人教版八年级上册12.1 全等三角形同步训练题

这是一份人教版八年级上册12.1 全等三角形同步训练题，文件包含人教版初二数学上册秋季班讲义第3讲全等辅助线一-尖子班教师版docx、人教版初二数学上册秋季班讲义第3讲全等辅助线一-尖子班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
第3讲 全等辅助线（一）知识点1 截长补短截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段.如图，在线段上截取. 补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等.如图，延长到点D，使得.【典例】如图，在中，，的平分线交于点．求证：．  【解析】方法一：（截长）在上截取AE=AB，连接．在和中，，∴（SAS）∴，又∵∴，∴∵AE+EC=AC∴． 方法二：（补短）延长到点使得，连接．在和中，，，∴(SAS)，∴又∵∴∴，∵AB+BE=AE∴．  方法三：（补短）延长到点使得，连接则有，又∵， ∴∴∴，∴ ∴AB+BD=AC              【方法总结】若题目条件或求证结论中含有“”，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”.截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系.【随堂练习】1．（2017秋•邵阳期末）如图①，在△ABC中，∠ACB=2∠B，AD为∠BAC的角平分线，求证：AB=AC+CD小明同学经过思考，得到如下解题思路：在AB上截取AE=AC，连接DE，得到△ADE≌△ADC，从而易证AB=AC+CD（1）请你根据以上解思路写出证明过程；（2）如图②，若AD为△ABC的外角∠CAE平分线，交BC的延长线于点D，∠D=25°，其他条件不变，求∠B的度数．【解答】证明：（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∠B+∠BDE=∠AED，∴∠B=∠BDE，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；（2）在射线BA上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠EAC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠ACD=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴设∠B=x，则∠ACB=2x，∴∠EAC=3x，∴∠EAD=∠CAD=1.5x，∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，∴∠ADC=0.5x=25°，解得：x=50°∴∠EDC=x，∴∠B=∠EDC=50°，∴BE=ED=CD，∴AB+AE=BE=AC+AB=CD．　2．（2017秋•延庆县期末）如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系呢？（1）通过观察、实验提出猜想：∠ACB与∠ABC的数量关系，用等式表示为：　______．（2）小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：如图2，延长AC到F，使CF=CD，连接DF．通过三角形全等、三角形的性质等知识进行推理，就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．想法2：在AB上取一点E，使AE=AC，连接ED，通过三角形全等、三角形的性质等知识进行推理，就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．请你参考上面的想法，帮助小明证明猜想中∠ACB与∠ABC的数量关系（一种方法即可）．【解答】解：（1）∠ACB=2∠ABC，故答案为：∠ACB=2∠ABC，（2）想法1∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC=∠CAB，∵AF=AC+CF，且CD=CF，∴AF=AC+CD，又∵AB=AC+CD，∴AB=AF，又∵AD=AD，∴△ABD≌△AFD，∴∠B=∠F，∵CD=CF，∴∠F=∠CDF，又∵∠ACB=∠F+∠CDF，∴∠ACB=2∠F，∴∠ACB=2∠B，想法2∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC=∠CAB，又∵AC=AE，AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴ED=CD，∠C=∠AED，又∵AB=AC+CD，AB=AE+BE，AE=AC，∴CD=BE，∴DE=BE，∴∠B=∠EDB，又∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠AED=2∠B，又∵∠C=∠AED，∴∠C=2∠B． 知识点2 倍长中线倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶角相等的全等三角形；其本质是转移边和角．例如：其中，延长使得，则．【典例】如图，已知中，，是边上的中线，延长到，使．给出下列结论：①AD=2AC；②CD=2CE；③∠ACE=∠BCD；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是____．【答案】①、②、④【解析】①正确．∵，，∴AD=2AC．②、④正确．延长到，使，连接．∵是边上的中线，∴．在和中∴（SAS）∴，∴在和中∴(SAS)∴，∠FCB=∠DCB即CD=2CE，CB平分∠DCE．③错误．∵∠FCB=∠DCB，而CE是AB边上中线而不是∠ACB的角平分线故∠ACE和∠BCD不一定相等．【方法总结】本题综合性强，主要考察全等三角形的倍长中线知识点，在做全等三角形相关题目时，一旦给出“中线”、“中点”等条件时，我们应考虑到是否可以使用倍长中线法.【随堂练习】1．（2015秋•长宁区期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC上的一点，BE交AD于点F，已知AE=EF．求证：AC=BF．【解答】证明：延长AD到G，使得DG=AD．在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB，∴AC=BG 且∠CAD=∠G∵AE=EF，∴∠EFA=∠EAF，∴∠G=∠EFA，∵∠EFA=∠BFG，∴∠G=∠BFG，∴BG=BF，∵AC=BG，∴BF=AC．　综合运用1.如图，中，，，平分交于点．求证：． 【解析】方法一：在上截取点使，连结．∵平分，∴．在与中∵，， ∴，∴∵， ∴∴．又∵∴，∴，∴∵，∴ 方法二：如图，延长到，使，连结．∵，且，∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．又∵∴．∴．∴． 2.已知：在中，，，求证：．【解析】方法一：在上取一点，使DE=BD，如图1，在和中，，，．∴．∴，．又∵∴，∴∴．           方法二：延长到点，使，如图2，∴．∵，∴．在和中，∠ADE=∠ADC，，．∴．∴．∵∴． 3.正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45°，求证：EF=DE+BF．【解析】延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG由四边形ABCD是正方形得：ADG=ABF=90°，AD=AB又∵DG=BF∴△ADG ≌△ABF（SAS）∴GAD=FAB，∴AG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90°=DAF+FAB=DAF+GAD=GAF∴GAE=GAFEAF=90°45°=45°∴GAE=FAE=45°又∵AG=AF，AE=AE∴△EAG ≌△EAF（SAS）∴EF=GE=GD+DE=BF+DE 4. 已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．      　　　　【解析】，理由是：在上截取，连结，利用证得≌，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，利用证得≌，∴，∴． 5. 已知中，平分，且，求证：．【解析】解：延长到，使，连接．则，∴，，∵平分，∴，∴，∴，∴． 6. 如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：．       【解析】解：延长到，使，连接∵，，∴，∴，又∵，∴∴，∴，∴． 7.如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．求证：∥．【解析】解：延长到，使，连结，利用证明，∴，，又，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴∥．