2022-2023学年天津市南开中学高二上学期期末结课练习数学试题含解析

这是一份2022-2023学年天津市南开中学高二上学期期末结课练习数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在数列中，，若为等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用等差中项求解即可．
【详解】解：由为等差数列得，解得.
故选：A
2．已知空间向量，，，若，则（ ）
A．2B．C．14D．
【答案】C
【分析】利用空间向量平行的性质即可.
【详解】因为空间向量，，，
如果，则，
所以，
解得，
所以，
故选：C.
3．两个正数与的等比中项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据等比中项的定义，即求出结果．
【详解】设它们等比中项为，则，所以．
故选：C
【点睛】本题主要考查等比中项公式的应用，属于基础题．
4．在双曲线中，虚轴长为6，且双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将椭圆方程化成标准方程求出其焦点坐标，再根据双曲线虚轴长度为6，即可求得双曲线的标准方程.
【详解】椭圆的标准方程为；
易得椭圆焦点坐标为，
又因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以双曲线的焦点在轴上，且，
由双曲线虚轴长为6可知，所以；
所以，双曲线的标准方程为.
故选：B.
5．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且点到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题易得，知，双曲线焦点在轴上，渐近线方程为，又由点到双曲线的渐近线的距离为4，得，即可解决.
【详解】由题知，抛物线开口向右，，
所以焦点为，
因为焦点与双曲线的一个焦点重合，
所以，且双曲线焦点在轴上，渐近线方程为，即，
因为点到双曲线的渐近线的距离为4，即，
所以，
所以双曲线的方程为，
故选：C
6．在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．6B．16C．24D．60
【答案】C
【分析】根据等差数列下标和的性质即可求的值,根据通项公式计算即可得出结果.
【详解】由等差数列的性质：,
而.
故选：C.
【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查计算能力，属于简单题.
7．在数列中，，，则前2022项和的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得到该数列周期，根据进行转化即可求和.
【详解】因为，
所以，，，，，…，
所以该数列的周期是3，
又因为，，
所以.
故选：C
8．如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值.
【详解】设分别是的中点，连接，则，
由于是等边三角形，所以，
根据直三棱柱的性质可知，平面平面，且交线为，
平面，所以平面，
由于平面，所以.
根据根据直三棱柱的性质可知，平面，所以平面，
平面，所以，
由此以为原点，建立空间直角坐标系如下图所示，
设，
则，
所以，
设异面直线与所成角为，
则.
故选：A
9．唐代诗人李欣的是古从军行开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从出发，河岸线所在直线方程，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用点关于直线对称点的求解方法可求得点关于直线的对称点，将问题转化为点和圆上的点连线的最小值的求解，利用点和圆心之间的距离减圆的半径可得结果.
【详解】设点关于直线的对称点为，则，的中点为，，解得：，，
要使从点到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，即为点和圆上的点连线的最小值，从点到军营最短总路程为点和圆心之间的距离减圆的半径，
“将军饮马”的最短总路程为.
故选：B.
10．已知点是抛物线与双曲线的一个交点，若抛物线的焦点为，且，则点到双曲线两条渐近线的距离之和为（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】A
【分析】求出的坐标，代入双曲线方程求出，然后求解双曲线的渐近线方程．
【详解】解：抛物线的焦点为，且，
可得，则，
点是抛物线与双曲线一个交点，，
可得，解得：，
则渐近线方程为：，
不妨令，
则点到这两条渐近线的距离之和为：
.
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线和双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
二、填空题
11．若抛物线经过点，则其准线方程是___________.
【答案】
【分析】把已知点坐标代入求得后可得准线方程．
【详解】由抛物线经过点，则，即，又抛物线的焦点在轴负半轴，故准线方程为．
故答案为：．
12．已知倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点交抛物线于A、B两点，并且，则______．
【答案】##
【分析】根据抛物线的定义，结合正弦函数的定义进行求解即可.
【详解】若角为锐角，如图，
设A、B两点在准线上的射影分别为C、D．
过B作于则有，
设，则．由勾股定理可知：
则．
若角为钝角，由对称性可知，
故答案为：．
13．在和之间插入个正数，使这个数成等比数列，则插入的这个正数的积为_____.
【答案】
【分析】结合等比数列的性质直接求解即可.
【详解】由题意得，等比数列由项，且.
根据等比数列性质有，
所以插入的这个正数的积为.
故答案为:
14．已知直线与圆：交于、两点，则的面积为______.
【答案】2
【分析】用已知直线方程和圆方程联立，可以求出交点，再分析三角形的形状，即可求出三角形的面积.
【详解】由圆C方程：可得：；
即圆心C的坐标为（0，-1），半径r=2；
联立方程得交点，如下图：
可知轴，∴是以为直角的直角三角形，，
故答案为：2.
15．在正方体中，点为线段的中点．设点在线段不与重合）上，直线与平面所成的角为，则的最大值是______．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算计算直线与平面成角正弦值，根据的表达式判断最大值即可．
【详解】解：如图建系，
不妨设正方体的棱长，,0,，,0,，,2,，
,0,，,2,，设平面的法向量为，
所以，令，所以，
又,1,，设,0,，则,，所以,,，
故，当时，等号成立，
所以的最大值是.
故答案为：．
16．已知正项等比数列，其前项和为，满足，．若不等式对一切正整数恒成立，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【分析】根据题意，求出等比数列的通项公式，进而得到该等比数列的前项和，把不等式整理成，根据，分离参数，可得对一切正整数成立，然后研究的最小值，即可得到答案.
【详解】因为，，设等比数列公比为，可得，所以．
不等式化为，
所以对一切正整数成立，
，
当且仅当，即时等号成立，所以．
故答案为：
三、解答题
17．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点.若，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过通径和离心率联立方程可得；（2）分别计算出的坐标，再根据直线与椭圆相切求出之间的关系式，代入可求得,进而求出直线方程.
【详解】（1），则过的垂线为，联立椭圆方程得：
弦长=又，联立解之得：
所以，椭圆的标准方程为
（2）由（1）知，
将直线与椭圆联立
整理得：
相切
代入解得：
解之：
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
18．已知数列中，，，，数列的前n项和为Sn.
(1)求的通项公式；
(2)已知，
（i）求数列前n项和Tn；
（ii）证明：当时，.
【答案】(1)
(2)（i）Tn；（ii）证明见解析
【分析】（1）由已知得出数列的奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列，偶数项构成的数列是首项为2，公差为4的等差数列.分别求出通项公式，合并可得的通项公式；
（2）（i）由奇数项和偶数项分别求和可得，从而得出，由裂项相消法求得和；
（ii）求出，由不等式的性质放缩为（时等号成立），时，对这个不等式求和，对新不等式两侧一个用错位相减法求得和，另一侧利用此和得出，即可证得不等式成立．
【详解】（1）由题意可知，数列的奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列，偶数项构成的数列是首项为2，公差为4的等差数列.
当n为奇数时，；
当n为偶数时，
（2）（i），
，
；
（ii），
，则；
（时等号成立）
当时，
设，
；
综上，当时，.