，可得答案.【详解】由题直线l斜率存在，则设直线l斜率为，则l方程为：.将其与联立得：，解得，故交点坐标为.因其在第一象限，则，解得.故选：C6．从点出发的一条光线l，经过直线反射，反射光线恰好经过点，则反射光线所在直线的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出点关于直线的对称点 ，再结合D在反射光线上，反射光线恰好通过点，即可求解．【详解】设点关于直线的对称点为， 则 ，解得 ，由题意可知，D在反射光线上，又反射光线恰好通过点，则 ，即反射光线所在直线的斜率为，故选：B﹒7．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知三棱柱为一堑堵，，，，，则直线与直线夹角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】平移直线到其与直线相交，再解三角形即可.【详解】连接，交于点，取中点为，连接，如下所示：显然点为的中点，故在△中，点分别为的中点，故//，则直线所成的夹角与直线所成的夹角相等，则即为所求角或其补角；在三角形中，，，，故由余弦定理可得：，故直线所成的夹角的余弦值为.故选：A 8．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数b的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，因为圆上恰有三个点到直线的距离为1，所以圆心到直线直线的距离为1，所以有，故选：D9．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点M为线段的中点（O为坐标原点），点P在椭圆上且满足轴，点M到直线的距离为，则椭圆的离心率为（    ）A．或 B． C．或 D．【答案】A【分析】根据几何关系求出P和M的坐标，写出直线的方程，根据M到的距离即可求出离心率．【详解】∵轴，∴将代入椭圆可得，∴不妨设，∴直线的斜率为，则直线的方程为，即，则到直线的距离为，整理得，所以，解得或，即或，则椭圆的离心率为或故选：A10．已知斜率存在的直线l与椭圆交于A，B两点，且l与圆切于点P.若P为线段AB的中点，则直线PC的斜率为（    ）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】利用点差法，结合点的坐标满足圆方程，以及与直线垂直，联立方程组求得点的坐标，即可求得直线的斜率.【详解】设点的坐标分别为，则：，作差后可得：，即：；又因为直线与直线垂直，故可得，与联立后可得：，解得，又因为点在圆上，故可得：，解得，则，即直线的斜率为或.故选：C. 二、填空题11．已知直线，直线，当____________时，.【答案】【分析】确定当时不合题意，则时，可求出两直线斜率，根据直线垂直可得斜率之积为，即可求得答案.【详解】当时，斜率不存在，，的斜率为，不合题意；故时，的斜率为 ，的斜率为 ，由于，故，解得，故答案为：.12．圆与圆的公共弦长为____________.【答案】【分析】先求出公共弦的方程利用勾股定理即可求得.【详解】由已知圆与圆公共弦所在直线方程为 因为圆圆心为，半径 所以 弦长为 故答案为：13．在空间直角坐标系中，已知三点A（3，2，0），B（2，1，3），C（3，1，0），则点C到直线AB的距离为____________.【答案】【分析】根据空间向量夹角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】由A（3，2，0），B（2，1，3），C（3，1，0），可得：，，所以可得：，因此，于是点C到直线AB的距离为，故答案为：14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，线段与y轴交于点Q，若，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为____________.【答案】【分析】由线段与y轴交于点Q，得点横坐标，代入椭圆方程得点纵坐标，由为等腰三角形，得，用表示此等式转化为离心率的方程，解之可得．【详解】，线段与y轴交于点Q，，在右侧，则，，，为等腰三角形，则，所以，，整理得，，，故答案为：．15．已知圆与过点的直线交于A，B两点，若三角形ABC面积的最大值为8，则实数a的取值范围是____________.【答案】【分析】根据三角形面积公式，结合圆的性质进行求解即可.【详解】由，所以该圆的半径为，圆心，，所以当时，有最大值8，此时三角形ABC是等腰直角三角形，因此点到直线AB的距离为，所以有，或，故答案为：【点睛】关键点睛：利用三角形面积公式，得到ABC是等腰直角三角形时面积最大是解题的关键. 三、双空题16．如图，在平行六面体中，，，点E为线段上靠近于点B的三等分点，设，，，则____________（用含有，，的表达式表示）；若点G为棱上的一个动点，则的最小值为____________.【答案】          ##2.75【分析】第一空，根据空间向量的线性运算，即可求得答案；第二空，设，用含有，，的表达式表示出，根据数量积的运算律，将展开化简为关于的二次函数，结合二次函数性质，求得答案.【详解】由题意得；设,则， ，由题意可知，故 ，当时，取得最小值 ，即则的最小值为，故答案为：；. 四、解答题17．已知椭圆，直线l过点与椭圆Γ交于A，B两点，O为坐标原点.(1)设C为线段AB的中点，当直线l的斜率为时，求线段OC的长；(2)当直线l的斜率为时，求三角形AOB的面积.【答案】(1)(2)1 【分析】（1）写出直线方程，与椭圆方程联立方程组，消去得的一元二次方程，设，，，应用韦达定理得，从而得中点的坐标后可得；（2）同样写出直线方程，与椭圆方程联立消元后应用韦达定理求得弦长，再计算出到直线的距离后可得三角形面积．【详解】（1）当直线的斜率为时，直线的方程为.由，得.设，，，则有，由于是线段的中点，则有，.所以.（2）当直线的斜率为时，直线的方程为.由，得.设，，有，..原点到直线的距离.所以.18．为方便师生行动，我校正实施翔宇楼电梯加装工程．我们借此构造了以下模型：已知正四棱柱，它抽象自翔宇楼南侧楼心花园所占据的空间，设，，O为底面ABCD的中心，正四棱柱与正四棱柱分别代表电梯井与电梯厢，设，M为棱的中点，N，K分别为棱，上的点，，．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)“你站在桥上看风景，看风景的人在楼上看你．明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦．”卞之琳诗句中的情景其实正在我们的生活中反复上演，上官琐艾同学站在楼心花园的中心（O点），她正目送着倚立在电梯厢一角的欧阳南德同学，假定上官同学的目光聚焦于棱OO2的中点I，此时，电梯厢中欧阳同学的目光正徘徊在位于N点的数学办公室与位于K点的数学实验室，当电梯厢向上启动时，在这时空里便诞生了由点O与移动着的平面INK所勾勒的动人风景．现在，请作为“正在看风景的人”的你完成以下问题：当电梯厢自底部（平面OECF与平面ABCD重合）运行至顶端（平面与平面重合）的过程中，点O到平面INK距离的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，通过证明平面；（2）由（1）知，平面的法向量，然后利用直线与平面所成角的公式求解；（3）设，，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求得点到平面的距离的表达式，进一步求得的最大值．【详解】（1）以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，．设为平面的一个法向量，则因为，，所以取，则．因为，所以，所以，因为不在平面内，所以平面．（2）因为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．（3）设，，又因为，，所以，．设为平面的一个法向量，则，即取，则，所以点到平面的距离，所以当，即时，取得最大值为，所以点到平面的距离的最大值为．19．已知椭圆的离心率为，直线被椭圆C截得的线段长为.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l是圆的任意一条不垂直于坐标轴的切线，l与椭圆C交于A，B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求：（i）圆O的方程；（ii）的最大值.【答案】(1)(2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据离心率和椭圆中的关系即可求得方程.（2）（i）问利用直曲联立可以求得圆的方程，（ii）问中利用弦长公式和基本不等式即可求得最值.【详解】（1）因为，所以，所以，所以椭圆，联立直线，得，所以，所以，所以椭圆.（2）（i）设直线，因为与圆相切，所以，即……（1）.由得，，所以（*）设，，得，所以由题意得，，即，所以，符合（*）式.结合（1）式，得，所以圆的方程为：.（ii），等号成立当且仅当所以的最大值为.