2021-2022学年天津市南开中学高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2021-2022学年天津市南开中学高一下学期期中数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年天津市南开中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．若复数z满足其中i为虚数单位，则z=（       ）A．1+2i B．12i C． D．【答案】B【详解】试题分析：设，则，故，则，选B.【解析】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.2．若，，则直线，的位置关系是（       ）A．平行或异面 B．平行或相交 C．相交或异面 D．平行、相交或异面【答案】D【分析】利用条件，联系立方体即可得出结论.【详解】解：如图所示，设平面为平面若，，故，，，相交；若，，故，，，异面；若，，故，，，平行.故选：D3．在中，内角所对的边分别是，若，则角（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，结合余弦定理，代入即可得答案.【详解】由余弦定理得，因为，所以.故选：B4．已知向量，，则（       ）A． B． C． D．5【答案】A【分析】根据线性运算的坐标表示求出的坐标，再根据向量模的坐标公式计算可得；【详解】解：因为，，所以，所以；故选：A5．下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（       ）A．直线与直线平行 B．直线与直线相交C．直线与直线异面垂直 D．直线与直线异面且所成的角为60°【答案】D【分析】首先画出正方体的展开图的立体图，从而得到直线与直线为异面直线，再求异面直线所成角即可得到答案.【详解】正方体的展开图的立体图形如图所示：由图知：直线与直线为异面直线，故A，B错误；连接，，因为，所以或其补角为异面直线与所成角.又因为为等边三角形，所以.所以直线与直线异面且所成的角为60°，故C错误，D正确.故选：D【点睛】本题主要考查异面直线成角问题，属于简单题.6．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，E在线段PD上且异于P、D，则四边形EFBC是（       ）A．空间四边形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形【答案】C【分析】由线面平行的性质分析判断即可【详解】因为∥，平面，平面，所以∥平面，因为平面，平面平面，所以∥，因为，，所以，所以四边形为梯形，故选：C7．在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为，，则=（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】过点作的平行线交于，即可得到则，再根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：如图过点作的平行线交于，则是的中点，且，又，所以，即，又故选：B．8．的内角，，的对边分别为，，，若，，则的形状为（       ）A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．不确定【答案】C【分析】根据正弦定理、两角和的正弦公式，结合诱导公式进行求解判断即可.【详解】因为，所以，所以则，即，故.因为，，所以，当时，所以或.若，则.若，则.当时，（舍去），因此的形状为直角三角形.故选：C9．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，设圆锥和圆锥的高之比为，即，设球的半径为，则，可得，所以，，所以，，，，则，所以，，又因为，所以，，所以，，，因此，这两个圆锥的体积之和为.故选：B.10．已知四面体ABCD的所有棱长都相等，其外接球的体积等于π，则下列结论正确的个数为（       ）．①四面体ABCD的棱长均为2：②四面体ABCD的体积等于③异面直线AC与BD所成角为A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】①,求出外接球半径与正四面体棱长之间的关系，由外接球体积求出外接球半径，从而求出棱长；②,在①的基础上利用椎体体积公式进行求解；③,作出辅助线，可证明出AC与BD垂直，从而③错误.【详解】由题意知，可以设该正四面体的棱长为a，底面正三角形BCD的中心为G，该正四面体的外接球的球心为O，半径为R；则在直角三角形AGB中，.在直角三角形OBG中，，所以，由外接球的体积为，可得，所以，解得：，故①正确；由①得：正四面体的高，故正四面体的体积为，故②正确；设BD的中点为E，连接AE，CE，因为三角形ABD与三角形BCD均为等边三角形，由三线合一得：，因为，所以平面AEC，因为平面AEC，所以，故③错误.故正确的是①②.故选：C二、填空题11．已知，且复数是纯虚数，则________.【答案】【解析】根据复数的四则运算进行化简得，又由于该复数为纯虚数，故，解得.【详解】解：，又该复数为纯虚数故，，故答案为：12．圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为，半径为3，则此圆锥的体积为________.【答案】【分析】根据弧长公式，可得，然后可得圆锥底面的半径，利用勾股定理可得圆锥的高，最后利用锥体体积公式，可得结果.【详解】圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为3的扇形，则圆锥的母线长为，底面周长即扇形的弧长为，所以底面圆的半径为，所以底面圆的面积为，圆锥的高为，所以圆锥的体积为.故答案为：【点睛】本题考查根据圆锥的展开图求圆锥的体积，重点在于求圆锥的高和底面半径，属基础题.13．设，是两个不共线的向量，若向量与向量 共线，则___________．【答案】【分析】由共线向量定理可得存在唯一实数，使，再由，是两个不共线的向量，可求出的值【详解】由题意得存在唯一实数，使，所以，因为，是两个不共线的向量，所以，解得，故答案为：14．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为____________【答案】【分析】利用计算即可.【详解】因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点所以故答案为：【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.15．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为      .【答案】【分析】根据正方体的性质，结合球的体积公式进行求解即可.【详解】因为正方体体的对角线就是正方体的外接球的直径，所以由外接球的体积公式得：，即，则，故答案为：．【点睛】本题考查了正方体外接球的性质，考查了球的体积公式的应用，考查了空间想象能力和数学运算能力.三、双空题16．在菱形ABCD中，，，E，F分别为线段BC，CD上的点，，，点M在线段EF上，且满足，则x=___________；若点N为线段BD上一动点，则的取值范围为___________.【答案】     ；     【分析】根据菱形的性质，建立以为x轴，为y轴的直角坐标系，利用向量的坐标表示形式分别表示出，根据它们的关系求得x的值及M的坐标；设，表示出的函数关系，根据二次函数的性质求得取值范围.【详解】根据菱形的性质，建立以为x轴，为y轴的直角坐标系，如图所示：则，，，，，由题知，，且，设，则，由，则，解得，，设，，，则，则故答案为：；.四、解答题17．在，角所对的边分别为，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．【答案】（I）；（II）；（III）【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可计算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】（I）因为，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，所以.18．如图，已知平面，，，，，，点和分别为和的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求直线与平面所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）连接，推导出，由此能证明平面．（2）推导出，从而平面，进而，由此能证明平面．（3）取中点和中点，连接，，，推导出四边形是平行四边形，从而且，进而平面，即为直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的大小．【详解】(1)证明：连接，在中，和分别是和的中点，，又平面，平面，平面．(2)证明：，为中点，，平面，，平面，，又，平面，平面，(3)解：取中点和中点，连接，，，和分别为和的中点，且，且，四边形是平行四边形，且，又平面，平面，即为直线与平面所成角，在中，可得，，，，且，又由，，在中，，在中，，，即直线与平面所成角的大小为．