初中数学北师大版八年级上册第二章 实数综合与测试教学设计及反思

第2章 实数小结与复习

一、教学目标

(一)知识与技能：1.使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2.熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.

(二)过程与方法：通过知识梳理培养学生分析问题、解决问题的能力.

(三)情感态度与价值观：学生在充分经历自学、探究、交流、当堂练习等活动中，获得成功的体验，调动主动学习的积极性，感受数学学习的乐趣.

二、教学重点、难点

重点：含二次根式的式子的混合运算.

难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子.

三、教学过程

1.二次根式的概念

一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
对于二次根式的理解：①带有二次根号；②被开方数是非负数，即a≥0.
[易错点]二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义.

2.二次根式的性质

(a≥0)，

3.最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

4.二次根式的乘除法则：

•=，=• (a≥0，b≥0)；，(a≥0，b＞0)

5.二次根式的加减：类似合并同类项
可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式(同类二次根式)进行合并.

6.二次根式的混合运算
与有理数的混合运算类似：先算乘(开)方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.

考点一  二次根式的相关概念及有意义的条件

例1 求下列二次根式中字母a的取值范围：

(1)     (2)     (3)      (4)

解：(1)由题意得-3a+2≥0，∴ a≤
(2)∵ (a+2)2≥0，∴ a为全体实数
(3)由题意得3+2a＞0，∴ a＞-
(4)由题意得，∴ a≥0且a≠1

方法总结

求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数大于或等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零.

针对训练

1.下列各式中：；；；；(x≥1)； ；，一定是二次根式的个数有(    )
  A.3个    B.4个    C.5个    D.6个

2.如果是二次根式，那么x应满足的条件是(    )
  A.x≠3    B.x＜3    C.x＞3    D.x≥3

3.下列二次根式中的最简二次根式是(    )
  A..     B.      C.      D.

4.求下列二次根式中字母的取值范围：

(1)         (2)

解：(1)由题意得，解得，∴ x=4

(2)由题意得，解得，∴ -5≤x＜3

考点二  二次根式的性质

例2 若，求的值.

解：∵
∴ x-1=0，3x+y-1=0，解得x=1，y=-2
则 ==3

方法总结

    初中阶段主要涉及三种非负数：≥0，|a|≥0，a2≥0.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.

例3 实数a，b在数轴上的位置如图所示，请化简：

解：由数轴可以确定a＜0，b＞0，且|b|＞|a|
∴ |a|=-a，=-a，=b，=a+b
∴ 原式=-a-(-a)+b-(a+b)=-a+a+b-a-b=-a

针对训练

5.若实数a，b满足，则＝____.

6.若1＜a＜3，化简的结果是____.

7.a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：

.

解：由数轴可以确定a＜b＜0＜c
∴ a+b＜0，c-a+b＞0，b-c＜0
∴ 原式=-a+(a+b)+(c-a+b)-(b-c)-b=-a+a+b+c-a+b-b+c-b=-a+2c

考点三  二次根式的运算及应用

例4 计算：

(1) (2) (3)  (4)

解：(1)原式=

(2)原式=

(3)原式=

(4)原式=

例5 把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒.求这个纸盒的侧面积(接缝忽略不计).

解：S=[(-)×]×4

=[(3-)×]×4

=2××4

     =16

答：这个纸盒的侧面积为16.

针对训练

8.下列运算正确的是(    )
  A.   B.    C.   D.

9.若等腰三角形底边长为，底边的高为，则等腰三角形的面积为______.

10.计算：

(1)        (2)

解：(1)原式=-4××1=2-=

(2)原式=-3-2+-3=-6

11.交警为了估计肇事汽车在出事前的速度，总结出经验公式，其中v是车速(单位：千米/小时)，d是汽车刹车后车轮滑动的距离(单位：米)，f是摩擦系数. 在某次交通事故调查中，测得d＝20米，f＝1.2，请你帮交警计算一下肇事汽车在出事前的速度.

解：根据题意得(千米/小时)
答：肇事汽车在出事前的速度是千米/小时.

考点四  二次根式的化简求值

例6 先化简，再求值：
  ，其中，.

解：

当，时，原式=

针对训练

12.先化简，再求值：
   (a－b)2－b(b－2a)＋b2，其中，.

解：原式=a2-2ab+b2-b2+2ab+b2=a2+b2

当，时，原式=6+5=11

13.有这样一道计算题：

“求(x＞2)的值，其中x＝1001”. 小华把“x＝1001”错抄成“x＝1010”，但是她的计算结果仍然是正确的，这是为什么？

解：原式=

∴ 无论x取何值，原式的值都为-2.

考点五  本章解题思想方法

分数讨论思想

例7 已知a是实数，求的值.

解：=|a+2|-|a-1|
分三种情况讨论：
当a≤-2时，原式=-(a+2)+(a-1)=-a-2+a-1=-3
当-2＜a≤1时，原式=(a+2)+(a-1)=2a+1
当a＞1时，原式=(a+2)-(a-1)=3

整体思想

例8 已知，，求x2＋y2－xy－2x＋2y的值.

解：∵ ，
∴ x-y=(1-)-(1+)=-2，xy=(1-)(1+)=-1
∴ x2+y2-xy-2x+2y=(x-y)2-2(x-y)+xy=(-2)2-2×(-2)+(-1)=7+4