2022-2023学年天津市南开区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年天津市南开区高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  “”是“”成立的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.  函数的大致图象为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  甲、乙两人准备分别从历史、文学、哲学这类书中随机选择一本阅读，且两人的选择结果互不影响记事件“甲选择历史书”，事件“甲和乙选择的书不同”，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  对两个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是(    )

A. 变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强
B. 变量与负相关，变量与正相关，变量与的线性相关性较强
C. 变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强
D. 变量与负相关，变量与正相关，变量与的线性相关性较强

7.  设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为、，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为、，则甲正点到达目的地的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：(    )

由最小二乘法得与的线性回归方程为，则当时，繁殖个数的预测值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图所示，用种不同的颜色涂入图中的矩形，，，中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法(    )

 

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

10.  已知函数是定义域为的函数，，对任意，，均有，已知，为关于的方程的两个解，则关于的不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11.  在的展开式中，常数项为______请用数字作答

12.  计算： ______ ．

13.  某品牌手机的电池使用寿命单位：年服从正态分布．且使用寿命不少于年的概率为，使用寿命不少于年的概率为，则该品牌手机的电池使用寿命不少于年且不多于年的概率为______．

14.  已知袋中有个白球个黑球，现从袋中任取个球，则取出的个球为同色球的概率为______ ．

15.  函数的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共5小题，共25.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值，，满足．
求展开式的第四项；
求展开式中各项的系数和．

17.  本小题分
不透明袋中装有质地，大小相同的个红球，个白球，若从中不放回地取出个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为．
求白球的个数；
若有放回的取出两个球，记取出的红球个数为，求．

18.  本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．

19.  本小题分
甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得分，答错或不答都得分，已知甲队人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队总得分．
求的概率；
求甲队和乙队得分之和为的概率．

20.  本小题分
已知是函数的一个极值点．
求；
求函数的单调区间；
若函数有个零点，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：依题意，，而，，
则，，
所以．
故选：．
用列举法表示全集，再利用补集、交集的定义求解作答．
本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，即或，
或不能推出，充分性不成立，
能推出或，必要性成立，
故“”是“”成立的必要不充分条件．
故选：．
，即或，再依次判断充分性、必要性，即可求解．
本题主要考查充分条件与必要条件，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由，
故函数为非奇非偶函数，排除、；
由，
，所以，即可排除．
故选：．
应用定义判断函数奇偶性，比较，结合排除法即可得答案．
本题考查函数的图象问题，函数的奇偶性，特值点，属中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，，
故，，
又，，
令，，
，
令，，
则在上恒成立，故在上单调递增，
，
则在上恒成立，
则在上单调递减，
故，
．
故选：．
先判断出，，，再构造函数，比较出，从而得到答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，对数值大小的比较，考查逻辑推理能力，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：事件“甲选择历史书”，则，
事件“甲和乙选择的书不同”，
则事件“甲选择历史书，乙选择的是文学书或哲学书”，
所以，
所以．
故选：．
利用条件概率公式求解即可．
本题考查条件概率计算公式，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为线性相关系数，所以，正相关，
因为线性相关系数，所以，负相关，
又因为，所以变量，的线性相关性比，的线性相关性强，
故选：．
利用相关系数的正负以及绝对值的大小即可判断求解．
本题考查了判断两个变量线性相关性的问题，考查了学生的理解能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，甲正点到达目的地的概率为．
故选：．
根据题意利用相互独立事件的概率计算公式可得．
本题考查相互独立事件的概率计算，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，，
，
，
，
当时，．
故选：．
由已知条件求出回归方程，由此能求出结果．
本题考查繁殖个数预测值的求法，考查线性回归方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查排列、组合的应用，涉及“涂色”问题，是典型题目；分析时要按一定顺序，由相邻情况来确定可以涂色的情况数目，属于基础题．
根据图形，首先确定涂有种涂法，则涂有种涂法，进而由与、相邻，只与相邻，可以确定、的涂色的情况，最后由乘法原理，计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，首先涂有种涂法，则涂有种涂法，
与、相邻，则有种涂法，
只与相邻，则有种涂法．
所以，共有种涂法，
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：由，得且函数关于点对称，
由对任意，，均有，
可知函数在上单调递增，
又因为函数的定义域为，
所以函数在上单调递增，
因为，为关于的方程的两个解，
所以，解得，
且，即，
又，
令，则，
则由，得，
所以，
综上，的取值范围是．
故选：．
由题可得函数关于点对称，函数在上单调递增，进而可得，利用函数的单调性即得．
本题考查了函数奇偶性和单调性的综合应用，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
考察了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
求出展开式的通项，然后令的指数为，进而可以求解．
【解答】
解：二项式的展开式的通项为，，，，，，
令，解得，
所以展开式的常数项为，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：

故答案为：
由题意，利用对数的运算性质，计算求得结果．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
，
正态分布曲线的对称轴为直线，
因为，
，
故该品牌手机的电池使用寿命不少于年且不多于年的概率为．
故答案为：．
易得从而正态分布曲线的对称轴为直线，即可得到答案．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：取出的个球共有种，
若同为白球，共有种；若同为黑球，共有种；
可得同色球共有种，
所以取出的个球为同色球的概率为．
故答案为：．
根据题意分同为白球和同为黑球两种情况，结合古典概型运算求解．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解；由，根据基本不等式，
得，
当且仅当，即时等号成立．
所以函数的最小值为．
故答案为：．
利用基本不等式求和的最小值．
本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题．
 

16.【答案】解：因为的展开通项为：，
由题意可知：，，，且，，
则，即，
解得或舍去，
第四项；
由可得二项式，
令，得展开式的各项系数的和为． 

【解析】根据题意结合二项展开式的通项公式求得，进而可得展开式的第四项；
利用赋值法，令，求各项系数之和．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
 

17.【答案】解：由题意知，袋中装有质地，大小相同的个红球，个白球，
因为第一个取出的球是红球，第二个取出的球是白球的概率为，
设第一个取出的球是红球为事件，第二个取出的球是白球为事件，
所以
所以，解得．
由题意，随机变量可能为，，，
则，
，
，
所以随机变量的分布列为：

则期望为． 

【解析】由条件概率公式可得，解方程即可得出答案；
求出随机变量的可能取值及对应的概率，再由期望公式求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．
 

18.【答案】解：由，得
，，
曲线在点处的切线方程为，即；
设切点为，，
切线方程为，
切线经过原点，
，
，．
则，
所求的切线方程为；
切点为． 

【解析】求出原函数的导函数，得到函数在时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；
设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，则直线方程与切点坐标可求．
本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是区分切线所经过的点是否为切点，是中档题．
 

19.【答案】解：，则甲队有两人答对，一人答错，
故；
设甲队和乙队得分之和为为事件，设乙队得分为，则，
，
，
，
，

． 

【解析】由题意，根据独立事件的概率乘法公式，可得答案；
由题意，根据概率乘法公式与二项分布的概率公式，结合概率加法公式，可得答案．
本题考查了概率乘法公式与二项分布的概率公式，属于中档题．
 

20.【答案】解：，
因为是函数的一个极值点，
所以，解得．
由得，，
，
令，得，．
和随的变化情况如下：

的增区间是和；减区间是．
由知，的极大值为，极小值为．
因为，，
所以．
因为，，
所以．
函数图像如图所示，

当直线与函数的图像有个交点时，函数有个零点，
的值在函数的极小值和极大值之间，所以的取值范围为． 

【解析】由极值点，有，可解得；
利用导数求函数的单调区间；
利用函数单调性和极值，数形结合求的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值，函数的零点问题，考查运算求解能力，属于中档题．