2023年中考数学二轮复习《压轴题-矩形存在问题》强化练习(含答案)

这是一份2023年中考数学二轮复习《压轴题-矩形存在问题》强化练习(含答案)，共24页。
2023年中考数学二轮复习《压轴题-矩形存在问题》强化练习1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交y轴于点A(0，﹣4)，并经过点C(6，0)，过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为(4，0)，连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．(1)求抛物线的解析式；(2)当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；(3)在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．             2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)与x轴交于A(﹣2，0)、B(4，0)两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．(1)试求抛物线的解析式；(2)直线y＝kx＋1(k＞0)与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝PM:DM，试求m的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．                3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的正半轴交于点D，与y轴交于点C，点A在抛物线上，AB⊥y轴于点B．△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△OBE，连接DE．当x2＋bx＋c＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜2．(1)求该抛物线的解析式；(2)求证：四边形OBED是矩形；(3)在线段OD上找一点N，过点N作直线m垂直x轴，交OE于点F，连接DF，当△DNF的面积取得最大值时，求点N的坐标，在此基础上，在直线m上找一点P，连接OP、DP．使得∠OPD＋∠DOE＝90°，求点P的坐标．               4.如图1，在平面直角坐标中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于点A(﹣1，0)、B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接BC，直线BM：y＝2x＋m交y轴于点M．P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F．(1)求抛物线的表达式：(2)当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积：(3)①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足QN＝QM，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标．               5.已知抛物线y＝x2﹣2mx＋2m＋1．(1)写出抛物线y＝x2﹣2mx＋2m＋1的顶点坐标(用含m的式子表示)．(2)当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是     　．(3)当﹣1≤x≤2时，函数y＝x2﹣2mx＋2m＋1的图象记为G，设图象G的最低点的纵坐标为y0．当y0＝﹣1时，求m的值．(4)当m＞0时，分别过点A(2，1)、B(2，4)作y轴垂线，垂足分别为点D、点C，抛物线在矩形ABCD内部的图象(包括边界)的最低点到直线y＝﹣2的距离等于最高点到x轴的距离，直接写出m的值．                      6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)，过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m＋．以PQ，QM为边作矩形PQMN．(1)求b的值．(2)当点Q与点M重合时，求m的值．(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．                7.如图1，抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)与x轴交于A(﹣2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的表达式；(2)设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；(3)如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；(4)如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．                 8.如图，抛物线y＝ax2＋3x＋c与x轴交于点A，B，直线y＝x＋1与抛物线交于点A，C(3，n)．点P为对称轴左侧抛物线上一动点，其横坐标为m．(1)求抛物线的解析式及其顶点的坐标．(2)已知直线l：x＝m＋5与直线AC交于点D，过点P(横坐标为m)，作PE⊥l于点E，以PE，DE为边作矩形PEDF．①当抛物线的顶点在矩形PEDF内部时，m的取值范围为 　   　(请直接写出)②在①的条件下，求矩形PEDF的周长的最小值．      
参考答案1.解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为(4，0)，∴抛物线与x轴的另一个交点为(﹣2，0)，∴抛物线的解析式为：y＝a(x＋2)(x﹣6)，将点A(0，﹣4)解析式可得，﹣12a＝﹣4，∴a＝．∴抛物线的解析式为：y＝(x＋2)(x﹣6)＝x2﹣x﹣4．(2)∵AB⊥y轴，A(0，﹣4)，∴点B的坐标为(4，﹣4)．∵D(4，0)，∴AB＝BD＝4，且∠ABD＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∠BAD＝45°．∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形．∵AE＝m，∴AF＝EF＝m，∴E(m，﹣4＋m)，F(m，﹣4)．∵四边形EGFH是正方形，∴△EHF是等腰直角三角形，∴∠HEF＝∠HFE＝45°，∴FH是∠AFE的角平分线，点H是AE的中点．∴H(m，﹣4＋m)，G(m，﹣4＋m)．∵B(4，﹣4)，C(6，0)，∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣12．当点G随着E点运动到达BC上时，有2×m﹣12＝﹣4＋m．解得m＝3.2．∴G(4.8，﹣2.4)．(3)存在，理由如下：∵B(4，﹣4)，C(6，0)，G(m，﹣4＋m)．∴BG2＝(4﹣m)2＋(m)2，BC2＝(4﹣6)2＋(﹣4)2＝20，CG2＝(6﹣m)2＋(﹣4＋m)2．若以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，则△BGC是直角三角形，∴分以下三种情况：①当点B为直角顶点时，BG2＋BC2＝CG2，∴(4﹣m)2＋(m)2＋20＝(6﹣m)2＋(﹣4＋m)2，解得m＝1.6，∴G(2.4，﹣3.2)；②当点C为直角顶点时，BC2＋CG2＝BG2，∴20＋(6﹣m)2＋(﹣4＋m)2＝(4﹣m)2＋(m)2，解得m＝5.6，∴G(8.4，﹣1.2)；③当点G为直角顶点时，BG2＋CG2＝BC2，∴(4﹣m)2＋(m)2＋(6﹣m)2＋(﹣4＋m)2＝20，解得m＝4.8或2，∴G(3，﹣3)或(7.2，﹣1.6)；综上，存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，点G的坐标为(2.4，﹣3.2)或(8.4，﹣1.2)或(3，﹣3)或(7.2，﹣1.6)．2.解：(1)因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(﹣2，0)、B(4，0)两点，所以可以假设y＝a(x＋2)(x﹣4)，∵OC＝2OA，OA＝2，∴C(0，4)，代入抛物线的解析式得到a＝﹣，∴y＝﹣(x＋2)(x﹣4)或y＝﹣x2＋x＋4或y＝﹣(x﹣1)2＋．(2)如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．∵CD∥PE，∴△CMD∽△FMP，∴m＝＝，∵直线y＝kx＋1(k＞0)与y轴交于点D，则D(0，1)，∵BC的解析式为y＝﹣x＋4，设P(n，﹣n2＋n＋4)，则F(n，﹣n＋4)，∴PF＝﹣n2＋n＋4﹣(﹣n＋4)＝﹣(n﹣2)2＋2，∴m＝﹣ (n﹣2)2＋，∵﹣＜0，∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P(2，4)．(3)存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．①当DP是矩形的边时，有两种情形，a、如图中，四边形DQNP是矩形时，有(2)可知P(2，4)，代入y＝kx＋1中，得到k＝，∴直线DP的解析式为y＝x＋1，可得D(0，1)，E(﹣，0)，由△DOE∽△QOD可得＝，∴OD2＝OEOQ，∴1＝OQ，∴OQ＝，∴Q(，0)．根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，∴N(2＋，4﹣1)，即N(，3)b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，∵直线PD的解析式为y＝x＋1，PQ⊥PD，∴直线PQ的解析式为y＝﹣x＋，∴Q(8，0)，根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，∴N(0＋6，1﹣4)，即N(6，﹣3)．②当DP是对角线时，设Q(x，0)，则QD2＝x2＋1，QP2＝(x﹣2)2＋42，PD2＝13，∵Q是直角顶点，∴QD2＋QP2＝PD2，∴x2＋1＋(x﹣2)2＋16＝13，整理得x2﹣2x＋4＝0，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的点N坐标为(，3)或(6，﹣3)．3.解：(1)∵当x2＋bx＋c＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜2，∴抛物线与x轴的两个交点为(2，0)，(﹣，0)，∴，解得，∴y＝x2﹣x﹣1；(2)证明：由(1)可知D(2，0)，C(0，﹣1)，∴OD＝2，OC＝1，∵AB⊥y轴，∴△ABC是直角三角形，∵△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△OBE，∴OB⊥BE，AB＝OB，设A(﹣m，m)，∴m＝m2﹣m﹣1，解得m＝﹣1或m＝，∴A(﹣1，1)，∴BO＝1，∴BC＝BE＝2，∴BE＝OD，∵∠BOD＝90°，∴BE∥OD，∴四边形OBED是矩形；(3)∵E(2，1)，∴直线OE的解析式为y＝x，设N(n，0)，则F(n，n)，∴S＝×DN×FN＝×(2﹣n)×n＝﹣(n﹣1)2＋，∵N在线段OD上，∴0≤n≤2，∴当n＝1时，S有最大值，此时N(1，0)，F(1，)，∵∠PNO＝90°，∴∠EOD＋∠POE＝90°，∵∠OPD＋∠DOE＝90°，∴∠POE＋∠OPN＝∠OPD，∵O点与D点关于l对称，∴∠OPN＝∠NPD，∴∠OPN＝∠POE，∴PF＝OF，设P(1，t)，∴|t﹣|＝，∴t＝＋或t＝﹣＋，∴P点坐标为(1， ＋)或(1，﹣＋)．4.解：(1)∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于点A(﹣1，0)、B(4，0)两点，∴抛物线的表达式为：y＝﹣(x＋1)(x﹣4)，即y＝﹣x2＋x＋2；(2)如图：∵点P落在抛物线y＝﹣x2＋x＋2的对称轴上，∴P为抛物线y＝﹣x2＋x＋2的顶点，∵y＝﹣x2＋x＋2＝﹣ (x﹣)2＋，∴P(，)，在y＝﹣x2＋x＋2中，令x＝0得y＝2，∴C(0，2)由B(4，0)，C(0，2)得直线BC的表达式为y＝﹣x＋2，把x＝代入y＝﹣x＋2得y＝，∴E(，)，∴PE＝﹣＝，∴S△PBC＝PE|xB﹣xC|＝××4＝，答：△PBC的面积是；(3)①过点N作NG⊥EF于点G，如图：∵y＝2x＋m过点B(4，0)，∴0＝2×4＋m，解得m＝﹣8，∴直线BM的表达式为：y＝2x﹣8，∴M(0，﹣8)，设E(a，﹣a＋2)，则F(a，2a﹣8)，∵四边形BENF为矩形，∴∠NEG＝∠BFH，NE＝BF，又∠NGE＝90°＝∠BHF，∴△NEG≌△BFH(AAS)，∴NG＝BH，EG＝FH，而NG＝a，BH＝OB﹣OH＝4﹣a，∴a＝4﹣a，解得a＝2，∴F(2，﹣4)，E(2，1)，∴EH＝1，∵EG＝FH，∴EF﹣EG＝EF﹣FH，即GF＝EH＝1，∵F(2，﹣4)，∴G(2，﹣3)，∴N(0，﹣3)；②取MN的中点D，如图：∵QN＝QM，∴点Q在MN的垂直平分线上，又∵B(4，0)，N(0，﹣3)，∴BN＝5，∴C△QNB＝BQ＋NQ＋BN＝BQ＋NQ＋5＝BQ＋MQ＋5，∴要使C△QNB最小，只需BQ＋MQ最小，∴当点B、Q、M共线时，△QNB的周长最小，此时，点Q即为MN的垂直平分线与直线BM的交点，∵N(0，﹣3)，M(0，﹣8)，∴D(0，﹣)，在y＝2x﹣8中，令y＝﹣得：﹣＝2x﹣8，解得x＝，∴Q(，﹣)．5.解：(1)∵y＝x2﹣2mx＋2m＋1＝(x﹣m)2﹣m2＋2m＋1，∴顶点坐标为(m，﹣m2＋2m＋1)；(2)∵抛物线开口向上，∴m≤1时，y随x的增大而增大，故答案为：m≤1；(3)当m＜﹣1时，x＝﹣1，函数有最小值，∴y0＝2＋4m，∵y0＝﹣1，∴2＋4m＝﹣1，解得m＝﹣ (舍)；当m＞2时，x＝2，函数有最小值，∴y0＝5﹣2m，∵y0＝﹣1，∴5﹣2m＝﹣1，解得m＝3；当﹣1≤m≤2时，x＝m，函数有最小值，∴y0＝﹣m2＋2m＋1，∵y0＝﹣1，∴﹣m2＋2m＋1＝﹣1，解得m＝＋1(舍)或m＝﹣＋1；综上所述：m的值为3或﹣＋1；(4)当0＜m≤时，﹣m2＋2m＋1＋2＝4，解得m＝1(舍)；当＜m≤1时，﹣m2＋2m＋1＋2＝4﹣2m＋1，解得m＝＋2(舍)或m＝﹣＋2；当1＜m≤时，﹣m2＋2m＋1＋2＝2m＋1，解得m＝或m＝﹣(舍)；当＜m≤2时，﹣m2＋2m＋1＋2＝4，解得m＝1(舍)；当m＞2时，最高点纵坐标是4，最低点纵坐标是1，∴3≠4，∴此时不符合题意；综上所述：m的值为或2﹣．6.解：(1)把点A(3，0)代入y＝﹣x2＋bx＋，得到0＝﹣＋3b＋，解得b＝1．(2)∵抛物线的解析式为y＝﹣x2＋x＋，∴P(m，﹣m2＋m＋)，∵M，Q重合，∴﹣m＋＝﹣m2＋m＋，解得m＝0或4．(3)y＝﹣x2＋x＋＝﹣ (x﹣1)2＋2，∴抛物线的顶点坐标为(1，2)，由题意PQ＝MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，∴3﹣m＝﹣m＋﹣(﹣m2＋m＋)且﹣m＋＞2，得m＜﹣解得m＝1﹣或1＋(不合题意舍弃)，∴m＝1﹣．(4)当点P在直线l的左边，点M在点Q下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有﹣m＋＜﹣m2＋m＋，∴m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中，当3＜m＜4时，抛物线不在矩形PQMN内部，不符合题意，当m＞4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中，综上所述，满足条件的m的值为0＜m＜3或m＞4．7.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)与x轴交于A(﹣2，0)，B(6，0)两点，∴，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2＋x＋3；(2)∵抛物线y＝﹣x2＋x＋3与y轴交于点C，∴C(0，3)，设直线BC的解析式为y＝kx＋b，把B(6，0)、C(0，3)代入，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x＋3，设点P的横坐标为m，则P(m，﹣m2＋m＋3)，E(m，﹣m＋3)，∴h＝﹣m2＋m＋3﹣(﹣m＋3)＝﹣m2＋m，∵点P是第一象限内抛物线上的一个动点，∴0＜m＜6，∴h＝﹣m2＋m(0＜m＜6)；(3)如图，过点E、F分别作EH⊥y轴于点H，FG⊥y轴于点G，∵P(m，﹣m2＋m＋3)，E(m，﹣m＋3)，∴PE＝﹣m2＋m，∵PF⊥CE，∴∠EPF＋∠PEF＝90°，∵PD⊥x轴，∴∠EBD＋∠BED＝90°，又∵∠PEF＝∠BED，∴∠EPF＝∠EBD，∵∠BOC＝∠PFE＝90°，∴△BOC∽△PFE，∴＝，在Rt△BOC中，BC＝3，∴EF＝(﹣m2＋m)，∵EH⊥y轴，PD⊥x轴，∴∠EHO＝∠EDO＝∠DOH＝90°，∴四边形ODEH是矩形，∴EH＝OD＝m，∵EH∥x轴，∴△CEH∽△CBO，∴＝，即＝，∴CE＝m，∵CF＝EF，∴EF＝CE＝m，∴m＝(﹣m2＋m)，解得：m＝0或m＝1，∵0＜m＜6，∴m＝1；(4)∵抛物线y＝﹣x2＋x＋3，∴抛物线对称轴为直线x＝2，∵点Q在抛物线的对称轴上，∴设Q(2，t)，设抛物线对称轴交x轴于点H，交CP边于点G，则GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°，①当点O′恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时，如图，则CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OD，∴∠COP＋∠OCQ＝90°，又∵四边形OCPD是矩形，∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°，∴∠PCQ＋∠OCQ＝90°，∴∠PCQ＝∠COP，∴tan∠PCQ＝tan∠COP＝＝，∴＝tan∠PCQ＝，∴＝，解得：t＝，∴Q(2，)；②当点O′恰好落在该矩形对角线CD上时，如图，连接CD交GH于点K，∵点O与点O′关于直线CQ对称，∴CQ垂直平分OO′，∴∠OCQ＝∠DCQ，∵GH∥OC，∴∠CQG＝∠OCQ，∴∠DCQ＝∠CQG，∴CK＝KQ，∵C、P关于对称轴对称，即点G是CP的中点，GH∥OC∥PD，∴点K是CD的中点，∴K(2，)，∴GK＝，∴CK＝KQ＝﹣t，在Rt△CKG中，CG2＋GK2＝CK2，∴22＋()2＝(﹣t)2，解得：t1＝1(舍去)，t2＝﹣1，∴Q(2，﹣1)；③当点O′恰好落在该矩形对角线DC延长线上时，如图，过点O′作O′K⊥y轴于点K，连接OO′交CQ于点M，∵点O与点O′关于直线CQ对称，∴CQ垂直平分OO′，∴∠OCM＝∠O′CM，∠OMC＝∠O′MC＝90°，O′C＝OC＝3，∵∠O′KC＝∠DOC＝90°，∠O′CK＝∠DCO，∴△O′CK∽△DCO，∴＝＝，即＝＝，∴O′K＝，CK＝，∴OK＝OC＋CK＝3＋＝，∴O′(﹣，)，∵点M是OO′的中点，∴M(﹣，)，设直线CQ的解析式为y＝k′x＋b′，则，解得：，∴直线CQ的解析式为y＝x＋3，当x＝2时，y＝×2＋3＝4，∴Q(2，4)；综上所述，点Q的坐标为(2，)或(2，﹣1)或(2，4)．8.解：(1)∵y＝x＋1，当y＝0时，x＝﹣1，∴A(﹣1，0)．∵直线y＝x＋1与抛物线交于点A，C(3，n)．将C(3，n)代入y＝x＋1，得n＝3＋1＝4，∴C(3，4)．将A(﹣1，0)，C(3，4)分别代入y＝ax2＋3x＋c，得，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋3x＋4．∵，∴抛物线的顶点坐标为；(2)①<m<，由题意可知，P(m，﹣m2＋3m＋4)，E(m＋5，﹣m2＋3m＋4)，D(m＋5，m＋6)．∵抛物线的顶点在矩形PEDF内部，可得：，解得：，故答案为：<m<；②DF＝PE＝(5＋m)﹣m＝5，DE＝m＋6﹣(﹣m2＋3m＋4)＝m2﹣2m＋2＝(m﹣1)2＋1．∵<m<，∴当m＝1时，DE最小，最小值为1，∴矩形PEDF周长的最小值为2×1＋2×5＝12．