初中人教版第四章 几何图形初步4.2 直线、射线、线段测试题

第12讲  与线段有关的计算

知识点1：直线、射线和线段的概念

1.直线的两方都没有端点，可以向两方无限延伸；直线一般用它上面的两个点表示，也可以用一个小写字母表示。

2.直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线；射线用它的端点和射线上的另外一点来表示，也可以用一个小写字母表示；可以向一方无限延伸。

3.线段有两个端点，不可延伸。

两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。

线段用表示它两个端点的字母A、B或一个小写字母表示，记作线段AB或线段BA，或线段a。表示线段的字母也可以表示线段长度，如AB=6。

【典例】

1.已知如图，则下列叙述不正确的是（　　）

A. 点O不在直线AC上       B. 射线AB与射线BC指的是同一条射线

C. 图中共有5条线段         D. 直线AB与直线CA指的是同一条直线

【解析】解：A、点O不在直线AC上，故A说法正确，不符合题意；

B、射线AB与射线BC的端点不同，不是同一条射线，故B错误，符合题意；

C、图中的线段有AB、AC、BC、OB、OC，共5条，故C说法正确，不符合题意；

D、点A、B、C在同一条直线上，根据直线的表示方法可知，直线AB与直线CA指的是同一条直线，故D正确，不符合题意．

【方法总结】

确定射线需要两个要素：（1）端点；（2）方向。

确定不同字母表示的直线是否是同一条直线只需要确定所有的字母是否在同一直线上。

2. 由盘锦到沈阳的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：盘锦﹣西柳﹣海城﹣鞍山﹣辽阳﹣沈阳，那么要为这次列车制作的火车票有______种

【解析】解：每两站点都要设火车票，所以从一个城市出发到其他5个城市有5种车票，但是已知中是由盘锦到沈阳的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：盘锦﹣西柳﹣海城﹣鞍山﹣辽阳﹣沈阳，没有返程车票，都是单程车票，每个城市出发的火车都被重复计算了，所以要为这次列车制作的火车票有×5×6=15种，

【方法总结】

求在某一条包含若干点的线段上存在的线段条数，有如下两种方法：

1.简单图形直接数线段的条数；

2.数量比较多的情况下，只需要数从一个点出发有多少条线段，再与数出点的个数相乘。由于每条线段都被重复计算一次，所以最终结果是其一半。

【随堂练习】

1．（2018秋•鄂州期末）如图，点，，，，，在同一条直线上，则图中线段和射线的条数分别为　　

A．10，10 B．12，15 C．15，12 D．15，15

【解答】解：图中线段有15条：线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段，线段、线；

以每个点为端点的射线有2条，共6个点，故射线有12条；

故选：．

二．填空题（共1小题）

2．（2018秋•自贡期末）平面上有三个点，可以确定直线的条数是　1条或3条　．

【解答】解：若平面内的三个点、、不在同一直线上，则能确定的直线的条数是：3条；

若平面内的三个点、、在同一直线上，则能确定的直线的条数是：1条．

平面内的三个点、、能确定的直线的条数是：1条或3条．

故答案为：1条或3条．

三．解答题（共1小题）

3．（2018秋•绍兴期末）如题， 平面上四个点，，，，按要求完成下列问题：

（1） 连结线段，；

（2） 画射线与直线相交于点；

（3） 在直线上找一点，使线段最短， 并说明理由 ．

【解答】解： （1） 如图所示：

（2） 如图所示：

（3） 如图所示： 理由是垂线段最短 ．

知识点2：直线的性质——两点确定一条直线

两点确定一条直线在生活当中的应用很广泛，例如我们排队时，队头站好两个人，后面的人只需要看着自己前面的一个人，一个个的排下来就可以排成一支整齐的队伍；打靶的时候士兵的眼睛通过枪上的准星瞄准靶心，只要保证眼睛、准星、靶心在同一直线上，就可以确定命中了。

【典例】

1.在开会前，工作人员进行会场布置，在主席台上由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”为基准摆放茶杯，这样做的理由是（　　）

A． 两点之间线段最短         B． 两点确定一条直线

C． 两点之间，直线最短         D． 过一点可以作无数条直线

【解析】解：由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”为基准摆放茶杯，这样做的理由是两点确定一条直线，

【方法总结】

生活中需要沿直线进行操作的工作，开始之前一般都先找好两个点，因为两点就能确定一条直线。

2. 已知平面内有A，B，C，D四点，过其中的两点画一条直线，一共可以画_______直线．

【解析】解：分三种情况：

①四点在同一直线上时，只可画1条；

②当三点在同一直线上，另一点不在这条直线上，可画4条；

③当没有三点共线时，可画6条；

【方法总结】

通过点的数量来确定直线的数量时，先观察是否有任意三点或者更多的点共线。当没有出现三点共线时，直线的数量直接带入公式（n≥2）即可；当出现三点或者更多点共线时，则需要单独讨论。

【随堂练习】

1．（2018秋•鄂州期末）经过平面内任意三点中的两点共可以画出　1或3　条直线．

【解答】解：

不妨设三个点为、、，

当三个点在同一直线上时，只能画一条，

当三个点不在同一直线上时，则有、、三条，

故答案为：1或3．

2．（2018秋•定西期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是　两点确定一条直线　．

【解答】解：能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线，

故答案为：两点确定一条直线．

3．（2018秋•河北区期末）建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条参照线，使垒的每一层砖在一条直线上．这样做的依据是：　两点确定一条直线　．

【解答】解：建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条参照线，使垒的每一层砖在一条直线上，沿着这条线就可以砌出直的墙，则其中的道理是：两点确定一条直线．

故答案为：两点确定一条直线．

知识点3：线段的性质——两点之间线段最短

【典例】

1.2017年12月6日西成高铁全线开通运营，西安至成都的运行时间由11个小时缩短为4小时．这条经关中、汉中平原及穿越秦岭、巴山山脉的高速铁路用部分高难度的桥梁、隧洞等方式缩短了路程，这样做的主要依据是（　　）

A. 两点确定一条直线    B. 两点之间，线段最短

C. 直线比曲线短        D. 两条直线相交于一点

【解析】解：铁路改造主要的工作就是将之前弯曲的铁路改造成桥梁、隧洞等直线方案，这样做的主要依据是两点之间，线段最短，

【方法总结】

该题中不同方案的路线体现的是直线和曲线的差别。两点确定以后，两点之间的曲线要比线段长。

【随堂练习】

1．（2019春•赣州期末）如图， 乐乐用剪刀沿直线将一片平整的树叶减掉一部分， 发现剩下树叶的周长比原周长小， 能正确解释这一现象的数学依据是　两点之间线段最短　．

【解答】解：两点之间线段最短，

剩下树叶的周长比原树叶的周长小 ．

故答案为： 两点之间线段最短 ．

2．（2018秋•奈曼旗期末）如图，把原来弯曲的河道改直，、两地间的河道长度就发生了变化，请你用数学知识解释这一现象产生的原因　两点之间线段最短　．

【解答】解：把原来弯曲的河道改直，、两地间的河道长度就发生了变化，

用数学知识解释这一现象产生的原因：两点之间线段最短．

故答案为：两点之间线段最短．

知识点4：两点之间的距离

两点之间的线段长度就叫做这两点之间的距离。

【典例】

1.如图，线段CD在线段AB上，且CD=2，若线段AB的长度是一个正整数，则图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是（　　）

A. 28    B. 29    C. 30    D. 31

【解析】解：由题意可得，

图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：AC+CD+DB+AD+CB+AB

=（AC+CD+DB）+（AD+CB）+AB

=AB+AB+CD+AB

=3AB+CD，

∵CD=2，线段AB的长度是一个正整数，AB＞CD，

∴当AB=8时，3AB+CD=3×8+2=26，

当AB=9时，3AB+CD=3×9+2=29，

当AB=10时，3AB+CD=3×10+2=32．

故选B

【方法总结】

解答该题首先数清楚一共有多少条线段，其次将各线段组合找出与线段AB的关系，列出线段长度之和与线段AB、CD的关系式，最后假设线段AB的长找出正确答案。

2.如图，点A，B在线段EF上，点M，N分别是线段EA，BF的中点，EA：AB：BF=1：2：3，若MN=8cm，则线段EF的长______

【解析】解：∵EA：AB：BF=1：2：3，

可以设EA=x，AB=2x，BF=3x，

而M、N分别为EA、BF的中点，

∴MA=EA，NB=BF，

∴MN=MA+AB+BN=x+2x+x=4x

∵MN=8cm，

∴4x=8，

∴x=2，

∴EF=EA+AB+BF=6x=12，

∴EF的长为12cm，

【方法总结】

题中所给线段MN跟已知线段EA、AB、BF没有直接的数量关系，只能够将线段分解成MA、AB和BN，然后根据已知条件，将MA和BN用已知线段EA和BF表示出来。通过设未知数列方程，先求出EA的长，再根据比例关系求出EF的长。

【随堂练习】

1．（2018秋•新洲区期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点在线段上，且，则点是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．

（1）已知：如图2，，点是的三等分点，求的长．

（2）已知，线段，如图3，点从点出发以每秒的速度在射线上向点方向运动；点从点出发，先向点方向运动，当与点重合后立马改变方向与点同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为秒．

①若点点同时出发，且当点与点重合时，求的值．

②若点点同时出发，且当点是线段的三等分点时，求的值．

【解答】解：（1）当时，；

当时，．

综上所述：的长为或．

（2）①根据题意得：，

解得：．

答：当秒时，点与点重合．

②点、重合前：

当时，有，

解得：；

当时，有，

解得：；

点、重合后，

当时，有，

解得：；

当时，有，

解得：（不合题意，舍去）．

综上所述：当秒、秒或10秒时，点是线段的三等分点．

2．（2018秋•市中区期末）【新知理解】

如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“巧点”．

（1）线段的中点　是　这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是” ．

（2）若，点是线段的巧点，则　　；

【解决问题】

（3）如图②，已知．动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动：点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，、、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由

【解答】解：（1）线段的长是线段中线长度的2倍，

线段的中点是这条线段的“巧点”．

故答案为：是；

（2），点是线段的巧点，

或或；

故答案为：4或6或8；

（3）秒后，，

①由题意可知不可能为、两点的巧点，此情况排除．

②当为、的巧点时，

Ⅰ．，即，解得；

Ⅱ．，即，解得；

Ⅲ．，即，解得；

③当为、的巧点时，

Ⅰ．，即，解得（舍去）；

Ⅱ．，即，解得；

Ⅲ．，即，解得．

3．（2018秋•太仓市期末）已知，点是线段的中点，．点在直线上，且．请画出相应的示意图，并求线段的长．

【解答】解：点是线段的中点，，

，

①如图，若点在线段上，

，

，

．

②如图，若点在线段的反向延长线上，

，

，

．

综上所述，的长为2或18．

4．（2018秋•官渡区期末）如图，已知线段，延长到，使，为的中点，，求的长．

【解答】解：为的中点，，

，

，

，

．

5．（2018秋•岳池县期末）如图，已知点为上一点，，，，分别为，的中点，求的长．

【解答】解：，，

，

．

，分别为，的中点，

，，

．

综合集训

1.如图，一只蚂蚁从长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C处，有多条爬行线路，其中沿AC爬行一定是最短路线，其依据的数学道理是____________________．

【解析】解：∵蚂蚁从长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C处有多条爬行线路，只有AC是直线段，

∴沿AC爬行一定是最短路线，其科学道理是：两点之间，线段最短．

故答案为：两点之间，线段最短．

2.如图，A，B，C，D，E，P，Q，R，S，T是构成五角星的五条线段的交点，则图中共有线段_________条．

【解析】解：构成五角星的边（两个顶点之间的线段）共有5条，即线段AC，BE，CE，BD，AD；每条边上各有另两个点，即每条边上有6条线段；所以共有6×5=30条线段．

3.平面上任意三点不共线，过其中任意两个已知点画一条直线，共画了45条直线，则此平面上共有个________已知点．

【解析】解：∵平面内不同的两点确定1条直线，可表示为：=1；

平面内不同的三点最多确定3条直线，可表示为：=3；

平面内不同的四点确定6条直线，可表示为：=6；

以此类推，可得：=45，

所以n=10．

3.点C在射线AB上，若AB=3，BC=2，则AC为___________．

【解析】解：当C在线段AB上时，

AC=AB﹣BC=3﹣2=1，

当C在线段AB的延长线时，

AC=AB+BC=3+2=5，

即AC=1或5，

故答案为：1或5．

4.如图，AB=10cm，O为线段AB上的任意一点，C为AO的中点，D为OB的中点，则线段CD长为_________．

【解析】解：∵C为AO的中点，D为OB的中点，

∴CO=AO，OD=OB

∴CD=CO+OD=•AO+•OB=（AO+OB）=•AB=×10=5（cm）．

故答案为：5cm．

5.已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使AC=2BC，在AB的反向延长线上取一点D，使DA=2AB，那么线段AC：DB=_________．

【解析】解：如下图所示：

∵AC=AB+BC=2BC，

∴AB=BC，

∴DA=2AB=2BC，

∴DB=DA+AB=3AB=3BC，

∴AC：DB=2BC：3BC=2：3，

故答案为：2：3．