2023年中考数学二轮复习《压轴题-图形对称变换问题》强化练习(含答案)

这是一份2023年中考数学二轮复习《压轴题-图形对称变换问题》强化练习(含答案)，共20页。试卷主要包含了定义等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学二轮复习《压轴题-图形对称变换问题》强化练习1.定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像抛物线”．例如：y＝(x﹣h)2﹣k的“镜像抛物线”为y＝﹣(x﹣h)2＋k．(1)请写出抛物线y＝(x﹣2)2﹣4的顶点坐标 　 　 ，及其“镜像抛物线”y＝﹣(x﹣2)2＋4的顶点坐标 　      ．写出抛物线y=﹣(x﹣1)2＋的“镜像抛物线”为　    　．(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax＋1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“镜像抛物线”于点C，分别作点B，C关于抛物线对称轴对称的点B'，C'，连接BC，CC'，B'C'，BB'．①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值．②求正方形BB'C'C所含(包括边界)整点个数．(说明：整点是横、纵坐标均为整数的点)            2.如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为(3，0)，C点的坐标为(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线AC于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由．(3)图2中，点C和点C'关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MBA＝∠CBC'，求M点的横坐标．                 3.已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m＋4(m为常数，且m＞0)．(1)求二次函数的顶点坐标；(2)设该二次函数图象上两点A(a，ya)、B(a＋2，yb)，点A和点B间(含点A，B)的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h．①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值；②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是 　      　．                        4.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且(x1＜0＜x2)，交y轴于点C，顶点为D．(1)a＝﹣1，b＝2，c＝4，①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标；②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；(2)如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．                   5.已知二次函数y＝ax2﹣2ax＋2a(a≠0)．(1)该二次函数图象的对称轴是直线x＝　 　；(2)若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，求抛物线的解析式；(3)若对于该抛物线上的两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，请结合图象，直接写出x1的取值范围．                6.如图，已知二次函数y=﹣x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)、B(0，﹣6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求这个二次函数的对称轴、顶点坐标；(3)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积．(4)若点D为抛物线与x轴的另一个交点，在抛物线上是否存在一点M，使△ADM的面积为△ABC的面积的2倍，若存在，请求出M的坐标，若不存在，请说明理由．                   7.如图，在平面直角坐标系中，A(1，0)，B(0，2)，以AB为边向右作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，二次函数y=x2＋bx﹣2的图象经过点C．(1)求二次函数的解析式；(2)平移该二次函数图象的对称轴所在的直线l，若直线l恰好将△ABC的面积分为1：2两部分，请求出直线l平移的最远距离；(3)将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折，得到△AB'C，那么在二次函数图象上是否存在点P，使△PB'C是以B'C为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．                8.如图所示，在矩形AOCD中，把点D沿AE对折，使点D落在OC上的F点．已知AO＝8，AD＝10．(1)求F点的坐标；(2)如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与抛物线仅一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过O，F，且直线y＝6x﹣36是该抛物线的切线．求抛物线的解析式．并验证点M(5，﹣5)是否在该抛物线上．(3)在(2)的条件下，若点P是位于该二次函数对称轴右侧图象上不与顶点重合的任意一点，试比较∠POF与∠MOF的大小(不必证明)，并写出此时点P的横坐标xP的取值范围．      
参考答案1.解：(1)y＝(x﹣2)2﹣4的顶点坐标为(2，﹣4)，y＝﹣(x﹣2)2＋4的顶点坐标为(2，4)，y=﹣(x﹣1)2＋的“镜像抛物线”为y=﹣(x﹣1)2＋，故答案为：(2，﹣4)，(2，4)，y=﹣(x﹣1)2＋；(2)①∵y＝ax2﹣4ax＋1＝a(x﹣2)2＋1﹣4a，∴抛物线L的“镜像抛物线”为y＝﹣a(x﹣2)2﹣1＋4a，∵点B的横坐标为1，∴B(1，1﹣3a)，C(1，3a﹣1)，∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴B'(3，1﹣3a)，C'(3，3a﹣1)，∴BB'＝2，BC＝6a﹣2，∵四边形BB'C'C为正方形，∴2＝6a﹣2，∴a＝；②∵a＝，∴B(1，﹣1)，C(1，1)，B'(3，﹣1)，C'(3，1)，∴正方形BB'C'C所含(包括边界)整点有(1，﹣1)，(1，1)，(3，﹣1)，(3，1)，(1，0)，(3，0)，(2，﹣1)，(2，0)，(2，1)共9个．2.解：(1)抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过B(3，0)，C(0.3)，∴，解得：，∴函数解析式为：y＝﹣x2＋2x＋3；(2)解：存在直线l使得以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似，当l⊥AC时，以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似，∴∠ACD＝∠EBO，在Rt△ACO和Rt△DBO中，，∴ΔΑCO≌△DBO(ASA)，∴OA＝OD，解﹣x2＋2x＋3＝0，得：x1＝3(不符合题意，舍去)，x2＝﹣1，∴A(﹣1，0)，∴D(0，1)，设直线的解析式为：y＝kx＋b，将B(3，0)，D(0，1)代入解析式可得，解得：，∴直线的解析式为：y＝﹣x＋1；(3)解：连接BM，CC′，作C′H⊥BC交BC于H，∵抛物线对称轴为直线：x＝1，∴CC′＝2，∵OB＝OC，∴∠BCO＝45°，∴∠C′CB＝45°，∵C′H⊥BC，CC′＝2，∴C′H＝CH＝，∵OB＝OC＝3，∴BC＝3，∴BH＝2，∴tan∠CBC′＝，∵∠MBA＝∠CBC′，∴tan∠MBA＝，∴ON＝，∴N(0，)或N(0，﹣)，当N(0，)，如图： ∵B(3，0)，∴，∴，∴直线BN解析式为：y＝﹣x＋，解方程﹣x2＋2x＋3＝﹣x＋，得：x1=﹣,x2=3(不符合题意，舍去)，∴M的横坐标为﹣；当N(0，﹣)，如图：∵B(3，0)，∴，∴，∴直线BN解析式为：y＝x﹣，解方程﹣x2＋2x＋3＝x﹣，得：x1=﹣,x2=3(不符合题意，舍去)，∴M的横坐标为﹣，综上所述：M的横坐标为﹣或﹣．3.解：(1)y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m＋4＝﹣m(x2＋4x＋4)＋4＝﹣m(x＋2)2＋4，∴二次函数的顶点坐标为(﹣2，4)．(2)①∵点A、B关于对称轴对称＝﹣2，∴a＝﹣3，当m＝1时，y＝﹣x2﹣4x﹣4＋4＝﹣x2﹣4x，则当x＝﹣3(或x＝﹣1)时，y最小值＝3，当x＝﹣2时，y最大值＝4，∴h＝1．②结论：0＜m≤4，理由如下：当a＋2≤﹣2，即a≤﹣4时，h＝yb﹣ya＝﹣m(a＋2＋2)2＋4﹣[﹣m(a＋2)2＋4]＝﹣4m(a＋3)，∵h＝4，∴4＝﹣4m(a＋3)，∴a＝﹣﹣3≤﹣4，∵m＞0，解得m≤1，当﹣4＜a≤﹣3时，h＝4﹣ya＝4﹣[﹣m(a＋2)2＋4]＝m(a＋2)2，∴可得a＝﹣﹣2，∴﹣4＜﹣﹣2≤﹣3，解得1＜m≤4，当﹣3＜a≤﹣2时，h＝4﹣yb＝4﹣[﹣m(a＋2＋2)2＋4]＝m(a＋4)2，可得a＝﹣4，∴﹣3＜﹣4≤﹣2，不等式无解．当a＞﹣2时，h＝ya﹣yb＝﹣m(a＋2)2＋4﹣[﹣m(a＋2＋2)2＋4]＝4m(a＋3)，可得a＝﹣3，∴﹣3＞﹣2，∴m＜1，综上所述，满足条件的m的值为0＜m≤4．故答案为：0＜m≤4．4.解：(1)①当a＝﹣1，b＝2，c＝4时，抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x＋4，∵y＝﹣x2＋2x＋4＝﹣(x﹣1)2＋5，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为D(1，5)；②当y＝﹣x时，﹣x2＋2x＋4＝﹣x，整理得：x2﹣3x﹣4＝0，∵Δ＝(﹣3)2﹣4×1×(﹣4)＝25＞0，∴二次函数y＝﹣x2＋2x＋4有两个不同的“零和点”；(2)如图，连接AC，∵y＝ax2＋bx＋c，∴C(0，c)，顶点D(﹣，)，设直线CD的解析式为y＝kx＋n，则，解得：，∴直线CD的解析式为y＝x＋c，∴E(﹣，0)，∵A(，0)，B(，0)，∴AE＝﹣(﹣)＝＋，BE＝﹣(﹣)＝＋，∵∠ACE＝∠CBE，∠AEC＝∠CEB，∴△EAC∽△ECB，∴＝，∴CE2＝AE•BE，在Rt△CEO中，CE2＝OC2＋OE2＝c2＋()2＝c2＋，∴c2＋＝(＋)(＋)，化简得：ac＝﹣1，故ac的值为﹣1．5.解：(1)对称轴x＝1．故答案为1；(2)∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，且当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，∴当x＝4时，y的最大值为5，∴16a﹣8a＋2a＝5，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x＋1；(3)如图，∵对称轴为直线x＝1，∴x＝﹣1与x＝3时的y值相等，∵x2＞3时，均满足y1＜y2，②当a＜0时，抛物线开口向下，如图1，不成立；②当a＞0时，抛物线开口向上，如图2，当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，此时，x1的取值范围是：﹣1≤x1≤3；∴由①②知：当a＞0时，抛物线开口向上．当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，此时，x1的取值范围是：﹣1≤x1≤3．6.解：(1)把A(2，0)、B(0，﹣6)代入y＝−x2＋bx＋c，得，解得，∴这个二次函数的解析式为y＝﹣x2＋4x﹣6；(2)∵y＝﹣x2＋4x﹣6＝﹣(x﹣4)2＋2，∴二次函数的对称轴为直线x＝4，顶点坐标为(4，2)；(3)∵该抛物线图象的对称轴为直线x＝4，∴点C的坐标为(4，0)，∴AC＝OC﹣OA＝4﹣2＝2，∴S△ABC＝×AC×OB＝×2×6＝6；(4)如图，在抛物线上存在一点M，使△ADM的面积为△ABC的面积的2倍，理由如下：∵点D为抛物线与x轴的另一个交点，该抛物线图象的对称轴为直线x＝4，A(2，0)，∴D(6，0)，∴AD＝4，设M(m，﹣m2＋4m﹣6)，∵△ADM的面积为△ABC的面积的2倍，∴×4×|﹣m2＋4m﹣6|＝12，当﹣m2＋4m﹣6＝6时，∵Δ＜0，此方程无解；当﹣m2＋4m﹣6＝﹣6时，解得m1＝8，m2＝0，∴M(8，﹣6)或(0，﹣6)．7.解：(1)过点C作CK⊥x轴交于点K，如图：∵∠BAO＋∠CAK＝90°，∠BAO＋∠OBA＝90°，∴∠CAK＝∠OBA，又∠AOB＝∠AKC＝90°，AB＝AC，∴△ABO≌△CAK(AAS)，∴OB＝AK＝2，AO＝CK＝1，∴OK＝AO＋AK＝1＋2＝3，∴点C的坐标为(3，1)，将点C的坐标代入y＝x2＋bx﹣2得：1＝×9＋3b﹣2，解得：b＝﹣，∴二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2；(2)由y＝x2﹣x﹣2可知抛物线的对称轴为直线x＝，且当直线l将△ABC的面积分为左部分比右部分＝2：1时，直线l平移的距离最远，如图：设此时直线l分别交边BC、AC分别为点M、N，由B(0，2)，C(3，1)可得直线BC解析式为y＝﹣x＋2，由A(1，0)，C(3，1)可得直线AC解析式为y＝x﹣，设点M的坐标为(t,﹣t＋2)，点N坐标为(t,t﹣)，1≤t＜3，∵直线l将△ABC的面积分为左部分比右部分＝2：1，∴S△CMN＝S△ABC，又AB＝，∴×(3﹣t)(﹣t＋2﹣t＋)＝×××，解得t=3﹣或3＋(舍去)，∴直线l平移的距离最远是3﹣﹣＝﹣；(3)在二次函数图象上存在点P，使△PB'C是以B'C为直角边的直角三角形，理由如下：①当∠PCB'＝90°时，如图：∵B，B'关于直线AC对称，∴∠BCA＝∠B'CA＝45°，∴∠BCB'＝90°，即点P为直线BC与抛物线的另外一个交点，由得：或，∴点P的坐标为；②当∠CB'P＝90°时，过B'作BT⊥x轴于T，如图：∵B，B'关于直线AC对称，∠BAC＝90°，∴BA＝B'A，∵∠BAO＝∠B'AT，∠BOA＝90°＝∠B'TA，∴△BOA≌△B'TA(AAS)，∴AT＝AO＝1，OB＝B'T＝2，∴OT＝AO＋AT＝2，∴B'(2，﹣2)，由①知，∠BCB'＝90°，∴过B'作BC的平行线，与抛物线的交点即为P，∵直线BC解析式为y＝﹣x＋2，B'(2，﹣2)，∴B'P解析式为y＝﹣x﹣，由得或，∴点P的坐标为(﹣1，﹣1)或(,﹣)，综上所述，点P的坐标为：或(﹣1，﹣1)或．8.解：(1)由折叠可知AD＝AF，∵AD＝10，∴AF＝10，∵AO＝8，∴OF＝6，∴F(6，0)；(2)设y＝ax2＋bx，将F(6，0)代入可得b＝﹣6a，∴y＝ax2﹣6ax，联立方程组，整理得ax2﹣6ax﹣6x＋36＝0，∴Δ＝0，可得a＝1，∴y＝x2﹣6x，将点M(5，﹣5)代入y＝x2﹣6x，等式成立，∴M点在抛物线上；(3)设P(xP，xP2﹣6xP)，∵M(5，﹣5)，过点M作MG⊥x轴交于G，过P点作PH⊥x轴交于H，∴MG＝OG＝5，∴∠MOF＝45°，当∠POH＝45°时，xP＝xP2﹣6xP，∴xP＝0(舍)或xP＝7，∴当xP＝7时∠POF＝∠MOF；当xP＞7时∠POF＞∠MOF；当3＜xP＜7时∠POF＜∠MOF．