2022-2023学年天津市南开中学滨海生态城学校高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年天津市南开中学滨海生态城学校高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是（　　）

A．（0，1） B．（1，0） C． D．

【答案】C

【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可抛物线的焦点坐标得选项.

【详解】解：将抛物线y＝4x2的化为标准方程为x2＝y，p＝，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，）.

故选：C．

2．已知双曲线的离心率是，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接利用离心率公式计算得到答案.

【详解】因为双曲线的离心率是，

所以，解得（舍去）.

故选：D.

3．如图,在四面体中,是的中点,是的中点,则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】因为在四面体中,是的中点,是的中点,,即可求得答案.

【详解】在四面体中,是的中点,是的中点

故选:C.

【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,解题关键是掌握向量基础知识和数形结合,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.

4．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出抛物线的准线方程，可得出的值，进而可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出该双曲线的方程.

【详解】抛物线的准线方程为，所以，，解得，

因此，该双曲线的方程为.

故选：A.

5．圆关于直线对称的圆的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】两圆关于直线对称，则两圆心所在直线与直线垂直，且对称直线过两圆心中点

【详解】圆圆心为，设对称的圆心为，则两圆关于直线对称有，

故所求圆的方程为.

故选：C

6．已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（    ）

A． B．1 C．  D．

【答案】A

【分析】利用向量的模，向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离.

【详解】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），

＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2），

∴点A到直线BC的距离为：

d＝

＝1×＝．

故选：A

【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算，向量的模，向量的夹角，属于容易题.

7．已知直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意，圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式即可求解.

【详解】解：由题意，为等腰直角三角形，

所以圆心到直线的距离，即，解得，

所以圆C的方程为，

故选：C.

8．当点在圆上变动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设中点的坐标为，则，利用在已知的圆上可得的中点的轨迹方程.

【详解】设中点的坐标为，则，

因为点在圆上，故，整理得到.

故选：D.

【点睛】求动点的轨迹方程，一般有直接法和间接法，

（1）直接法，就是设出动点的坐标，已知条件可用动点的坐标表示，化简后可得动点的轨迹方程，化简过程中注意变量的范围要求.

（2）间接法，有如下几种方法：①几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；②动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.

9．过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】求出以、为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦的方程．

【详解】圆的圆心为，半径为1，

以、为直径的圆的方程为，

因为过点圆的两条切线切点分别为A，B，

所以，是两圆的公共弦，

将两圆的方程相减可得公共弦的方程，

故选：A．

【点睛】本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．

10． 是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据椭圆的定义可判断，平方得出，再利用余弦定理求解即可．

【详解】 是椭圆上一点， 、 分别是椭圆的左、右焦点，

，

，

，

，

在中，，

，

故选 ．

【点睛】本题考查了椭圆的定义，焦点三角形的问题，结合余弦定理整体求解是运算的技巧，属于中档题．

11．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为

A．2 B．3 C．6 D．8

【答案】C

【详解】由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，

则＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝＋x0＋

∵P为椭圆上一点，∴＋＝1.

∴＝＋x0＋3＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.

∵－2≤x0≤2.

∴的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.

12．如图，已知双曲线的左右焦点分别为,，是双曲线右支上的一点，与轴交于点的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率是     

A．2 B． C． D．3

【答案】A

【分析】由|PQ|＝1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，根据切线长定理，可得|PF1|﹣|PF2|＝2，结合|F1F2|＝4，即可得出结论．

【详解】由题意，∵|PQ|＝1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，

∴根据切线长定理可得AM＝AN，F1M＝F1Q，PN＝PQ，

∵|AF1|＝|AF2|，

∴AM+F1M＝AN+PN+NF2，

∴F1M＝PN+NF2＝PQ+PF2

∴|PF1|﹣|PF2|＝F1Q+PQ﹣PF2＝F1M+PQ﹣PF2＝PQ+PF2+PQ﹣PF2＝2PQ＝2，

∵|F1F2|＝4，

∴双曲线的离心率是e＝＝2．

故选A．

【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理，考查学生的计算能力，属于中档题.

二、填空题

13．直线的倾斜角为_____.

【答案】##

【分析】根据，直接计算即可.

【详解】设直线的倾斜角为

所以

故答案为：

14．已知直线，直线，则与之间的距离为___________.

【答案】

【分析】利用平行线间距离公式，即可计算结果.

【详解】直线，直线 ，

两条直线平行，所以与之间的距离.

故答案为：

15．若圆与圆有3条公切线，则正数a=___________.

【答案】3

【分析】根据两圆外切半径之和等于圆心距即可求解.

【详解】两圆有三条公切线，则两圆外切，∴∴

故答案为：3

16．在空间直角坐标系中，已知，则直线与平面所成的角的正弦值为__________.

【答案】##

【分析】平面的一个法向量为，求出即得解.

【详解】平面的一个法向量为，，

所以.

所以直线与平面所成的角的正弦值为.

故答案为：

17．由直线上的点向圆引切线（为切点），则线段的最小长度为________．

【答案】

【分析】利用切线长定理，结合点到直线距离公式计算作答.

【详解】圆的圆心，半径，点到直线的距离，

于是得，当且仅当垂直于直线时取“=“，

所以线段的最小长度为.

故答案为：

18．已知，，点为坐标平面内的动点，满足，则动点P的轨迹方程为__________．

【答案】

【分析】由题得，，，，再由已知，计算求解即可得到结论．

【详解】由题意，知，，，．

由，

得，

化简整理，得．

故答案为：

【点睛】本题考查向量的数量积及平面向量的坐标运算，考查圆锥曲线中的轨迹问题，考查抛物线的标准方程，考查分析与计算能力，属于基础题．

19．如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中，则点D到平面ACE的距离为________．

【答案】

【分析】建立合适空间直角坐标系，分别表示出点的坐标，然后求解出平面的一个法向量，利用公式求解出点到平面的距离.

【详解】以AB的中点O为坐标原点，分别以OE，OB所在的直线为x轴、y轴，过垂直于平面的方向为轴，

建立如下图所示的空间直角坐标系，

则，

，

设平面ACE的法向量，则，即，

令，∴．

故点D到平面ACE的距离.

故答案为：.

20．设是椭圆上一点，以为圆心的圆与轴相切，切点为椭圆的焦点，圆与轴相交于不同的两点，，若为等边三角形，则椭圆的离心率为____．

【答案】

【分析】由圆M与x轴相切与焦点F，设M（c，y），则y或y，所以圆的半径为，利用△PQM是等腰直角三角形，即可求出椭圆的离心率．

【详解】∵圆M与X轴相切于焦点F，则MF与x轴垂直，

∴不妨设M（c，y）在椭圆x轴上方，

则y，

∴圆的半径为，

∵△PQM为等边三角形，

∴c，

∴b2ac，

∴a2﹣c2ac，

∴e2e﹣1＝0，

∵0＜e＜1，

∴e．

故答案为．

【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，属于中档题．

三、双空题

21．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左､右焦点，为右支上任意一点，则双曲线的方程为__________；的最小值为__________.

【答案】     ；     8.

【分析】利用椭圆、双曲线的定义以及基本不等式求解.

【详解】因为椭圆，所以其离心率，

由题知，双曲线的离心率，

因为双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，

所以对于双曲线，，

所以，，所以双曲线的方程为：；

因为分别为双曲线的左､右焦点，为右支上任意一点，

所以，即，

所以，

因为，由基本不等式可得：

，当且仅当，

即时取等号，所以的最小值为8.

故答案为：；8.

四、解答题

22．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线与圆相交于、两点，是的中点，.

(1)求圆的标准方程；

(2)求直线的方程；

(3)为圆上任意一点，在（1）的条件下，求的最小值.

【答案】(1)

(2)或

(3)

【分析】（1）计算出圆的半径，可得出圆的标准方程；

（2）利用勾股定理计算出圆心到直线的距离为，然后对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线轴时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程；

（3）记点，则，分析可知当为线段与圆的交点时，取最小值，求出的最小值，即可得解.

【详解】（1）解：由题意可知，点的半径为，

因此，圆的标准方程为.

（2）解：由题意可知，圆心到直线的距离为.

①当直线轴时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

由题意可得，解得，

此时，直线的方程为，即.

综上所述，直线的方程为或.

（3）解：记点，则，

，所以，点在圆外，如下图所示：

由图可知，当为线段与圆的交点时，取最小值，且，

因此，的最小值为.

23．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且．

(1)求证：平面；

(2)平面与所成角的大小；

(3)在棱上是否存在一点，使得异面直线与所成角的余弦值为，求的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)存在，

【分析】（1）证明平面平面，即可得到答案.

（2）以为轴建立空间直角坐标系，得到各点坐标，计算平面和平面的法向量，根据向量夹角公式计算得到答案.

（3）假设存在，设，根据向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】（1），平面，平面，所以平面，

同理，平面，平面，所以平面，

又，平面，平面，故平面平面，

平面，故平面.

（2）平面，平面，故，故两两垂直.

以为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

设平面的法向量为，则，

取得到，

设平面的法向量为，则，

取得到，

，平面与所成角为钝角，故为.

（3）假设存在，设，则，，

则，解得或（舍去）.

故存在满足条件，.

24．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，短轴长为2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设为椭圆上顶点，点是粚圆上异于顶点的任意一点，直线交轴于点，点与点关于轴对称，直线交轴于点.

（i）若直线过椭圆的右焦点，求的面积；

（ii）在轴的正半轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1);

(2)（i）;（ii）答案见解析.

【分析】（1）利用椭圆的离心率公式及短轴长，结合椭圆中的关系即可求解；

（2）（i）根据（1）的结论及椭圆的上顶点的定义，再利用直线的截距式及弦长公式，结合点到直线的距离公式及三角形的面积公式即可求解；

（ii）根据已知条件及直线的点斜式方程，再利用点关于轴对称及点在椭圆上，结合直角三角形中的锐角三角函数即可求解.

【详解】（1）由题意可知，，解得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）（i）由（1）知，椭圆的右焦点为,因为为椭圆上顶点，

所以,

因为直线过椭圆的右焦点，

所以直线的方程为，即，

由，消去，得，解得，

所以，

所以原点到直线：的距离为

所以的面积为.

（ii）设，,直线的方程为，令，得，

即,由点与点关于轴对称，可得，同理可得,

因为在椭圆上，所以，即，

假设在轴的正半轴上存在点，使得.

由，可得,即所以，解得或，

由，可得，

经验证当时，.

所以在轴的正半轴上存在点，使得.

【点睛】解决此题的关键第一问直接利用椭圆的离心率公式及短轴长即可，第二问中的第一小问直接利用直线截距式方程、弦长公式及点到直线的距离公式，结合三角形形的面积公式即可，第二问中的第二小问直接设出相关点及点关于轴对称，再利用直线的点斜式方程及点在椭圆上，结合直角三角形中的锐角三角函数即可求解.