北师大版数学八年级上册《实数和二次根式》全章复习与巩固（提高）知识讲解 (含答案)

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《实数和二次根式》全章复习与巩固（提高） 【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.5.理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.6.熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.7.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、平方根和立方根        类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论要点二、无理数与实数有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类实数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；         ③有特定结构的数，如0.1010010001…　 （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点一 一对应数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质
　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
　  （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
　　非负数具有以下性质：
　　（1）非负数有最小值零；
　　（2）有限个非负数之和仍是非负数；
　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较
　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数          大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.要点三、二次根式的相关概念和性质1. 二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质（1）；
（2）；
（3）.要点诠释：（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 （），如（）.（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）与的异同不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；=，=（）.相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.要点四、二次根式的运算1. 乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法积的算术平方根化简公式：二次根式的除法商的算术平方根化简公式：要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.（2）被开方数一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.【典型例题】类型一、有关方根的问题1、已知，求的值.【思路点拨】由被开方数是非负数，分母不为0得出的值，从而求出值，及的值.【答案与解析】解：由题意得  ，解得＝－3＝－2∴＝.【总结升华】根据使式子有意义的条件列出方程，解方程，从而得到的值.2、（2020春•南昌期末）已知实数x、y满足，求2x﹣的立方根．【答案与解析】解：由非负数的性质可知：2x﹣16=0，x﹣2y+4=0，解得：x=8，y=6．∴2x﹣y=2×8﹣×6=8．∴2x﹣的立方根是2．【总结升华】本题主要考查的是非负数的性质、立方根的定义，求得x、y的值是解题的关键．类型二、与实数有关的问题3、已知是的整数部分，是它的小数部分，求的值．【思路点拨】一个数是由整数部分＋小数部分构成的.通过估算的整数部分是3，那么它的小数部分就是，再代入式子求值.【答案与解析】解：∵是的整数部分，是它的小数部分，∴∴.【总结升华】可用夹挤法来确定，即看介于哪两个相邻的完全平方数之间，然后开平方.这个数减去它的整数部分后就是它的小数部分.举一反三：【变式】 已知5＋的小数部分为，5－的小数部分为，则＋的值是      ；－的值是_______.【答案】；提示：由题意可知，.4、阅读理解，回答问题.在解决数学问题的过程中，有时会遇到比较两数大小的问题，解决这类问题的关键是根据命题的题设和结论特征，采用相应办法，其中巧用“作差法”是解决此类问题的一种行之有效的方法：若－＞0，则＞；若－＝0，则＝；若－＜0，则＜.例如：在比较与的大小时，小东同学的作法是：    ∵    ∴     请你参考小东同学的作法，比较与的大小.【思路点拨】仿照例题，做差后经过计算判断差与0的关系，从而比较大小.【答案与解析】解：∵∴＜【总结升华】实数比较大小常用的有作差法和作商法，根据具体情况加以选择.举一反三：【变式】实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是：               ；【答案】；类型三、实数综合应用5、阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值.小明的方法：∵，设（）.∴.∴.∴.解得 .∴.问题：（1）请你依照小明的方法，估算的近似值；（2）请结合上述具体实例，概括出估算的公式：已知非负整数、、，若，且，则_________________(用含、的代数式表示)；（3）请用（2）中的结论估算的近似值. 【答案与解析】解：（1）∵，设（）.∴.∴.∴.解得 .∴.（2）∵，设（）.∴.∴.∴.对比，∴（3）∴，∴6.083.【总结升华】此题比较新颖，关键是通过阅读材料快速掌握估值的方法.（2）问中要对比式子，找准和，表示出.类型四、二次根式概念及运算6、（2020春•石林县期末）计算：5+﹣×+÷．【思路点拨】先二次根式化为最简二次根和根据二次根式的乘除法得到原式=+﹣+3÷=2﹣1+3，然后合并即可． 【答案与解析】解：原式=+﹣+3÷=2﹣1+3=2+2．【总结升华】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算．举一反三：【变式】. 【答案】.7、已知为△ABC的三边长，化简
　　　　　 【答案与解析】解：∵为△ABC的三边长，　　　 ∴原式
　　　
【总结升华】利用三角形任意两边之和大于第三边和进行化简.
8、 若，化简.【答案与解析】【总结升华】把分子分母分别分解因式，然后约分，可以简化化简步骤.举一反三：
【变式】当.【答案】解：，将代入，原式=3.