2023年中考数学二轮复习《压轴题-平行四边形存在问题》强化练习(含答案)

这是一份2023年中考数学二轮复习《压轴题-平行四边形存在问题》强化练习(含答案)，共20页。试卷主要包含了如图，抛物线M，如图，已知二次函数L1等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学二轮复习《压轴题-平行四边形存在问题》强化练习1.如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．(1)请直接写出点A，B，C的坐标；(2)点P(m，n)(0＜m＜6)在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．(3)点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．             2.如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，3)，对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．(1)求二次函数的表达式；(2)连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；(3)如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．               3.如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣5(a≠0)经过x轴上的点A(1，0)和点B(5，0)及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx＋b(k≠0)．(1)求抛物线的解析式．(2)点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．(3)过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N(不与点B、C重合)作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．              4.如图，抛物线M：y＝ax2＋bx＋b﹣a经过点(1，﹣3)和(﹣4，12)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．(1)求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；(2)若抛物线N：y＝﹣(x﹣h)2＋与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．                  5.如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点(2，﹣3a)，对称轴是直线x＝1，顶点是M．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)设直线y＝﹣x＋3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E(不与B，D重合)，经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由．                6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(﹣4，0)，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2，6)．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；(3)在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．                7.如图，已知二次函数L1：y＝mx2＋2mx﹣3m＋1(m≥1)和二次函数L2：y＝﹣m(x﹣3)2＋4m﹣1(m≥1)图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)和C、D两点(点C在点D的左边)．(1)函数y＝mx2＋2mx﹣3m＋1(m≥1)的顶点坐标为 　     　；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是 　    　；(2)当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状(直接写出，不必证明)；(3)抛物线L1，L2均会分别经过某些定点：①求所有定点的坐标；②若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？               8.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(﹣1，0)、B(3，0)两点，与直线y＝﹣x＋3交于点B、C(0，n)．(1)求点C的坐标及抛物线的对称轴；(2)求该抛物线的表达式；(3)点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t．若平移BC使点B与P重合，求点C的对应点C′的坐标(用含t的代数式表示)；若点Q在抛物线上，以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且PQ∥BC，求点P的坐标．      
参考答案1.解：(1)当x＝0时，y＝﹣6，∴C(0，﹣6)，当y＝0时，x2﹣2x﹣6＝0，∴x1＝6，x2＝﹣2，∴A(﹣2，0)，B(6，0)；(2)如图，作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，∵B(6，0)，C(0，﹣6)，∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6，∴D(m，m﹣6)，∴PD＝(m﹣6)﹣(m2﹣2m﹣6)＝﹣m2＋3m，∴S△PBC＝﹣(m﹣3)2＋，∴当m＝3时，S△PBC最大＝；(3)如图3，当▱ACFE时，AE∥CF，∵抛物线对称轴为直线：x＝2，∴F1点的坐标：(4，﹣6)，如图4，当▱ACEF时，作FG⊥AE于G，∴FG＝OC＝6，当y＝6时，x2﹣2x﹣6＝6，∴x1＝2＋2，x2＝2﹣2，∴F2(2＋2，6)，F3(2﹣2，6)，综上所述：F(4，﹣6)或(2＋2，6)或(2﹣2，6)．2.解：(1)由题意得，，∴，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x＋3；(2)证明：∵当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2×(﹣1)＋3＝4，∴D(﹣1，4)，由﹣x2﹣2x＋3＝0得，x1＝﹣3，x2＝1，∴A(﹣3，0)，B(1，0)，∴AD2＝20，∵C(0，3)，∴CD2＝2，AC2＝18，∴AC2＋CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴tan∠DAC＝＝＝，∵∠BOC＝90°，∴tan∠BCO＝＝，∴∠DAC＝∠BCO；(3)解：如图，作DE⊥y轴于E，作D1F⊥y轴于F，∴DE∥FD1，∴△DEC∽△D1FC，∴＝，∴FD1＝2DE＝2，CF＝2CE＝2，∴D1(2，1)，∴y1的关系式为：y＝﹣(x﹣2)2＋1，当x＝0时，y＝﹣3，∴N(0，﹣3)，同理可得：，∴，∴OM＝3，∴M(3，0)，设P(2，m)，当▱MNQP时，∴MN∥PQ，PQ＝MN，∴Q点的横坐标为﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣(﹣1﹣2)2＋1＝﹣8，∴Q(﹣1，8)，当▱MNPQ时，同理可得：点Q横坐标为：5，当x＝5时，y＝﹣(5﹣2)2＋1＝﹣8，∴Q′(5，﹣8)，综上所述：点Q(﹣1，﹣8)或(5，﹣8)．3.解：(1)将A(1，0)和点B(5，0)代入y＝ax2＋bx﹣5得：，解得，∴抛物线y＝﹣x2＋6x﹣5，(2)作ED⊥x轴于D，由题意知：BP＝4﹣t，BE＝2t，∵B(5，0)，C(0，﹣5)，∴OB＝OC＝5，∴∠OBC＝45°，∴ED＝sin45°×2t＝，∴S△BEP＝﹣t2＋2t，当t＝2 时，S△BEP最大为2．∴当t＝2时，S△BEP最大为2．(3)过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，则NF＝AE＝4，设N(m，﹣m2＋6m﹣5)，则F(m，m﹣5)，∴NF＝|﹣m2＋5m|＝4，∴m2﹣5m＋4＝0或m2﹣5m﹣4＝0，∴m1＝1(舍)，m2＝4，或m3＝，m4＝，∴点N的横坐标为：4或或．4.解：(1)将(1，﹣3)，(﹣4，12)代入y＝ax2＋bx＋b﹣a，得，解得，∴，∴抛物线M的表达式为，顶点D的坐标为．(2)存在．∵，当x＝0时，y＝﹣2，当y＝0时，，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴C(0，﹣2)，B(4，0)，设，，当四边形BCFE是平行四边形时，可看出是E，F可看成分别是B，C平移相同的单位得到，则②﹣③得m＋n＝2h﹣1④，(①＋④)÷2得⑤，(④﹣①)÷2得⑥，将⑤，⑥代入③得h＝±，当四边形BCEF是平行四边形时，可看出是E，F可看成分别是C，B平移相同的单位得到，则②﹣③得m＋n＝2h﹣1④，(①＋④)÷2得⑤，(④﹣①)÷2得⑥，将⑤，⑥代入③得h＝或，当h＝时，m＝h＋＝＋＝8，n＝h﹣＝﹣＝4，∴E(4，0)，F(8，2)，此时点E与点B重合，不符合题意，舍去；综上，h的值为或±． 5.解：(1)∵抛物线经过点(2，﹣3a)，∴4a＋2b﹣3＝﹣3a①，又因为抛物线对称为x＝1，∴②，联立①②，解得，∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；(2)如图1，∵y＝(x﹣1)2﹣4，∴M(1，﹣4)，令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C(0，﹣3)，设直线MC为y＝kx﹣3，代入点M得k＝﹣1，∴直线MC为y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，∴N(﹣3，0)，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或3，∴A(﹣1，0)，B(3，0)，过C作CP∥AN，使CP＝AN，则四边形ANCP为平行四边形，∴CP＝AN＝﹣1﹣(﹣3)＝2，∴P(2，﹣3)，∵P的坐标满足抛物线解析式，∴P(2，﹣3)在抛物线上，即P(2，﹣3)；(3)如图2，令x＝0，则y＝﹣x＋3＝3，∴D(0，3)，∴OB＝OD＝3，又∠DOB＝90°，∴∠DBO＝45°，同理，∠ABC＝45°，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠DBO＝45°，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴△AEF为等腰直角三角形．6.解：(1)将A(﹣4，0)，C(2，6)代入y＝x2＋bx＋c得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x，对称轴x＝﹣2，当x＝﹣2时，y＝×4＋2×(﹣2)＝﹣2，∴顶点M的坐标为(﹣2，﹣2)；(2)∵A(﹣4，0)，∴OA＝4，∵OA＝OB，∴OB＝4，B(0，4)，设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx＋b，将A(﹣4，0)、B(0，4)代入得：，解得，∴直线AB的函数解析式解析式为y＝x＋4，Rt△AOB中，AB＝＝4，∴sin∠ABO＝＝＝，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：①当S△AOP：S△COP＝1：2时，如图：∵S△AOP：S△COP＝1：2，∴S△AOP：S△AOC＝1：3，∴PQ：CH＝1：3，而C(2，6)，即CH＝6，∴PQ＝2，即yP＝2，在y＝x＋4中，令y＝2得2＝x＋4，∴x＝﹣2，∴P(﹣2，2)；②当S△COP：S△AOP＝1：2时，如图：∵S△COP：S△AOP＝1：2，∴S△AOP：S△AOC＝2：3，∴PQ：CH＝2：3，∵CH＝6，∴PQ＝4，即yP＝4，在y＝x＋4中，令y＝4得4＝x＋4，∴x＝0，∴P(0，4)；综上所述，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，则P坐标为(﹣2，2)或(0，4)；(3)点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形时，设N(m，n)，分三种情况：①以AN、CO为对角线，此时AN中点与CO中点重合，∵A(﹣4，0)、O(0，0)，C(2，6)，∴AN的中点为(，)，OC中点为(，)，∴，解得，∴N(6，6)，②以AC、NO为对角线，此时AC中点与NO中点重合，同理可得：解得，∴N(﹣2，6)，③以AO、CN为对角线，此时AO中点与CN中点重合，同理可得：，解得，∴N(﹣6，﹣6)，综上所述，点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形，N的坐标为：(6，6)或(﹣2，6)或(﹣6，﹣6)．7.解：(1)x＝﹣1，顶点坐标M为(﹣1，﹣4m＋1)，由图象得：当﹣1＜x＜3时，二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大．故答案为：(﹣1，﹣4m＋1)；﹣1＜x＜3(2)结论：四边形AMDN是矩形．由二次函数L1：y＝mx2＋2mx﹣3m＋1(m≥1)和二次函数L2：y＝﹣m(x﹣3)2＋4m﹣1(m≥1)解析式可得：A点坐标为(，0)，D点坐标为(，0)，顶点M坐标为(﹣1，﹣4m＋1)，顶点N坐标为(3，4m﹣1)，∴AD的中点为(1，0)，MN的中点为(1，0)，∴AD与MN互相平分，∴四边形AMDN是平行四边形，又∵AD＝MN，∴▱AMDN是矩形．(3)①∵二次函数L1：y＝mx2＋2mx﹣3m＋1＝m(x＋3)(x﹣1)＋1，故当x＝﹣3或x＝1时y＝1，即二次函数L1：y＝mx2＋2mx﹣3m＋1经过(﹣3，1)、(1，1)两点，∵二次函数L2：y＝﹣m(x﹣3)2＋4m﹣1＝﹣m(x﹣1)(x﹣5)﹣1，故当x＝1或x＝5时y＝﹣1，即二次函数L2：y＝﹣m(x﹣3)2＋4m﹣1经过(1，﹣1)、(5，﹣1)两点，②∵二次函数L1：y＝mx2＋2mx﹣3m＋1经过(﹣3，1)、(1，1)两点，二次函数L2：y＝﹣m(x﹣3)2＋4m﹣1经过(1，﹣1)、(5，﹣1)两点，如图：四个定点分别为E(﹣3，1)、F(1，1)，H(1，﹣1)、G(5，﹣1)，则组成四边形EFGH为平行四边形，设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得：42＝22＋(4﹣x)2．解得：x＝4±2，抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2向左平移4＋2或4﹣2．8.解：(1)把C(0，n)代入y＝﹣x＋3得：n＝3，∴C(0，3)，∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(﹣1，0)、B(3，0)两点，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，答：C(0，3)，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1；(2)把A(﹣1，0)、B(3，0)，C(0，3)代入y＝ax2＋bx＋c得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2＋2x＋3；(3)∵点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t，∴P(1，t)，∵平移BC使点B与P重合，B(3，0)，∴C(0，3)的对应点C'坐标为(﹣2，3＋t)，设Q(m，﹣m2＋2m＋3)，①当PQ∥BC，BQ∥CP时，BP的中点即为CQ的中点，如图：∴，解得，∴P(1，﹣2)；②当PQ∥BC，BP∥CQ时，BQ中点即为CP中点，如图：∴，解得，∴P(1，﹣8)，综上所述，以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且PQ∥BC，P的坐标为(1，﹣2)或(1，﹣8)．