2022-2023学年天津市南开中学高二下学期期末数学试题含答案

2022—2023学年度第二学期阶段性质量监测

高二年级数学学科

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共100分，考试时间100分钟.

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.

1. 若，，，则（）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】用列举法表示全集，再利用补集、交集的定义求解作答.

【详解】依题意，，而，，

则，

所以.

故选：A

2. “”是“”成立的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】解：因为解得或，

所以“”是“”成立的必要不充分条件，

故选：B

3. 函数的大致图象为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

分析】应用定义判断函数奇偶性，比较，结合排除法即可得答案.

【详解】由，故函数为非奇非偶函数，排除B、C；

由，，

所以，即可排除D.

故选：A

4. 若，，，则（    ）

A B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先判断出，再构造函数，比较出，从而得到答案.

【详解】，，，

故，

又，，

令，，

，

令，，

则在上恒成立，故在上单调递增，

所以，

则在上恒成立，

则在上单调递减，

故，

所以

故选：D

5. 甲､乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝､农夫山泉､雪碧这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件“甲选择农夫山泉”，事件“甲和乙选择的饮品不同”，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用条件概率公式求解即可．

【详解】解：事件“甲选择农夫山泉”，则

事件“甲和乙选择的饮品不同”，

则事件=“甲选择农夫山泉，乙选择的是加多宝或者雪碧”

所以

所以，

故选：D

6. 对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r1＝0.8995，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r2＝﹣0.9568，则下列判断正确的是（　　）

A. 变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强

B. 变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强

C. 变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强

D. 变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强

【答案】C

【解析】

【分析】根据相关系数的知识确定正确选项.

【详解】依题意：，

所以正相关，负相关，

，所以的线性相关性较强.

故选：C

7. 设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为，则甲正点到达目的地的概率为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘火车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，由全概率公式求解即可.

【详解】设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘动车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，

由题意知.

由全概率公式得

。

故选：C

8. 为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：

由最小二乘法得与的线性回归方程为，则当时，繁殖个数的预测值为

A. 4.9 B. 5.25

C. 5.95 D. 6.15

【答案】B

【解析】

【分析】根据表格中的数据，求得样本中心为，代入回归直线方程，求得，得到回归直线的方程为，即可作出预测，得到答案．

【详解】由题意，根据表格中的数据，可得，

即样本中心为，代入回归直线方程，即，

解得，即回归直线的方程为，

当时，，故选B．

【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

9. 如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（　　）

A. 72种 B. 48种 C. 24种 D. 12种

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：先涂A的话，有4种选择，若选择了一种，则B有3种，而为了让C与AB都不一样，则C有2种，再涂D的话，只要与C涂不一样的就可以，也就是D有3种，所以一共有4x3x2x3=72种，故选A．

考点：本题主要考查分步计数原理的应用．

点评：从某一区域涂起，按要求“要求相邻的矩形涂色不同”，分步完成．

10. 已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题可得函数关于点对称，函数在R上单调递增，进而可得，利用函数的单调性即得.

【详解】由，得且函数关于点对称．

由对任意，，均有，

可知函数在上单调递增．

又因为函数的定义域为R，

所以函数在R上单调递增．

因为a，b为关于x的方程的两个解，

所以，解得，

且，即．

又，

令，则，

则由，得，

所以．

综上，t 的取值范围是.

故选：D．

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.

11. 6的二项展开式中的常数项为___________.

【答案】60

【解析】

【分析】写出二项展开式的通项，令的指数等于零，即可得出答案.

【详解】解：6的二项展开式的通项为，

令，则，

所以6的二项展开式中的常数项为.

故答案为：60.

12. 计算：____________.

【答案】

【解析】

【分析】根据对数的运算法则结合换底公式求解.

【详解】因为

，

所以.

故答案为：.

13. 某品牌手机的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布．且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为________．

【答案】0.4##

【解析】

【分析】易得从而正态分布曲线的对称轴为直线，即可得到答案

【详解】由题意知，，

∴

∴正态分布曲线的对称轴为直线，

因为，

∴，

故该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为0.4，

故答案为：0.4

14. 已知袋中有4个白球2个黑球，现从袋中任取2个球，则取出的2个球为同色球的概率为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意分同为白球和同为黑球两种情况，结合古典概型运算求解.

【详解】取出的2个球共有种，

若同为白球，共有种；若同为黑球，共有种；

可得同色球共有种，

所以取出的2个球为同色球的概率为.

故答案为：.

15. 函数的最小值为____________.

【答案】4

【解析】

【分析】利用基本不等式求和的最小值.

【详解】由，根据基本不等式，

得，

当且仅当，即时等号成立.

所以函数的最小值为4.

故答案为：4

三、解答题：（本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值a，b，c满足.

（1）求展开式的第四项；

（2）求展开式中各项的系数和.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意结合二项展开式的通项公式求得，进而可得展开式的第四项；

（2）利用赋值法，令，求各项系数之和.

小问1详解】

因为的展开式为，

由题意可知：，，，且，，

则，即，解得或（舍去），

第四项.

【小问2详解】

由（1）可得二项式，

令，得展开式各项系数的和为.

17. 不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球，若从中不放回地取出2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为.

（1）求白球的个数m；

（2）若有放回的取出两个球，记取出的红球个数为X，求.

【答案】（1）5（2）

【解析】

【分析】（1）由条件概率公式可得，解方程即可得出答案；

（2）求出随机变量X的可能取值及对应的概率，再由期望公式求解即可.

【小问1详解】

由题意知，袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球，

因为第一个取出的球是红球，第二个取出的球是白球的概率为，

设第一个取出的球是红球为事件，第二个取出的球是白球为事件，

所以

所以，解得.

【小问2详解】

由题意，随机变量X可能为0，1，2，

则，

，

，

所以随机变量X的分布列为：

则期望为.

18. 已知函数.

（1）求曲线在点处的切线的方程.

（2）若直线为曲线的切线，且经过坐标原点，求直线的方程及切点坐标.

【答案】(1) ；(2) 直线的方程为，切点坐标为.

【解析】

【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得结果，（2）设切点，根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，再根据切线过坐标原点解得结果.

【详解】（1）.

所以在点处的切线的斜率，

∴切线的方程为；

（2）设切点为，则直线的斜率为，

所以直线的方程为：，

所以又直线过点，

∴，

整理，得，∴，

∴，的斜率，

∴直线的方程为，切点坐标为.

【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数求切线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.

19. 甲､乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示甲队总得分.

（1）求的概率；

（2）求甲队和乙队得分之和为4的的概率.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意，根据独立事件的概率乘法公式，可得答案；

（2）由题意，根据概率乘法公式与二项分布的概率公式，结合概率加法公式，可得答案.

【小问1详解】

，则甲队有两人答对，一人答错，

故.

【小问2详解】

设甲队和乙队得分之和为4为事件A，设乙队得分为Y，则.

，

，

，，

，

∴

.

20. 已知是函数的一个极值点.

（1）求a；

（2）求函数的单调区间；

（3）若函数有3个零点，求b的取值范围.

【答案】（1）16（2）单调递增增区间是，；单调递减区间是

（3）

【解析】

【分析】（1）由极值点，有，可解得a；

（2）利用导数求函数的单调区间；

（3）利用函数单调性和极值，数形结合求b的取值范围.

【小问1详解】

，

因为是函数的一个极值点.

所以，解得,经检验符合题意；

【小问2详解】

由（1）得，.

，

令，得，.

和随x的变化情况如下：

的增区间是和；减区间是.

【小问3详解】

由（2）知，的极大值为，极小值为.

因为，，

所以.

因为，，

所以.

函数图像如图所示，

当直线与函数的图像有3个交点时，函数有3个零点，

值在函数的极小值和极大值之间，所以的取值范围为.