初中数学14.2.2 完全平方公式精品随堂练习题

专训14.2.2 完全平方公式应用+与面积有关问题

一、单选题

1．下列运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

2．计算（a﹣3）2的结果是（　　）

A．a2﹣6a+9 B．a2+6a+9 C．a2﹣6a+3 D．a2﹣6a+6

3．下列计算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

4．若，下列等式：①  ②  ③  ④  ⑤，其中错误的有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

5．与下列哪个代数式的和是完全平方式（    ）

A． B． C． D．

6．已知多项式x2﹣2kx+16是完全平方式则k的值为（　　）

A．4 B．﹣4 C．±4 D．±8

7．x2+mx+16是一个完全平方式，则m的值为（　　）

A．4 B．8 C．4或﹣4 D．8或﹣8

二、多选题

8．定义运算：下面给出了关于这种运算的几种结论，其中正确的结论是（    ）

A． B．

C．若，则 D．若，则或

三、填空题

9．已知： ， ，则 的值是_____________

10．若，，则________．

11．边长分别为a和b的两个正方形按如图的样式摆放，则图中的阴影部分的面积为 ___．

【答案】

【分析】

结合图形，发现：阴影部分的面积=大正方形的面积的+小正方形的面积-两个直角三角形的面积．

【详解】

解：图中的阴影部分的面积为＝，

故答案为：．

【点睛】

此题考查了整式的混合运算，关键是列出求阴影部分面积的式子．

12．代数与几何的联手！

（1） (a+b)2与(a－b)2有怎样的联系，能否用一个等式来表示两者之间的关系?并尝试用图形来验证你的结论

（2） 若 x 满足（40﹣x）（x﹣30）＝﹣20，则（40﹣x）2 +（x﹣30）2 的值为_____．

（3） 若 x 满足（x﹣3）（x﹣1）＝，则（x﹣3）2 +（x﹣1）2 的值为 _____．   

（4） 如图，正方形 ABCD 的边长为 x，AE＝14，CG＝30，长方形 EFGD 的面积是 200，四边形 NGDH 和 MEDQ 都是正方形，四边形 PQDH 是长方形，求图中阴影部分的面积     ．（结果必须是一个具体的数值）

四、解答题

13．计算

（1）    （2）

14．先化简，再求值：

[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2．

15．已知，（为任意实数），试探索、的大小关系并说明理由．

16．若三边，，满足，试判断的形状．

17．阅读理解：

参考上述过程解答：

（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，则x2+y2＝　 　，（x+y）2＝　 　；

（2）若m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12，求（m﹣p）2+n2的值．

18．（1）填空：________________；

（2）若，求的值；

（3）若，求的值．

19．若，，求和的值．

20．若满足，求的值．阅读下面求解的方法：

解：设，，则，

∵，

∴ ，

∴．

请仿照上面的方法求解下面的问题：

（1）若满足，求的值；

（2）如图，正方形中，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，若，则①            ， （用含的代数式表示）；②直接写出图中阴影部分的面积．

21．如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）观察图2，请你直接写出下列三个代数式（a＋b）2，（a－b）2，ab之间的等量关系为        ；

（2）运用你所得到的公式解答下列问题：

①若m、n为实数，且m＋n＝－2，mn＝－3，求m－n的值．

②如图3，S1、S2分别表示边长为a，b的正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上．若S1＋S2＝20，AB＝a＋b＝6，求图中阴影部分的面积．

22．如图1是一个长为4b、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．

（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是        ．

（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，xy＝，求x﹣y的值．

（3）变式应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2021）2＝20，求（2019﹣m）（m﹣2021）的值．

23．数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．

（1）观察图②，请你写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系是　      　；

（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题；

①已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值；

②已知（x﹣2020）2+（x﹣2018）2＝52，求x﹣2019的值．

24．学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图．

（1）利用多项式与多项式相乘的法则，计算：              ；

（2）选取张型卡片，张型卡片，则应取              张型卡片才能用他们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是              （用含，的代数式表示）；

（3）选取张型卡片在纸上按图的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种型卡片，由此可检验的等量关系为              ；

（4）选取张型卡片，张型卡片按图的方式不重复的叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且． 图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则与有什么关系？请说明理由．

25．如图1，是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．

（1）自主探究：如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是          ；

（2）知识运用：若x﹣y＝5，xy＝6，则（x+y）2＝         ；

（3）知识迁移：设A＝，B＝x+2y﹣3，化简（A﹣B）2﹣（A+B）2的结果；

（4）知识延伸：若（2019﹣m）2+（m﹣2021）2＝9，代数式（2019﹣m）（m﹣2021）＝          ．

26．认真观察图形，解答下列问题：

（1）根据图①中的条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．

方法1：____________________；方法2：____________________．

（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：____________________；

（3）利用（2）中结论解决下面的问题：如图②，两个正方形边长分别为m，n，如果m＋n＝mn＝4，求阴影部分的面积．

27．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子：

①x2+4x+2＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2，

∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2．因此，代数式x2+4x+2有最小值﹣2；

②﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4，

∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4．因此，代数式﹣x2+2x+3有最大值4；阅读上述材料并完成下列问题：

（1）代数式x2﹣4x+1的最小值为   ；

（2）求代数式﹣a2﹣b2﹣6a+4b﹣10的最大值；

（3）如图，在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，设长方形垂直于围墙的一边长度为x米，则花圃的最大面积是多少？

28．先化简再求值：[a3+（2a﹣b）（2a+b）﹣4（a+b）2+5b2]÷(a)，其中a＝2，b＝1．

29．先化简，再求值：，其中．

30．问题再现：

数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．

例如：利用图形的几何意义推证完全平方公式．

将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个长方形和两个正方形，如图1，这个图形的面积可以表示成：或

∴

这就验证了两数和的完全平方公式，

问题提出：

如何利用图形几何意义的方法推证：？

如图2，A表示1个的正方形，即：，B表示1个的正方形，C与D恰好可以拼成1个的正方形，因此：B，C，D就可以表示2个的正方形，即：，而A，B，C，D恰好可以拼成一个的大正方形，

由此可得：．

           图2

尝试解决：

请你类比上述推导过程，探究：_____________；（直接写出结论，不必写出解题过程）

类比归纳：

请用上面的表示几何图形面积的方法探究：_____________．（直接写出结论，不必写出解题过程）

拓展延伸：

（1）图3是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大、小正方体一共有多少个？为了正确数出大、小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是1，2，3和4的正方体的个数，再求总和．由图可知，棱长是1的正方体有：个，棱长是2的正方体有：个，棱长是3的正方体有：个，棱长是4的正方体有：个，所以图3中大、小正方体一共有_________个．

（2）图4是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，则图中大、小正方体一共有__________个．

逆向应用：

如果由棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，通过上面的方式数出的大、小正方体一共有225个，那么棱长为1的小正方体一共有_________个．