人教版高中数学选择性必修第二册第五章5-2-3简单复合函数的导数习题含答案

5.2.3　简单复合函数的导数

必备知识基础练

1.(多选题)下列函数是复合函数的是(　　)

A.y=-x3-+1 B.y=cos(x+)

C.y= D.y=(2x+3)4

2.函数f(x)=x(1-ax)2(a>0),且f'(2)=5,则a等于(　　)

A.1 B.-1 

C.2 D.-2

3.已知函数f(x)=,则f'(x)=(　　)

A. B.

C. D.

4.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为(　　)

A.1 B.2 

C.-1 D.-2

5.已知函数f(x)=sin,则f'= (　　)

A. B.1

C. D.

6.(2021江西宜春高二期末)若f(x)=exln 2x,则f'(x)=(　　)

A.exln 2x+ B.exln 2x-

C.exln 2x+ D.2ex·

7.(多选题)设f'(x)是函数y=f(x)的导函数,则以下求导运算正确的有(　　)

A.若f(x)=sin 2x,则f'(x)=cos 2x

B.若f(x)=xex-ln 2,则f'(x)=(x+1)ex

C.若f'(x)=2x-1,则f(x)=x2-x

D.若f(x)=,则f'(x)=-

8.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为f'(x),且f(ln x)在x=e处的导数为,则f'(1)=　　　　. 

9.求下列函数的导数:

(1)y=ln(ex+x2);

(2)y=102x+3;

(3)y=;

(4)y=sin 2xcos 3x.

关键能力提升练

10.(2021天津河西高二期末)函数y=e-2x+1cos(-x2+x)的导数为(　　)

A.y'=e-2x+1[2sin(x2-x)+(2x-1)cos(x2-x)]

B.y'=-e-2x+1[2cos(x2-x)+(2x-1)sin(x2-x)]

C.y'=-e-2x+1[2sin(x2-x)+(2x-1)cos(x2-x)]

D.y'=e-2x+1[2cos(x2-x)+(2x-1)sin(x2-x)]

11.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(　　)

A. B. C. D.1

12.曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(　　)

A. B.2 C.3 D.0

13.(多选题)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值可以是(　　)

A. B. C. D.

14.(2021江苏徐州高三期末)随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设在某放射性同位素的衰变过程中,其含量N(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系P(t)=P0,其中P0为t=0时该放射性同位素的含量.已知t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-,则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为(　　)

A.20天 B.30天 

C.45天 D.60天

15.(多选题)在下列函数中,直线y=x+b能作为函数图象的切线的是(　　)

A.f(x)= B.f(x)=x4

C.f(x)=sin  D.f(x)=ex

16.设函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<π),若函数g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数,则φ=　　　　　. 

17.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是　　　　　. 

18.(1)已知f(x)=eπxsin πx,求f'(x)及f'.

(2)在曲线y=上求一点,使过该点的切线平行于x轴,并求切线方程.

学科素养创新练

19.(多选题)若直线l与曲线f(x)=e2xcos 3x在点(0,1)处的切线平行,且两直线间的距离为,则直线l的方程可能为(　　)

A.y=2x+6 B.y=2x-4

C.y=3x+1 D.y=3x-4

20.用导数的方法求和:1+2x+3x2+4x3+…+2 021x2 020(x≠0,且x≠1).

参考答案

5.2.3　简单复合函数的导数

1.BCD　A不是复合函数,B,C,D均是复合函数,

其中B由y=cos u,u=x+复合而成;

C由y=,u=ln x复合而成;

D由y=u4,u=2x+3复合而成.

2.A　f'(x)=(1-ax)2-2ax(1-ax),则f'(2)=12a2-8a+1=5,解得a=1或a=-,又a>0,∴a=1.

3.C　因为f(x)=,故f'(x)=,故选C.

4.B　设切点坐标是(x0,x0+1),依题意有由此得x0+1=0,x0=-1,a=2.

5.D　f'(x)=2cos,

所以f'=2cos=2cos.

故选D.

6.C　f'(x)=(ex)'·ln 2x+ex·(ln 2x)'=exln 2x+.

7.BD　因为f(x)=sin 2x,

所以f'(x)=(sin 2x)'(2x)'=2cos 2x,故A错误;

因为f(x)=xex-ln 2,

所以f'(x)=x'ex+x(ex)'-0=(x+1)ex,故B正确;

若f'(x)=2x-1,则f(x)=x2-x+c(c为任意常数),故C错误;因为f(x)=,所以f'(x)==-,故D正确.故选BD.

8.　设g(x)=f(ln x),由复合函数的求导法则可得g'(x)=f'(ln x).

由题意可得g'(e)=f'(1)=,解得f'(1)=.

9.解(1)令u=ex+x2,则y=ln u.

∴yx'=yu'·ux'=·(ex+x2)'=·(ex+2x)=.

(2)令u=2x+3,则y=10u,∴yx'=yu'·ux'=10u·ln 10·(2x+3)'=2ln 10·102x+3.

(3)设y=,u=1-x2,则yx'=yu'·ux'=()'(1-x2)'=-·(-2x)=x(1-x2.

(4)∵y=sin 2xcos 3x,∴y'=(sin 2x)'cos 3x+sin 2x(cos 3x)'=2cos 2xcos 3x-3sin 2xsin 3x.

10.B　∵y=e-2x+1cos(-x2+x),

∴y'=(e-2x+1)'cos(-x2+x)+e-2x+1[cos(-x2+x)]'

=-2e-2x+1cos(-x2+x)-e-2x+1sin(-x2+x)·(-2x+1)

=-e-2x+1[2cos(-x2+x)+(-2x+1)sin(-x2+x)]

=-e-2x+1[2cos(x2-x)+(2x-1)sin(x2-x)].

故选B.

11.

A　依题意得y'=e-2x·(-2)=-2e-2x,y'x=0=-2e-2×0=-2.

曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x,即y=-2x+2.在坐标系中作出直线y=-2x+2,y=0与y=x的图象,因为直线y=-2x+2与y=x的交点坐标是,直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是(1,0),结合图象可得,这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×.

12.A　设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行.

∵y'=,∴切线的斜率k==2,解得x0=1,

∴y0=ln(2-1)=0,即切点坐标为(1,0).

∴切点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离为d=,即曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.

13.CD　因为y=,

所以y'=.

因为ex>0,所以ex+≥2(当且仅当x=0时取等号),所以y'∈[-1,0),所以tan α∈[-1,0).

又因为α∈[0,π),所以α∈,π.故选CD.

14.D　由P(t)=P0得P'(t)=-·P0·ln 2.

因为t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-,

所以P'(15)=-P0=-,

解得P0=18,则P(t)=18·.

当该放射性同位素含量为4.5贝克时,即18·=4.5,解得t=60.故选D.

15.BCD　由f(x)=,得f'(x)=-,无解,故A排除;

由f(x)=x4,得f'(x)=4x3=,故x=,即曲线在点处的切线为y=x-,B正确;

由f(x)=sin ,得f'(x)=cos ,取x=0,故曲线在点(0,0)处的切线为y=x,C正确;由f(x)=ex,得f'(x)=ex=,故x=-ln 2,曲线在点-ln 2,的切线为y=x+ln 2+,D正确.故选BCD.

16.　∵f'(x)=-sin(x+φ),

∴g(x)=f(x)+f'(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ),

∵g(x)为定义在R上的奇函数,

∴g(0)=0,即cos φ-sin φ=0,∴tan φ=.

又0<φ<π,∴φ=.

17.2x-y=0　设x>0,则-x<0,f(-x)=ex-1+x.

又f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ex-1+x.

所以当x>0时,f(x)=ex-1+x.

因此,当x>0时,f'(x)=ex-1+1,f'(1)=e0+1=2.

则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f'(1)=2,

所以切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.

18.解(1)∵f(x)=eπxsin πx,

∴f'(x)=πeπxsin πx+πeπxcos πx=πeπx(sin πx+cos πx).

∴f'=πsin +cos =π.

(2)设切点的坐标为P(x0,y0),由题意可知y'=0.

又y'=,∴y'=0.

解得x0=0,此时y0=1.即该点的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.

19.AB　∵f'(x)=e2x(2cos 3x-3sin 3x),

∴f'(0)=2,

则所求的切线方程为y=2x+1.

设直线l的方程为y=2x+b,则,

解得b=6或b=-4.

∴直线l的方程为y=2x+6或y=2x-4.

20.解设f(x)=1+2x+3x2+4x3+…+2 021x2 020,g(x)=x+x2+x3+x4+…+x2 021,则有f(x)=g'(x).

而由等比数列求和公式可得g(x)=,

于是f(x)=g'(x)='

=

=,

即1+2x+3x2+4x3+…+2 021x2 020

=.