2023年中考数学二轮复习《压轴题-菱形存在问题》强化练习(含答案)

这是一份2023年中考数学二轮复习《压轴题-菱形存在问题》强化练习(含答案)，共24页。试卷主要包含了25＋n2，此方程无实数根；等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学二轮复习《压轴题-菱形存在问题》强化练习1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋4与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过A、C两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点B为y轴上一点，点P为直线AB上一点，过P作PQ∥BC交x轴于点Q，当四边形BCPQ为菱形时，请直接写出B点坐标；(3)在(2)的条件下，且点B在线段OC上时，将抛物线y＝﹣x2＋bx＋c向上平移m个单位，平移后的抛物线与直线AB交于点D(点D在第二象限)，点N为x轴上一点，若∠DNB＝90°，且符合条件的点N恰好有2个，求m的取值范围．             2.如图，直线y＝﹣x＋3与x轴、y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，点M为抛物线的对称轴上的一个动点．(1)求该抛物线的解析式；(2)当点M在x轴的上方时，求四边形COAM周长的最小值；(3)在平面直角坐标系内是否存在点N，使以C，P，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．                  3.如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A(﹣3，4)、B(﹣3，0)、C(﹣1，0)．以D为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点B．动点P以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DC边向点C运动，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．(1)求该抛物线的解析式；(2)连接BG，求△BGD的面积最大值；(3)如图2，在点P运动的同时，点Q从点B出发，沿BA边以每秒1个单位的速度向点A运动．动点P、Q运动的过程中，在矩形ABCD内(包括其边界)是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出t的值：t＝　　．              4.如图1，一次函数y＝x﹣4的图象分别与x轴，y轴交于B，C两点，二次函数y＝ax2﹣x＋c的图象过B，C两点，且与x轴交于另一点A．(1)求二次函数的表达式；(2)点P是二次函数图象的一个动点，设点P的横坐标为m，若∠ABC＝2∠ABP．求m的值；(3)如图2，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D．点M是直线BC上一动点，在坐标平面内是否存在点N，使得以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．                5.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3交x轴于点A(﹣1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC，交对称轴于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线BC上方的抛物线上一点，连接PC，PD．求△PCD的面积的最大值以及此时点P的坐标；(3)将抛物线y＝ax2＋bx＋3向右平移1个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点E，点F是新抛物线的对称轴上的一点，点G是坐标平面内一点．当以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点F的坐标，并写出求解其中一个点F的坐标的过程．               6.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B(﹣1，0)两点，与y轴交于点C，直线AC的解析式为y＝x﹣2．(1)求抛物线的解析式；(2)已知k为正数，当0＜x≤1＋k时，y的最大值和最小值分别为m，n，且m＋n＝，求k的值；(3)点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．                7.如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点B、C(点B在点C左侧)，与y轴相交于点A．已知点B坐标为B(1，0)，BC＝3，△ABC面积为6．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P为直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD∥AB，交线段AC于点D．求PD长度的最大值及此时P点的坐标；(3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴l上一点，N为平面内一点，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标，并写出求解其中一个N点坐标的过程．               8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x＋2交x轴于点A、B，交y轴于点C．(1)求△ABC的面积；(2)如图，过点C作射线CM，交x轴的负半轴于点M，且∠OCM＝∠OAC，点P为线段AC上方抛物线上的一点，过点P作AC的垂线交CM于点G，求线段PG的最大值及点P的坐标；(3)将该抛物线沿射线AC方向平移个单位后得到的新抛物线为y′＝ax2＋bx＋c(a≠0)，新抛物线y′与原抛物线的交点为E，点F为新抛物线y′对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点A、E、F、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．      
参考答案1.解：(1)由题意得，A(3，0)，C(0，4)，∴，∴，∴抛物线解析式为；(2)如图1，设B(0，a)，∴PQ＝BC＝BQ＝4﹣a，∵A(3，0)，∴直线AB的解析式是：y＝﹣，由﹣＝4﹣a得，x＝，∴OQ＝，∵四边形BCPQ是菱形，∴PB⊥CQ，∵∠ABO＝∠PBC，∴∠OCQ＝∠BAO，∴△AOB∽△COQ，∴＝，∴＝，∴a1＝，a2＝﹣6，∴B1(0,)，B2(0，﹣6)；(3)如图2，由(2)知，B(0，)，∴直线AB的解析式是：y＝﹣x+，∴设D(a，﹣﹣a+)，∴BD2＝(a2＋a2)＝a2，∵∠DNB＝90°，且符合条件的点N恰好有2个，以BD为直径的圆与x轴相交，设圆心为I，则I(，﹣)，作IJ⊥OA于J，∴IJ＜BD，∴(﹣)2＜，∴a1＜，a2＞ (舍去)，当a＝时，y＝﹣×＝，设平移后的抛物线为：将D点坐标代入平移后解析式得，﹣×()2＋4＋m＝解得：m＝，∴m＞．2.解：(1)∵直线y＝﹣x＋3与x轴、y轴分别交于点B，点C，∴点B(3，0)，点C(0，3)，∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过B，C两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x＋3；(2)如图，连接AM，∵y＝x2﹣4x＋3＝(x﹣2)2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵点A与点B关于对称轴对称，∴AM＝BM，点A(1，0)，∵点C(0，3)，点A(1，0)，点B(3，0)，∴OA＝1，OC＝3，OB＝3，∵四边形COAM周长＝OC＋OA＋AM＋CM，∴四边形COAM周长＝4＋BM＋CM，∴当点B，点M，点C三点共线时，BM＋CM有最小值为BC的长，∴四边形COAM周长的最小值＝4＋BC，∵BC＝3，∴四边形COAM周长的最小值＝4＋3；(3)∵y＝x2﹣4x＋3＝(x﹣2)2﹣1，∴顶点P(2，﹣1)，又∵点C(0，3)，∴PC＝2，设点M(2，t)，∴MC＝＝，MP＝|t＋1|，∵以C，P，M，N为顶点的四边形为菱形，∴△CPM是等腰三角形，若MC＝MP，则＝|t＋1|，∴t＝，∴点M(2，)；若MP＝PC，则2＝|t＋1|，∴t1＝﹣1＋2，t2＝﹣1﹣2，∴点M(2，﹣1＋2)或(2，﹣1﹣2)；若MC＝PC，则＝2，解得：t3＝﹣1(不合题意舍去)，t4＝7，∴点M(2，7)；综上所述：点M的坐标为(2，)或(2，7)或(2，﹣1＋2)或(2，﹣1﹣2)．3.解：(1)∵矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(﹣3，4)、B(﹣3，0)、C(﹣1，0)，∴D(﹣1，4)，由抛物线的顶点为D(﹣1，4)，设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)2＋4，∵抛物线经过点B(﹣3，0)，∴4a＋4＝0，解得a＝﹣1，∴该抛物线的解析式为y＝﹣(x＋1)2＋4，即y＝﹣x2﹣2x＋3；(2)如图1，设直线BD的解析式为y＝kx＋d，则，解得，∴y＝2x＋6，设G(x，﹣x2﹣2x＋3)(﹣3＜x＜﹣1)，则E(x，2x＋6)，∴GE＝﹣x2﹣2x＋3﹣(2x＋6)＝﹣x2﹣4x﹣3，∵AD＝﹣1﹣(﹣3)＝2，∴S△BGD＝GEAF＋GEDF＝GEAD＝×2(﹣x2﹣4x﹣3)＝﹣(x＋2)2＋1，∴当x＝﹣2时，S△BGD最大＝1，∴△BGD面积的最大值为1．(3)存在．如图2，菱形BQHE以BE为一边.由题意，得BQ＝PD＝EF＝t，∵PQ∥EF，∴四边形BQFE是平行四边形，∴当BQ＝QF＝t时，四边形BQFE是菱形，此时点H与点F重合．∵QF∥BD，∴∠AQF＝∠QBD，∵AD＝2，AB＝4，∠A＝90°，∴BD＝2．∴，∴AQ＝QF＝t，∴t＋t＝4，解得t＝20-8；如图3，菱形BQEH以BE为对角线，连结QH交BE于点R，则QH⊥BE，BR＝ER，∴∠BRQ＝90°，∴，∴BR＝t；同理，，∴DE＝PD＝t，∴2×t＋t＝2，解得t＝．综上所述，t＝20-8或t＝．故答案为：20-8或．4.解：(1)对直线y＝x﹣4，当x＝0时，y＝﹣4；当y＝0时，x＝4，∴C(0，﹣4)，B(4，0)，将点B、C代入y＝ax2﹣x＋c得：，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；(2)∵C(0，﹣4)，B(4，0)，∴OC＝4，OB＝4，∴tan∠ABC＝，∴∠ABC＝60°，∵∠ABC＝2∠ABP，∴∠ABP＝30°，如图1，过点P作PH⊥x轴于点H，∵点P的横坐标为m，∴BH＝4﹣m，PH＝|m2﹣m﹣4|，∴tan∠ABP＝，解得：m＝4(舍)或m＝﹣或m＝﹣，∴m的值为﹣或m＝﹣；(3)由y＝x2﹣x﹣4可知对称轴为直线x＝1，∵C(0，﹣4)，∴D(2，﹣4)，∵以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形，设M(x，x﹣4)，①如图2，以CD为对角线时，MN垂直平分CD，∴点M的横坐标为1，当x＝1时，y＝﹣4＝﹣3，∴M1(1，﹣3)，∴N1(1，﹣5)，②以CM为对角线时，CD＝MD，∵C(0，﹣4)，D(2，﹣4)，∴22＝(x﹣2)2＋(x)2，解得：x＝0(舍)或x＝1，∴M2(1，﹣3)，∴N2(﹣1，﹣3)，③如备用图，以CN为对角线时，CM＝CD＝2，∴22＝x2＋(x)2，解得：x＝1或x＝﹣1，∴M3(1，﹣3)或M4(﹣1，﹣5)，∴N3(3，﹣3)，N4(1，﹣5)，综上所述，存在，N1(1，﹣5)，N2(﹣1，﹣3)，N3(3，﹣3)．5.解：(1)将点A(﹣1，0)和点B(3，0)代入y＝ax2＋bx＋3，得，解得，∴y＝﹣x2＋2x＋3；(2)令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)，设直线BC的解析式为y＝kx＋b，∴，∴，∴y＝﹣x＋3，∵函数的对称轴为直线x＝1，∴D(1，2)，过点P作x轴的垂线，交BC于点Q，设P(t，﹣t2＋2t＋3)，则Q(t，﹣t＋3)，∴PQ＝﹣t2＋3t，∴S△PCD＝×1×(﹣t2＋3t)＝﹣ (t﹣)2＋，∴当t＝时，S△PCD的最大值为，此时P(，)；(3)y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4向右平移1个单位得到新抛物线为y＝﹣(x﹣2)2＋4，联立，解得x＝，∴E(，)，∵新抛物线的对称轴为直线x＝2，设F(2，m)，∴DE2＝，DF2＝1＋(m﹣2)2，EF2＝＋(m﹣)2，∵以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时，有三种情况：①当EF、FD为邻边，此时EF＝FD，∴1＋(m﹣2)2＝＋(m﹣)2，解得m＝，∴F(2，)；②当ED、EF为邻边，此时ED＝EF，∴＝＋(m﹣)2，解得m＝或m＝2，∴F(2，2)或F(2，)，设直线ED的解析式为y＝kx＋b，∴，∴，∴y＝x﹣，当x＝2时，y＝，∴F(2，2)；③当DE、DF为邻边，此时DE＝DF，∴＝1＋(m﹣2)2，解得m＝2＋或m＝2﹣，∴F(2，2＋)或F(2，2﹣)；综上所述：F点坐标为(2，)或(2，2＋)或(2，2﹣)或(2，2)．6.解：(1)当x＝0时，y＝﹣2，∴点C(0，﹣2)，当y＝0时，x﹣2＝0，∴x＝3，∴点A(3，0)，∴设y＝a(x＋1)(x﹣3)，将点C(0，﹣2)代入得，﹣3a＝﹣2，∴a＝，∴y＝(x＋1)(x﹣3)＝x2﹣x﹣2；(2)∵抛物线的对称轴为直线：x＝1，∵k＞0，∴k＋1＞1，∴当0＜x＜1＋k时，∴当x＝1时，n＝(1＋1)×(1﹣3)＝﹣，∵m＋n＝，∴m＝8，当m＝8时，x2﹣x﹣2＝8，∴x1＝5，x2＝﹣3(舍去)，∴1＋k＝5，∴k＝4；(3)设点Q(1，a)，∵A(3，0)，C(0，﹣2)，∴AQ2＝(3﹣1)2＋a2＝a2＋4，AC2＝32＋22＝13，CQ2＝1＋(a＋2)2＝a2＋4a＋5，①当AQ＝AC时，a2＋4＝13，∴a＝±3，∴Q1(1，3)，Q2(1，﹣3)，当AQ＝CQ时，a2＋4a＋5＝a2＋4，∴a＝﹣，∴Q3(1，﹣)，当AC＝CQ时，a2＋4a＋5＝13，∴a＝﹣2±2，∴Q4(1，﹣2＋2)，Q5(1，﹣2﹣2)，综上所述：Q(1，3)或(1．﹣3)或(1,﹣)或(1，﹣2＋2)或(1，﹣2﹣2)．7.解：(1)∵S△ABC＝BCOA＝6，BC＝3，B(1，0)，∴OA＝4，C(4，0)，∴A(0，4)，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣5x＋4；(2)如图，过点P作PE∥y轴交AC于点E，作DF⊥PE于F，∵OC＝OA＝4，则∠OAC＝∠DEF＝45°．∴DF＝EF，∵PD∥AB，∴∠ABO＝∠DGB＝∠HGP．∵∠ABO＋∠OAB＝90°，∠HGP＋∠DPE＝90°，∴∠OAB＝∠DPE．∴tan∠DPE＝tan∠OAB＝，∴，∴PF＝4DF．∵EF＝DF．∴PE＝PF﹣EF＝3DF．∴DF＝PE，又在Rt△PDF中，由勾股定理得：PD＝DF＝PE．设点P(t，t2﹣5t＋4)，∵C(4，0)，A(0，4)，∴直线AC解析式为：y＝﹣x＋4，∴点E坐标为(t，﹣t＋4)∴PE＝yE﹣yP＝﹣t＋4﹣(t2﹣5t＋4)＝﹣t2＋4t，∴PD＝PE＝(﹣t2＋4t)＝﹣(t﹣2)2＋，∵﹣＜0，∴当t＝2时，PD有最大值，此时点P(2，﹣2)；(3)∵y＝x2﹣5x＋4＝(x﹣)2﹣，该抛物线向左移动个单位，∴新抛物线的解析式为：y′＝(x＋1)2﹣，∴新抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设M(﹣1，t)；当线段AB为菱形的对角线时，MA＝MB，∵A(0，4)，B(1，0)，∴MA2＝12＋(4﹣t)2＝t2﹣8t＋17，MB2＝t2＋4，∴t2﹣8t＋17＝t2＋4，解得t＝，∴M(﹣1，)，∵A(0，4)，B(1，0)，∴0＋1﹣(﹣1)＝2，0＋4﹣＝，∴N(2，)；当线段AB为菱形的边时，∵A(0，4)，B(1，0)，∴MA2＝12＋(4﹣t)2＝t2﹣8t＋17，AB2＝17，MB2＝t2＋4，①当MA＝AB时，MA2＝AB2，即t2﹣8t＋17＝17，∴t＝0或t＝8；∴M(﹣1，0)或(﹣1，8)；∵直线AB为y＝﹣4x＋4，当x＝﹣1时，y＝8，∴(﹣1，8)在直线AB上，不合题意，舍去，∵A(0，4)，B(1，0)，∴﹣1＋1＝0，0﹣4＝﹣4，∴N(0，﹣4)；②当BA＝BM时，BA2＝BM2，即17＝t2＋4，∴t＝或t＝﹣；∴M(﹣1，)或(﹣1，﹣)；∵A(0，4)，B(1，0)，∴﹣1﹣1＝﹣2，∴N(﹣2，＋4)或(﹣2，﹣＋4)；综上，点N的坐标为(2，)或(0，﹣4)或(﹣2，＋4)或(﹣2，﹣＋4)．8.解：(1)在y＝﹣x2﹣x＋2中，令x＝0，则y＝2，∴C(0，2)，∴OC＝2，令y＝0，则﹣x2﹣x＋2＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣4，∴A(﹣4，0)，B(1，0)，∴AB＝1﹣(﹣4)＝5，∴S△ABC＝ABOC＝×5×2＝5；(2)如图1，过点P作PN∥y轴，交AC于点T，交CM于点N，交x轴于点K，过点G作GH⊥PN于点H，则∠PNG＝∠OCM，∠PHG＝∠AKT＝90°，∵PG⊥AC，∴∠PET＝90°＝∠AKT，∴∠PTE＋∠TPE＝90°，∠OAC＋∠ATK＝90°，∵∠PTE＝∠ATK，∴∠TPE＝∠OAC，∵∠OCM＝∠OAC，∴∠PNG＝∠TPE＝∠OAC，∴PG＝NG，∵GH⊥PN，∴PH＝PN，∵tan∠OAC＝tan∠OCM，∴＝，即＝，∴OM＝1，∴M(﹣1，0)，设直线OM的解析式为y＝kx＋b，∵M(﹣1，0)，C(0，2)，∴，解得：，∴直线CM的解析式为y＝2x＋2，设P(m，﹣m2﹣m＋2)，则N(m，2m＋2)，∴PN＝﹣m2﹣m＋2﹣(2m＋2)＝﹣m2﹣m，∴PH＝PN＝﹣m2﹣m，∵AC＝2，∴＝cos∠TPE＝cos∠OAC＝＝＝，∴PG＝PH＝﹣m2﹣m＝﹣ (m＋)2＋，∴当m＝﹣，PG最大，最大值为，故当点P坐标为(﹣，)时，PG最大，最大值为；(3)抛物线y＝﹣x2﹣x＋2＝﹣(x＋)2＋，该抛物线沿射线AC方向平移个单位，实际上就是向右平移2个单位，向上平移1个单位，平移后的解析式为：y＝﹣(x﹣)2＋，对称轴为直线x＝，两个抛物线交于E点，所以﹣(x＋)2＋＝﹣(x﹣)2＋，解得：x＝﹣1，代入得y＝3，∴E(﹣1，3)，设F(，n)，则AE2＝(﹣1＋4)2＋32＝18，AF2＝(＋4)2＋n2，EF2＝(＋1)2＋(n﹣3)2，当AE＝AF时，18＝20.25＋n2，此方程无实数根；当AE＝EF时，18＝n2﹣6n＋11.25，解得：n1＝3﹣，n2＝3＋，则F1(，3﹣)，对应的Q1(﹣，﹣)；F2(，3＋)，对应的Q2(﹣，)；当AF＝EF时，20.25＋n2＝n2﹣6n＋11.25，解得：n＝﹣，F3(，﹣)，对应的Q3(﹣，)；综上所述，Q点的坐标为(﹣，﹣)或(﹣，)或(﹣，)．