初中数学人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式14.2.2 完全平方公式课后复习题

第10讲  乘法公式一完全平方公式

 知识点1 完全平方公式

；，

即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍.

【典例】

1.x2﹣4x+m2是一个完全平方式，则m的值是（　　）

A. 2       B . ﹣2    C. 2和﹣2      D. 4

【方法总结】

满足的式子是完全平方式，这个三项式中，有两个是数（或式子）的平方，另外一个是这两个数（或式子）的2倍（或2倍的相反数）．

知识点2  利用完全平方公式进行数的运算

利用完全平方公式进行数的运算是完全平方公式的一种实际应用，主要考察对公式；的掌握情况.

【典例】

1.利用完全平方公式计算1012+992得（　　）

A. 2002    B. 2×1002  C. 2×1002十1     D. 2×1002+2

【方法总结】

此题主要考察完全平方公式的实际应用.

；，

即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍.

本题主要是利用完全平方公式进行一些复杂数的运算，它需要把复杂的数变成整百（或整十）和某个数（尽可能小一些）的和或差的形式，再利用公式进行运算.

备注：变形的目的是使计算量尽可能小，基本在口算范畴内的才算基本符合.

知识点3  利用完全平方公式进行整式的运算

利用完全平方公式进行整式的运算是完全平方公式的一种实际应用，

主要考察对公式；的掌握情况.

【典例】

1.已知a﹣=2，则a2+的值为（　　）

A. 3        B. 4       C. 5        D. 6

【方法总结】

此题主要考察完全平方公式的运用.

当题干中出现“a+”（或者a - ），问题中出现“a2+”时，一般将a+完全平方，这样就可以得到（a﹣）2= a2+ - 2、（a+）2= a2+ + 2，从而得到a2+的值. 另外，如果题干中出现诸如“a2+a+1=0”的话，对式子“a2+a+1=0”左右两边同除a（由式子易得a≠0），可得到a+1+=0，即a+=-1，从而进行下面的计算.

2.（3x+4y﹣6）2展开式的常数项是多少？

【方法总结】

完全平方公式一般是对两个数（或式子）的和（或差）进行平方，但是有时也可以对三项式（或者多项式）进行平方运算，例如(a+b+c) 2，可以根据实际情况对a，b，c进行简单的分组，例如a和b一组，c一组，则式子可变形为[（a+b）+c] 2,然后再利用完全平方公式，可得[（a+b）+c] 2=（a+b）2+c2+2（a+b）c，最后根据具体题意进行其他的计算.

【随堂练习】

1．（2019春•龙岗区期末）已知，，则的值是　　

A．49 B．37 C．45 D．33

2．（2019春•桂林期末）已知，，则代数式的值为　　

A．36 B．26 C．20 D．16

3．（2019春•雅安期末）已知，，则　　

A．0 B． C．4 D．8

4．（2019春•乳山市期末）若为正整数，则　　

A．一定能被6整除 B．一定能被8整除 

C．一定能被10整除 D．一定能被12整除

5．（2019春•滨湖区期中）已知：，，则的值　　

A．10 B．3 C．16 D．4

6．（2019春•金寨县期末）若，，则的值为　　

A．3 B．21 C．23 D．25

7．（2019春•潜山市期末）已知，，则的值为　　

A．1 B．13 C．23 D．49

二．填空题（共2小题）

8．（2019春•山亭区期末）已知，，，则　　；　　．

9．（2019春•定边县期末）已知，，则的值为　　．

知识点4  完全平方公式的应用

【典例】

1.设一个正方形的边长为a cm，若边长增加3cm，则新正方形的面积增加了（　　）

A. 9 cm2       B. 6a cm2     C. （6a+9）cm2  D. 无法确定

【方法总结】

此题主要考察完全平方公式的实际用，利用完全平方公式来解决一些实际问题.

增加的面积就是用变化后的正方形面积减去变化前正方形的面积，变化后面积是（a+3）2，变化前的面积是a2，两者相减，利用完全平方公式即可计算出结果. 对于面积类问题，我们首先得按照题意列出式子，然后再利用完全平方公式进行相应的计算即可.

2.若2a2+4ab+2b2 =18，则（a+b）2﹣4的值为（　　）

A. 15     B. 5        C. 12         D. 10

【方法总结】

问题当中出现了完全平方，可以先利用完全平方公式展开，然后再根据题干中的条件，进行相应的变形.

3.如图的图形面积由以下哪个公式表示（　　）

A. a2﹣b2=a（a﹣b）+b（a﹣b）    B. （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

C. （a+b）2=a2+2ab+b2          D. a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）

【方法总结】

这类题需要注意一点：不管用什么方法思路计算图形的面积，图形面积始终不变．

2.如图①，把一个长为2m，宽为2n（m＞n）的矩形两次对折后展开，再用剪刀沿图中折痕剪开，把它分成四块完全相同的小矩形，最后按如图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）

A. 2m    B. （m+n）2     C. （m﹣n）2    D. m2﹣n2

【方法总结】

此类题属于利用完全平方公式求图形的面积，这类题，先按照题意列出相应的关系式，然后再利用完全平方公式进行相应的计算即可.

【随堂练习】

1．（2019春•宜兴市期中）如图，两个正方形边长分别为、，如果，，则阴影部分的面积为　　．

2．（2019春•沂源县期末）有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为，的矩形纸片，5张边长为的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为　 　．

3．（2018秋•潮安区期末）用4块完全相同的长方形拼成正方形（如图），用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可得到1个关于，的等式为　 　．

二．解答题（共4小题）

4．（2019春•槐荫区期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形．

（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）；

方法1　　；方法2　　．

（2）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系；

（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：，请你将该示意图画在答题卡上；

（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：，，求的值；

②已知，求的值．

5．（2019•李沧区二模）问题再现：

数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义推证完全平方

公式．

将一个边长为的正方形的边长增加，形成两个矩形和两个正方形，如图1，这个图形的面积可以表示成：

或

这就验证了两数和的完全平方公式．

问题提出：

如何利用图形几何意义的方法推证：

如图2，表示1个的正方形，即：，表示1个的正方形，与恰好可以拼成1个的正方形，

因此：、、就可以表示2个的正方形，即：，而、、、恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：

尝试解决：

请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证：　　（要求自己构造图形并写出推证过程）

类比归纳：

请用上面的表示几何图形面积的方法探究：　　（要求直接写出结论，不必写出解题过程）

实际应用：

图3是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为了正确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是1，2，3和4的正方体的个数，再求总和．

例如：棱长是1的正方体有：个，棱长是2的正方体有：个，棱长是3的正方体有：个，

棱长是4的正方体有：个，然后利用（3）类比归纳的结论，可得：　　　　

图4是由棱长为1的小正方体成的大正方体，图中大小正方体一共有　　个．

逆向应用：

如果由棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，通过上面的方式数出的大小正方体一共有44100个，那么棱长为1的小正方体一共有　　个．

6．（2019春•郫都区期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：

（1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式；

（2）若，，用上面得到的数学等式乘的值；

（3）小明同学用图3中的张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长为、的长方形拼出一个面积为的长方形，求的值．

7．（2019春•鼓楼区期中）借助图形直观，感受数与形之间的关系，我们常常可以发现一些重要结论．

初步应用

（1）①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法，则　　（用图中字母表示）

②如图2，借助①，写出一个我们学过的公式：　　（用图中字母表示）

深入探究

（2）仿照图2，构造图形并计算

拓展延伸

借助以上探究经验，解决下列问题：

（3）①代数式展开、合并同类项后，得到的多项式的项数一共有　　项

②若正数、、和正数、、，满足，请通过构造图形比较与的大小（画出图形，并说明理由）

③已知、、满足，，，求的值（用含、、的式子表示）

   综合运用

1.若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于______

2.已知（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，则（2008﹣a）•（2007﹣a）=   ．

3.如图，边长为（a+2）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是________

4.利用完全平方公式计算：

（1）982   （2）10032．

5.运用完全平方公式计算

（1）（a+b+c）2；   （2）（a+2b﹣1）2；

6.已知，，求x2+的值．