2022-2023学年天津市南开田家炳中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年天津市南开田家炳中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用集合的交集运算即可.

【详解】由题可知，，

故选:A.

2．已知命题，则命题的否定（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即得.

【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，

所以命题的否定为：.

故选：C.

3．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.

【详解】求解二次不等式可得：或，

据此可知：是的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.

4．下列结论正确的是

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】A

【分析】不等式的两边同时乘以，得到，不等式的两边同时乘以，得到，即可判断A选项；利用特殊值排除B,C,D选项即可.

【详解】不等式的两边同时乘以，得到，不等式的两边同时乘以，得到,所以，故A正确；

当时，，故B错误；

当时，，故C错误；

当时，，故D错误.

故选：A

【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.

5．函数单调减区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接根据二次函数的性质即可得出答案.

【详解】因为函数的图象是开口向上，且以直线为对称轴的抛物线，

故函数的单调递减区间是.

故选：C．

6．已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（    ）

A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数

D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

【答案】D

【分析】利用幂函数的定义求得指数的值，得到幂函数的解析式，进而结合幂函数的图象判定单调性和奇偶性

【详解】设幂函数的解析式为，

将点的坐标代入解析式得，解得，

∴，函数的定义域为,是非奇非偶函数，且在上是增函数，

故选：D.

7．下列各组函数与的图象相同的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据相等函数的定义即可得出结果.

【详解】若函数与的图象相同则与表示同一个函数，则与的定义域和解析式相同.

A：的定义域为R，的定义域为，故排除A；

B：，与的定义域、解析式相同，故B正确；

C：的定义域为R，的定义域为，故排除C；

D：与的解析式不相同，故排除D.

故选：B

8．已知偶函数的定义域为R，当时，单调递增，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据偶函数的性质，结合单调性即可选出答案.

【详解】因为为偶函数，所以，．又当时，单调递增，且，所以，即．

故选：B．

9．若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别讨论两个函数的单调性，是二次函数，由对称轴可得，，只要在上一定递减，两者结合可得．

【详解】对于，开口向下，对称轴为

若函数在区间上都是减函数，则区间在对称轴的右侧，所以可得：；

对于，其相当于将的图象向左平移1个单位，得到如下函数图像：

此时我们可以判断，当时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故的取值范围是.

故选：D．

【点睛】本题考查函数的单调性，掌握二次函数与反比例函数的单调性是解题关键．

10．已知是定义在上的奇函数且单调递增，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据函数的奇偶性，把不等式转化为，再结合函数的单调性，列出不等式组，即可求解.

【详解】由题意，函数是定义在上的奇函数，所以，

则不等式，可得，

又因为单调递增，所以，解得，

故选：.

【点睛】求解函数不等式的方法：

1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，

具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解.

2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.

二、填空题

11．已知幂函数图象过点，则幂函数的解析式为__________.

【答案】

【分析】设该幂函数为，由幂函数图象过点可得，即可得解.

【详解】设该幂函数为，

可得，所以，

所以幂函数的解析式.

故答案为：

12．若的定义域为__________.

【答案】

【分析】根据分式和根式对自变量的限定，列出不等式组，求出定义域.

【详解】由题意可得，解得且，所以定义域为.

故答案为：.

13．当时，函数的最小值为________.

【答案】3

【分析】由可得，由基本不等式可得，可求答案．

【详解】解：，由基本不等式可得，

当且仅当，即时取等号，

则的最小值为3.

故答案为：3

【点睛】本题主要考查利用基本不等式求函数的最值，要注意配凑积为定值，同时考查学生灵活变形及选用知识的能力．

14．函数的定义域为R，则实数m的取值范围是_______.

【答案】

【分析】根据题意知恒成立,再求解即可.

【详解】由题可得恒成立.当时显然不成立.

当时有恒成立.

当时,.综上有.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了根据恒成立问题求解参数的取值范围.属于基础题.

15．已知函数是定义在区间上的减函数，若，则实数的取值范围是__．

【答案】

【解析】根据题意，由函数的定义域和单调性可得，解可得的取值范围，即可得答案．

【详解】根据题意，函数是定义在区间上的减函数，

若，则有，解可得，

即的取值范围为，，

故答案为：，．

【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意函数的定义域，属于基础题．

三、解答题

16．设全集，集合，非空集合，

（Ⅰ）若，求，；

（Ⅱ）若，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；或；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）时，求出集合，，．

（Ⅱ）求出集合，非空集合，，由此能求出实数的取值范围．

【详解】（Ⅰ）时，全集，集合，

集合，

，

或或或；

（Ⅱ）集合，非空集合，，

，

，解得．

实数的取值范围是．

17．解下列不等式：

（1）2＋3x－2x2>0；

（2）x(3－x)≤x(x＋2)－1；

（3）x2－2x＋3>0.

【答案】（1）；（2）或；（3）R.

【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】（1）原不等式可化为2x2－3x－2<0，所以(2x＋1)(x－2)<0

故原不等式的解集是.

（2）原不等式可化为2x2－x－1≥0，所以(2x＋1)(x－1)≥0

故原不等式的解集为或

（3）因为

故原不等式的解集是R.

【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.

18．已知函数.

（1）求；

（2）在直角坐标系中画出的图象；

（3）若，求的值．

【答案】（1）f（π）=2π；（2）见解析；（3）

【分析】（1）根据,代入相应解析式即可得的值.

（2）根据描点法,可得几个端点的坐标.由二次函数与一次函数的图象与性质,可画出函数图象.

（3）根据函数图象,可得时对应的解析式,解方程即可求得的值.

【详解】（1）当时,

因为,所以；

（2）根据二次函数与一次函数的性质,可画出图象如下图所示:

当时, ,即过

当时, ,即过

当时, ,即过

（3）由函数图象可知

时,即

解得

【点睛】本题考查了分段函数的求值,函数图像的画法,属于基础题.

19．已知函数f(x)=x+，且f(1)=2.

(1)求m的值；

(2)判断f(x)的奇偶性；

(3)当＞0时，求函数f(x)的最小值.

【答案】(1)m＝1；(2)奇函数；(3)2.

【分析】(1)由函数值表达式直接求得；

(2)根据奇偶性定义判断；

(3)根据单调性定义确定函数的单调性后可得最小值．

【详解】(1)∵f(1)＝2，∴1+m＝2，m＝1．

(2)函数的定义域为，关于原点对称.

f(x)＝x+，f(﹣x)＝﹣x﹣＝﹣f(x)，∴f(x)是奇函数．

(3)设任意的x1，x2∈(0，+∞)，且x1＜x2，则，

∵x1，x2∈(0，+∞)，且x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，且x1x2＞0，

所以当x∈(0，1)时，x1x2＜1，即x1x2﹣1＜0，此时f(x1)＞f(x2)，f(x)为减函数，

当x∈(1，+∞)时，x1x2＞1，即x1x2﹣1＞0，此时f(x1)＜f(x2)，f(x)为增函数，

所以函数f(x)在(0，1)上为减函数，在(1，+∞)上是增函数.

所以函数f(x)的最小值为f(x)=f(1)=2.

20．已知函数．

（1）若为偶函数，且，求函数在区间上的最大值和最小值；

（2）要使函数在区间上单调，求实数的取值范围．

【答案】(1) 的最小值为，最大值为．;(2)

【分析】（1）先由函数为偶函数，得到，由，得到，根据二次函数单调性，即可求结果；

（2）根据函数解析式，得到对称轴为直线，分别讨论函数在给定区间单调递增和单调递减两种情况，根据二次函数单调性，即可求出结果.

【详解】（1）由为偶函数，偶函数奇次项不存在，可得，即．

由，可得，即．

由的图象开口向上，且对称轴为直线，可得在上单调递减，在上单调递增，

可得的最小值为，最大值为．

（2）函数的图象的对称轴为直线，

若在上单调递增，则，解得；

若在上单调递减，则，解得．

综上，可得实数的取值范围是．

【点睛】本题主要考查函数奇偶性求参数，以及求二次函数的最值等问题，熟记二次函数的性质，以及偶函数的概念与性质即可，属于常考题型.