人教版八年级上册14.2.2 完全平方公式随堂练习题

第10讲  乘法公式一完全平方公式

 知识点1 完全平方公式

；，

即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍.

【典例】

1.x2﹣4x+m2是一个完全平方式，则m的值是（　　）

A. 2       B . ﹣2    C. 2和﹣2      D. 4

【方法总结】

满足的式子是完全平方式，这个三项式中，有两个是数（或式子）的平方，另外一个是这两个数（或式子）的2倍（或2倍的相反数）．

知识点2  利用完全平方公式进行数的运算

利用完全平方公式进行数的运算是完全平方公式的一种实际应用，主要考察对公式；的掌握情况.

【典例】

1.利用完全平方公式计算1012+992得（　　）

A. 2002    B. 2×1002  C. 2×1002十1     D. 2×1002+2

【方法总结】

此题主要考察完全平方公式的实际应用.

；，

即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍.

本题主要是利用完全平方公式进行一些复杂数的运算，它需要把复杂的数变成整百（或整十）和某个数（尽可能小一些）的和或差的形式，再利用公式进行运算.

备注：变形的目的是使计算量尽可能小，基本在口算范畴内的才算基本符合.

知识点3  利用完全平方公式进行整式的运算

利用完全平方公式进行整式的运算是完全平方公式的一种实际应用，

主要考察对公式；的掌握情况.

【典例】

1.已知a﹣=2，则a2+的值为（　　）

A. 3        B. 4       C. 5        D. 6

【方法总结】

此题主要考察完全平方公式的运用.

当题干中出现“a+”（或者a - ），问题中出现“a2+”时，一般将a+完全平方，这样就可以得到（a﹣）2= a2+ - 2、（a+）2= a2+ + 2，从而得到a2+的值. 另外，如果题干中出现诸如“a2+a+1=0”的话，对式子“a2+a+1=0”左右两边同除a（由式子易得a≠0），可得到a+1+=0，即a+=-1，从而进行下面的计算.

2.（3x+4y﹣6）2展开式的常数项是多少？

【方法总结】

完全平方公式一般是对两个数（或式子）的和（或差）进行平方，但是有时也可以对三项式（或者多项式）进行平方运算，例如(a+b+c) 2，可以根据实际情况对a，b，c进行简单的分组，例如a和b一组，c一组，则式子可变形为[（a+b）+c] 2,然后再利用完全平方公式，可得[（a+b）+c] 2=（a+b）2+c2+2（a+b）c，最后根据具体题意进行其他的计算.

【随堂练习】

1．（2019春•港南区期末）已知，且，则的值为　　

A．0 B．1 C．5 D．12

二．填空题（共6小题）

2．（2019春•沙坪坝区校级月考）若满足，则　　．

3．（2019春•鼓楼区期中）　　．

4．（2019春•南京期中）小淇将展开后得到；小尧将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为　　．

5．（2019春•诸城市期末）已知，，则的值为　　．

6．（2019•滨海县一模）若，，则　 　．

7．（2019•罗平县一模）已知，，则　 　．

三．解答题（共2小题）

8．（2019春•邗江区校级月考）已知有理数，满足，．求下列各式的值．

（1）；

（2）．

9．（2019春•长丰县期中）已知：，，求的值．

知识点4  完全平方公式的应用

【典例】

1.设一个正方形的边长为a cm，若边长增加3cm，则新正方形的面积增加了（　　）

A. 9 cm2       B. 6a cm2     C. （6a+9）cm2  D. 无法确定

【方法总结】

此题主要考察完全平方公式的实际用，利用完全平方公式来解决一些实际问题.

增加的面积就是用变化后的正方形面积减去变化前正方形的面积，变化后面积是（a+3）2，变化前的面积是a2，两者相减，利用完全平方公式即可计算出结果. 对于面积类问题，我们首先得按照题意列出式子，然后再利用完全平方公式进行相应的计算即可.

2.若2a2+4ab+2b2 =18，则（a+b）2﹣4的值为（　　）

A. 15     B. 5        C. 12         D. 10

【方法总结】

问题当中出现了完全平方，可以先利用完全平方公式展开，然后再根据题干中的条件，进行相应的变形.

3.如图的图形面积由以下哪个公式表示（　　）

A. a2﹣b2=a（a﹣b）+b（a﹣b）    B. （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

C. （a+b）2=a2+2ab+b2          D. a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）

【方法总结】

这类题需要注意一点：不管用什么方法思路计算图形的面积，图形面积始终不变．

2.如图①，把一个长为2m，宽为2n（m＞n）的矩形两次对折后展开，再用剪刀沿图中折痕剪开，把它分成四块完全相同的小矩形，最后按如图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）

A. 2m    B. （m+n）2     C. （m﹣n）2    D. m2﹣n2

【方法总结】

此类题属于利用完全平方公式求图形的面积，这类题，先按照题意列出相应的关系式，然后再利用完全平方公式进行相应的计算即可.

【随堂练习】

1．（2018秋•宁城县期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式　 　．

（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．

（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：

若，，则　 　．

（4）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则　 　．

2．（2018秋•北碚区期末）如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．

（1）图2的阴影部分的正方形的边长是　 　．

（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．

【方法1】　 　；

【方法2】　 　；

（3）观察如图2，写出，，这三个代数式之间的等量关系．

（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：

若，，求的值．

3．（2019春•岱岳区期末）如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两个正方形的边长满足，，你能求出阴影部分的面积吗？

4．（2019春•瑶海区期中）（1）如图是用4个全等的长方形拼成的一个“回形”正方形，图中阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式，这个等式为　 　．

（2）若，，求的值．

5．（2019春•秦淮区校级期中）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图．

①图2中的阴影部分的面积为　 　；

②观察图2请你写出、、之间的等量关系是　 　；

③根据（2）中的结论，若，，则　 　；

④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．

如图3，你发现的等式是　 　．

6．（2019春•平和县期中）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，图②是边长为的正方形．

（1）请用图①中四个小长方形和图②中的正方形拼成一个大正方形，画出示意图（要求连接处既没有重叠，也没有空隙）；

（2）请用两种不同的方法列代数式表示（1）中拼得的大正方形的面积．

方法　 　，方法2　 　．

（3）请直接写出，，这三个代数式之间的等量关系．

（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值．

7．（2019春•新沂市期末）如图①是一个长，宽的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．

（1）用两种方法表示图②中阴影部分的面积；

（2）观察图②，请你写出代数式、、之间的等量关系式；

（3）根据（2）中的结论，若，．求的值．

8．（2019春•寿县期末）请认真观察图形，解答下列问题：

（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；

（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；

（3）如果图中的，满足，，求：①的值；②的值．

   综合运用

1.若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于______

2.已知（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，则（2008﹣a）•（2007﹣a）=   ．

3.如图，边长为（a+2）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是________

4.利用完全平方公式计算：

（1）982   （2）10032．

5.运用完全平方公式计算

（1）（a+b+c）2；   （2）（a+2b﹣1）2；

6.已知，，求x2+的值．