高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念综合训练题

高中数学高一下 人教2019A版必修第二册

 6-1 平面向量的概念（1） 课时练习

一、单选题

1．给出下列量：①角度；②温度；③海拔；④弹力；⑤风速；⑥加速度．

其中是向量的有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

2．下列四个命题正确的是（    ）

A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量

C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同

3．下列物理量中哪个是向量（    ）

A．质量 B．功 C．温度 D．力

4．给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等.其中正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．下列说法中，正确的个数是(　　)

①时间、摩擦力、重力都是向量；

②向量的模是一个正实数；

③相等向量一定是平行向量；

④向量与b不共线，则与b都是非零向量．

A．1 B．2 C．3 D．4

6．在等式①; ②；③；④；⑤若，则；正确的个数是（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

7．下列各量中是向量的是（    ）

A．时间 B．速度 C．面积 D．长度

8．下列说法中正确的个数是

①身高是一个向量；②的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量

A．0 B．1 C．2 D．3

9．下列说法错误的是（    ）

A．长度为0的向量叫做零向量

B．零向量与任意向量都不平行

C．平行向量就是共线向量

D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量

10．下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

11．下列说法错误的是（    ）

A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等

C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动

12．分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（    ）

A．4个 B．6个 C．8个 D．12个

二、填空题

13．下列命题中，正确的是______（填序号）.

①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量与向量平行，则与的方向相同或相反；

③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.

14．同起点而不平行的两个向量求和用通常采用______法则，当第二个向量的起点和第一个向量的终点重合时求和，通常采用______法则.由此可知，若干个起点，终点依次相接的向量和是以______为起点，______为终点的向量.

15．若A地位于B地正西方向5km处，C地位于A地正北方向5km处，则C地相对于B地的位移是________.

16．如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有_____个.

17．对下列命题：（1）若向量与同向，且，则；（2）若向量，则与的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量，若与的方向相同，则；（4）由于方向不确定，故不与任意向量平行；（5）向量与平行，则向量与方向相同或相反．其中正确的命题的个数为________

三、解答题

18．一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角度，继续按直线方向前进1m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角度，然后继续按直线方向前进1m，…，按此方法继续操作下去.

（1）作图说明当时，最少操作几次可使赛车的位移为0？

（2）按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发点的操作.

19．在平面下列各种情况中，各向量的终点的集合分别构成什么图形？

（1）把所有单位向量的起点都移到同一个点A；

（2）把平行于直线l的所有单位向量的起点平移到直线l上的点B；

（3）把平行于直线l的所有向量的起点平移到直线l上的点C．

20．下列量中哪些是向量？

悬挂物受到的拉力，压强，摩擦力，频率，加速度.

21．老鼠由A向东北方向以的速度逃窜,猫由B向东南方向以的速度追.问题:猫能追上老鼠吗?为什么?

22．如图，某人上午从A到达了B，下午从B到达了C，请在图上用有向线段表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天内的位移.

23．图是中国象棋的半个棋盘示意图，“马走日”是象棋中“马”的走法，“马”可从A跳到，也可从A跳到，用向量，表示“马”走了“一步”，试在图中画出“马”分别在B，C处走了“一步”的所有情况.

答案：

1．B

【分析】根据题意，由向量的定义分析给出的量，即可得答案．

【解析】根据题意，在①角度、②温度、③海拔、④弹力、⑤风速、⑥加速度中，

是向量的有④弹力、⑤风速、⑥加速度，有个，

故选：B．

2．B

【解析】由相等向量、共线向量的概念逐一核对四个选项得答案．

【解析】解：两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；

若与不共线，则与都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线；

共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；

两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移．

故选：B．

【注意】本题考查命题的真假判断与运用，考查了平行向量、向量相等的概念，属于基础题．

3．D

【分析】根据向量的定义判断即可．

【解析】质量、功、温度只有大小没有方向不是向量，故ABC错误，

力既有大小又有方向，是向量，故D正确，

故选：D．

4．C

【分析】根据零向量及单位向量的概念即可求解.

【解析】解：对①：零向量的方向是任意的，故①错误；

对②：零向量的长度为0，故②正确；

对③：零向量的方向是任意的，故③正确；

对④：单位向量的模都等于1，故④正确.

故选：C.

5．B

【分析】根据向量的定义，以及相等相等向量和向量的模的概念，逐项判定，即可得到答案．

【解析】对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．

故选B.

【注意】本题主要考查了向量的基本概念及其应用，其中解答中熟记向量的基本概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

6．C

【解析】由零向量、向量数乘、点乘等概念和性质，即可判断正误，进而确定答案.

【解析】零向量与任何向量的数量积都为0，错误；

0乘以任何向量都为零向量，正确；

向量的加减、数乘满足结合律，而向量点乘不满足结合律，错误；

向量模的平方等于向量的平方，正确；

不一定有，故错误；

故选：C

【注意】本题考核查了向量，利用向量相关概念、性质判断正误，属于基础题.

7．B

【分析】根据向量的概念进行判断即可.

【解析】解：既有大小，又有方向的量叫做向量；

时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量．

而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．

故选：．

【注意】此题是个基础题，本题的考点是向量的概念，纯粹考查了定义的内容．注意数学知识与实际生活之间的联系．

8．B

【分析】本题首先可根据是否有方向判断出①③是否正确，然后根据有没有大小来判断②是否正确，最后即可得出结果．

【解析】身高只有大小，没有方向，故不是向量，①错误；

同理③中温度不是向量，③错误；

对于②，的两条边只有方向，没有大小，不是向量，②错误；

④中加速度是向量，④正确，故选B．

【注意】本题考查向量的定义，向量是既有大小又有方向的量，考查学生对向量定义的理解，考查推理能力，是简单题．

9．B

【分析】由平面向量的相关概念判断.

【解析】A. 规定长度为0的向量叫做零向量，故正确；

B.规定零向量与任意向量都平行，故错误；

C.平行向量就是共线向量，故正确；

D.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，故正确；

故选：B

10．A

【分析】根据零向量的定义，可判断A项正确；根据共线向量和相等向量的定义，可判断B，C，D项均错.

【解析】模为零的向量是零向量，所以A项正确；

时，只说明向的长度相等，无法确定方向，

所以B，C均错；

时，只说明方向相同或相反，没有长度关系，

不能确定相等，所以D错.

故选：A.

【注意】本题考查有关向量的基本概念的辨析，属于基础题.

11．B

【分析】根据向量的相关概念直接判断即可.

【解析】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；

单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误；

根据零向量的概念，易知C选项正确；

向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；

故选：B.

12．C

【分析】由图形一一列出可得答案.

【解析】如图，以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量为：

，共8个．

故选：C．

13．③

【解析】利用向量的概念、共线对选项进行逐一判断，可分析处正确的选项.

【解析】解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量.

②不正确，若与中有一个为零向量，零向量的方向是任意的，故这两个向量的方向不一定相同或相反.

③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小，而向量的模均为实数，可以比较大小.

故答案为：③

【注意】本题考查向量的概念和共线的定义，属于基础题.

14．     平行四边形     三角形     第一个向量的起点     最后一个向量的终点

【分析】根据向量加法的平行四边形法则与三角形法则适用条件即可解答.

【解析】（1）同起点而不平行的两个向量求和用通常采用平行四边形法则，以两个向量为邻边作平行四边形，过共同起点的对角线所表示向量即为和向量；（2）当第二个向量的起点和第一个向量的终点重合时求和，通常采用三角形法则；（3）若干个起点，终点依次相接的向量和是以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量.

故答案为(1). 平行四边形    (2). 三角形    (3). 第一个向量的起点    (4). 最后一个向量的终点

【注意】本题主要考查了向量加法的平行四边法则和三角形法则，属于容易题.

15．西北方向5km

【解析】根据题意画出图形如图所示，由图形可得C地在B地的西北方向5km处．

答案：西北方向5km

16．24

【分析】每个小正方中有两个符合条件，找到正方形个数即可.

【解析】由题意知，的格点图中包含12个小正方形，每个小正方形的对角线长为

与平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足.

故答案为：24.

17．1

【分析】根据向量的定义以及相关概念，对选项进行逐一分析即可.

【解析】（1）向量不可比较大小，故（1）错误；

（2）向量的模长相等，不能确定方向的关系，故（2）错误；

（3）当向量模长相等，且方向相同时，则向量相等，故（3）正确；

（4）与任意向量平行，故（4）错误；

（5）若与有一个向量是零向量，则方向不确定，故（5）错误.

故正确的命题个数为.

故答案为：.

【注意】本题考查向量的定义、性质和相关概念，属基础题.

18．（1）8次（2）答案不唯一，具体见解析

【解析】（1）位移为0表明赛车最后回到了出发点，作图时要弄清题意；

（2）讨论不同的的值求解即可.

【解析】            

解：记出发点A.

（1）当时，如图①，赛车行进路线构成一个正八边形，最少操作8次可使赛车的位移为0，赛车所行路程是8m.

（2）当时，如图②，赛车行进路线构成一个正三角形，最少操作3次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为3m；

当时，如图③，赛车行进路程构成一个正方形，最少操作4次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为4m；

当时，如图④，赛车行进路线构成一个正六边形，最少操作6次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为6m.

【注意】本题考查了数学阅读能力，考查了分类讨论思想，属于中档题.

19．（1）以点A为圆心，1为半径的圆；（2）直线上距点B距离为1的两个点；（3）直线l.

【分析】作出每一问的图示，结合图示分析向量终点的集合构成的图形是什么.

【解析】（1）如下图：

当把所有的向量的起点都移到点，终点的集合构成以为圆心，半径为的圆；

（2）如下图：

平行于直线的单位向量有两个，将单位向量的起点移到，终点的集合为直线上距点的距离为的两个点；

（3）如下图：

平行于直线的所有向量的起点移到点，终点的集合为直线.

20．悬挂物受到的拉力，摩擦力，加速度是向量.

【解析】根据向量的定义直接求解即可.

【解析】因为向量既有大小又有方向，所以悬挂物受到的拉力，摩擦力，加速度是向量.

【注意】本题考查了向量的定义，属于基础题.

21．不能,理由见解析

【解析】根据猫和老鼠的跑路方向不同分析即可.

【解析】猫追不上老鼠,因为猫和老鼠跑的方向是不同的,所以猫的速度再快也追不上老鼠.

【注意】本题主要考查了对向量的方向的理解,属于基础题型.

22．见解析

【解析】位移即起点位置指向终点位置的有向线段.

【解析】解：如图，表示此人上午的位移；表示此人下午的位移；表示此人这一天内的位移.

【注意】本题考查向量的概念，属于基础题.

23．见解析

【解析】根据“马”走“日”得到答案.

【解析】解：如图所示.

（1）在B处“马”有3种走法，而在C处“马”有8种走法.

（2）用有向线段表示向量，一定要注意其方向，并用箭头在图中标出.

【注意】本题考查向量的表示，属于基础题.