2023年中考数学二轮复习《压轴题-圆存在问题》强化练习(含答案)

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2023年中考数学二轮复习《压轴题-圆存在问题》强化练习1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴相交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G．(1)求抛物线的表达式；(2)以点G为圆心，BG为半径画⊙G；以点E为圆心，EF为半径画⊙E．当⊙G与⊙E内切时．①试证明EF与EB的数量关系；②求点F的坐标．             2.已知抛物线y＝﹣2x2＋bx＋c(c＞0)．(1)如图1，抛物线与直线l相交于点M(﹣1，0)，N(2，6)．①求抛物线的解析式；②过点N作MN的垂线，交抛物线于点P，求PN的长；(2)如图2，已知抛物线y＝﹣2x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A，B，C，D(0，n)四点在同一圆上，求n的值．                   3.如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值：x…﹣10123…y…03430…(1)求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段(点P在点Q上方)，求AQ＋QP＋PC的最小值；(3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．            4.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C(0，6)，抛物线的顶点坐标为E(2，8)，连结BC、BE、CE．(1)求抛物线的表达式；(2)判断△BCE的形状，并说明理由；(3)如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．                 5.如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，连接BC并延长．(1)求抛物线的解析式；(2)点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．                6.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，与x轴交于A(4，0)、O两点，点D(2，﹣2)为抛物线的顶点．(1)求该抛物线的解析式；(2)点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．                7.在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(﹣2，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．(1)求二次函数的解析式；(2)如图甲，连接AC，PA，PC，若S△PAC＝，求点P的坐标；(3)如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．                8.定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．(1)已知点P(2，2)，以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x＋3的坐标圆，并说明理由；(2)已知二次函数y＝x2﹣4x＋4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；(3)已知二次函数y＝ax2﹣4x＋4(0＜a＜1)图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．      
参考答案1.解：(1)∵点A坐标为(﹣1，0)，点B坐标为(3，0)．设抛物线y＝a(x＋1)(x﹣3)(a≠0)，∵抛物线经过点C(0，4)，∴4＝﹣3a．解得a=-．∴抛物线的表达式是y=-x2＋x＋4；(2)①由于⊙G与⊙E内切，当r⊙G＜r⊙E时，则EF﹣GB＝GE，设EF＝5t，FG＝3t，GE＝4t，则5t﹣GB＝4t，∴GB＝t＜GE＝4t，∴点E在线段CB的延长线上．又∵已知点E在线段BC上，∴矛盾，因此不存在．当r⊙G＞r⊙E时，则GB﹣EF＝GE，又∵GE＝GB﹣EB，∴EF＝EB；②∵OC⊥OB，FD⊥OB，∴∠COB＝∠EDB＝90°．∴．∴设BD＝t，则DE＝t；在Rt△BED中，由勾股定理得，．∴，∴F坐标为(3﹣t，3t)，∵F点在抛物线y=-x2＋x＋4上，∴3t=-(3-t)2＋(3-t)＋4，∴解得t=，t＝0(点F与点B重合，舍去)．∴F坐标为(，)．2.解：(1)①把M(﹣1，0)N(2，6)代入y＝﹣2x2＋bx＋c，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2＋4x＋6；②由①，抛物线解析式为：y＝﹣2x2＋4x＋6，设P(a，﹣2a2＋4a＋6)∵M(﹣1，0)，N(2，6)，∴MN＝3，∴PM＝，PN＝，又∵PN⊥MN，则PM2＝MN2＋PN2，(﹣1﹣a)2＋(2a2﹣4a﹣b)2＝(3)2＋(2﹣a)2＋(2a2﹣4a)2．整理得：4a2﹣9a＋2＝0，∴(a﹣2)(4a﹣1)＝0．∴a1＝2，a2＝．当a＝2时，P与N重合，∴a＝，PN＝．(2)证明：设OA＝﹣xA，OB＝xB，OD＝﹣n当y＝0时，﹣2x2＋bx＋c＝0，∴xAxB＝﹣c，∴OAOB＝﹣xAxB＝c．∵∠CAO＝∠BDO，∠ACO＝∠DBO∴△AOC∽△DOB∴＝∴OAOB＝OCOD∴c＝c(﹣n)．∵c≠0∴n＝﹣．3.解：(1)根据表格可得出A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)，设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x﹣3)，将C(0，3)代入，得：3＝a(0＋1)(0﹣3)，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣(x＋1)(x﹣3)＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4，∴该抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x＋3，顶点坐标为M(1，4)；(2)如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′(0，2)，连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，∵A、B关于直线x＝1对称，∴AQ′＝BQ′，∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，在Rt△BOC′中，BC′＝，∴AQ′＋Q′P′＋P′C＝BQ′＋C′Q′＋Q′P′＝BC′＋Q′P′＝＋1，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′＋C′Q′的值最小，∴AQ＋QP＋PC的最小值为＋1；(3)线段EF的长为定值1.如图2，连接BE，设D(t，﹣t2＋2t＋3)，且t＞3，∵EF⊥x轴，∴DF＝﹣(﹣t2＋2t＋3)＝t2﹣2t﹣3，∵F(t，0)，∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣(﹣1)＝t＋1，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠DAF＋∠BED＝180°，∵∠BEF＋∠BED＝180°，∴∠DAF＝∠BEF，∵∠AFD＝∠EFB＝90°，∴△AFD∽△EFB，∴＝，∴＝，∴EF＝＝＝1，∴线段EF的长为定值1．4.解：(1)∵抛物线的顶点坐标为E(2，8)，∴设该抛物线的表达式为y＝a(x﹣2)2＋8，∵与y轴交于点C(0，6)，∴把点C(0，6)代入得：a＝﹣，∴该抛物线的表达式为y＝-x2＋2x＋6；(2)△BCE是直角三角形．理由如下：∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，∴令y＝0，则﹣(x﹣2)2＋8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴A(﹣2，0)，B(6，0)，∴BC2＝62＋62＝72，CE2＝(8﹣6)2＋22＝8，BE2＝(6﹣2)2＋82＝80，∴BE2＝BC2＋CE2，∴∠BCE＝90°，∴△BCE是直角三角形；(3)⊙C上存在点P，使得BP＋EP的值最小且这个最小值为．理由如下：如图，在CE上截取CF＝(即CF等于半径的一半)，连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求．理由如下：连结CP，∵CP为半径，∴＝＝，又∵∠FCP＝∠PCE，∴△FCP∽△PCE，∴＝＝，即FP＝EP，∴BF＝BP＋EP，由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP＋EP为最小值．∵CF＝CE，E(2，8)，∴由比例性质，易得F(，)，∴BF＝＝．5.解：(1)把A、B、C三点的坐标代入抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，得，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x＋3；(2)1°设直线BC的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，则，解得，，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x＋3，设M(t，﹣t＋3)(0＜t＜3)，则N(t，t2﹣4t＋3)，∴MN＝﹣t2＋3t＝﹣(t-)2＋，∴当t＝时，MN的值最大，其最大值为；2°∵△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上，∴△PMN为直角三角形，由1°知，当MN取最大值时，M(,)，N(,-)，①当∠PMN＝90°时，PM∥x轴，则P点与M点的纵坐标相等，∴P点的纵坐标为，当y＝时，y＝x2﹣4x＋3＝，解得，x＝，或x＝ (舍去)，∴P()；②当∠PNM＝90°时，PN∥x轴，则P点与N点的纵坐标相等，∴P点的纵坐标为﹣，当y＝﹣时，y＝x2﹣4x＋3＝﹣，解得，x＝，或x＝(舍去)，∴P(,-)；③当∠MPN＝90°时，则MN为△PMN的外接圆的直径，∴△PMN的外接圆的圆心Q为MN的中点，∴Q(,)，半径为MN=，过Q作QK∥x轴，与在MN右边的抛物线图象交于点K，如图②，令y＝，得y＝x2﹣4x＋3＝，解得，x＝＜ (舍)，或x＝，∴K(，)，∴QK＝＞，即K点在以MN为直径的⊙Q外，设抛物线y＝x2﹣4x＋3的顶点为点L，则l(2，﹣1)，连接LK，如图②，则L到QK的距离为，LK＝，设Q点到LK的距离为h，则，∴＝，∴直线LK下方的抛物线与⊙Q没有公共点，∵抛物线中NL部分(除N点外)在过N点与x轴平行的直线下方，∴抛物线中NL部分(除N点外)与⊙Q没有公共点，∵抛物线K点右边部分，在过K点与y轴平行的直线的右边，∴抛物线K点右边部分与⊙Q没有公共点，综上，⊙Q与MN右边的抛物线没有交点，∴在线段MN右侧的抛物线上不存在点P，使△PMN的外接圆圆心Q在MN边上；综上，点P的坐标为(2＋)或(,-)．6.解：(1)由抛物线顶点式表达式得：y＝a(x﹣2)2﹣2，将点A的坐标代入上式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝(x﹣2)2﹣2＝x2﹣2x①；(2)①点E是OA的中点，则点E(2，0)，圆的半径为1，则点B(1，0)，当点P在x轴下方时，如图1，∵tan∠MBC＝2，故设直线BP的表达式为：y＝﹣2x＋s，将点B(1，0)的坐标代入上式并解得：s＝2，故直线BP的表达式为：y＝﹣2x＋2②，联立①②并解得：x＝±2(舍去﹣2)，故m＝2；当点P在x轴上方时，同理可得：m＝4±2(舍去4﹣2)；故m＝2或4＋2；②存在，理由：连接BN、BD、EM，则BN是△OEM的中位线，故BN＝EM＝，而BD＝，在△BND中，BD﹣BN≤ND≤BD＋BN，即﹣≤ND≤＋，故线段DN的长度最小值和最大值分别为﹣和＋．7.解：(1)∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(﹣2，0)，B(4，0)两点，∴二次函数的解析式为y＝(x＋2)(x﹣4)，即y＝x2﹣x﹣4．(2)如图甲中，连接OP．设P(m，m2﹣m﹣4)．由题意，A(﹣2，0)，C(0，﹣4)，∵S△PAC＝S△AOC＋S△OPC﹣S△AOP，∴＝×2×4＋×4×m﹣×2×(﹣m2＋m＋4)，整理得，m2＋2m﹣15＝0，解得m＝3或﹣5(舍弃)，∴P(3，﹣)．(3)结论：点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE＝2．理由：如图乙中，连接AM，PM，EM，设M(1，t)，P[m，(m＋2)(m﹣4)]，E(m，n)．由题意A(﹣2，0)，AM＝PM，∴32＋t2＝(m﹣1)2＋[(m＋2)(m﹣4)﹣t]2，解得t＝1＋(m＋2)(m﹣4)，∵ME＝PM，PE⊥AB，∴t＝，∴n＝2t﹣(m＋2)(m﹣4)＝2[1＋(m＋2)(m﹣4)]﹣(m＋2)(m﹣4)＝2，∴DE＝2，另解：∵PDDE＝ADDB，∴DE＝＝2，为定值．∴点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE＝2．8.解：(1)对于二次函数y＝x2﹣4x＋3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，∴二次函数图象与x轴交点为A(1，0)，B(3，0)，与y轴交点为C(0，3)，∵点P(2，2)，∴PA＝PB＝PC＝，∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x＋3的坐标圆．(2)如图1，连接PH，∵二次函数y＝x2﹣4x＋4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，∴A(2，0)，与y轴的交点H(0，4)，∴△POA周长＝PO＋PA＋OA＝PO＋PH＋2≥OH＋2＝6，∴△POA周长的最小值为6．(3)如图2，连接CD，PA，设二次函数y＝ax2﹣4x＋4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，∵AB＝，∴AF＝BF＝，∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C(0，4)，∴∠PCD＝∠PDC＝30°，设PE＝m，则PA＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，∵二次函数y＝ax2﹣4x＋4图象的对称轴l为，∴，即，在Rt△PAF中，PA2＝PF2＋AF2，∴，即，化简，得，解得，∴．