数学人教A版 (2019)3.4 函数的应用（一）教案

函数的应用（一）

【教学过程】

一、新知初探

常见的几类函数模型

二、初试身手

1．一个矩形的周长是40，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为（    ）

A．y＝20－x，0<x<10

B．y＝20－2x，0<x<20

C．y＝40－x，0<x<10

D．y＝40－2x，0<x<20

答案：A

2．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（    ）

A．一次函数模型

B．二次函数模型

C．分段函数模型

D．无法确定

答案：C

由s与t的图象，可知t分4段，则函数模型为分段函数模型。

3．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．

答案：60

设涨价x元，销售的利润为y元，

则y＝（50＋x－45）（50－2x）＝－2x2＋40x＋250

＝－2（x－10）2＋450，

所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．

三、合作探究

一次函数模型的应用

类型1

例1：某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30000．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（    ）

A．2000套

B．3000套

C．4000套

D．5000套

答案：D

因利润z＝12x－（6x＋30000），所以z＝6x－30000，由z≥0解得x≥5000，故至少日生产文具盒5000套．

规律方法

1．一次函数模型的实际应用

一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．

2．一次函数的最值求解

一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0（或≤0），解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．

跟踪训练

1．如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系图象．根据图象填空：

①通话2分钟，需要付电话费________元；

②通话5分钟，需要付电话费________元；

③如果t≥3，则电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系式为________．

答案：①3.6；②6；③y＝1.2t（t≥3）

解析：①由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．

②由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．

③易知当t≥3时，图象过点（3，3.6），（5，6），待定系数求得y＝1.2t（t≥3）．

二次函数模型的应用

类型2

例2：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．

（1）求平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式；

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式；

（3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

思路点拨：本题中平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）是一个一次函数关系，虽然x∈[50，55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．

解：（1）根据题意，得y＝90－3（x－50），

化简，得y＝－3x＋240（50≤x≤55，x∈N）．

（2）因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．

所以w＝（x－40）（－3x＋240）＝－3x2＋360x－9 600（50≤x≤55，x∈N）．

（3）因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3（x－60）2＋1 200，

所以当x<60时，w随x的增大而增大．

又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125．

所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元．

规律方法

二次函数模型的解析式为g（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）．在函数建模中，它占有重要的地位．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答．

跟踪训练

2．A，B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10km，已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25．若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．

（1）把A，B两城月供电总费用y（万元）表示成x（km）的函数，并求定义域；

（2）核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小．

解：（1）由题意设甲城的月供电费用为y1，则y1＝λ×20x2．

设乙城的月供电费用为y2，则y2＝λ×10×（100－x）2，

∴甲、乙两城月供电总费用y＝λ×20x2＋λ×10×（100－x）2．

∵λ＝0.25，

∴y＝5x2＋（100－x）2（10≤x≤90）．

（2）由y＝5x2＋（100－x）2＝x2－500x＋25 000

＝2＋，

则当x＝时，y最小．

故当核电站建在距A城km时，才能使供电总费用最小．

分段函数模型的应用

类型3

例3：某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t（单位：百件）时，销售所得的收入约为5t－t2（万元）．

（1）若该公司的年产量为x（单位：百件），试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；

（2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？

解：（1）当0<x≤5时，产品全部售出，当x>5时，产品只能售出500件．

所以f（x）＝

即f（x）＝

（2）当0<x≤5时，f（x）＝－x2＋4.75x－0.5，所以当x＝4.75（百件）时，f（x）有最大值，

f（x）max＝10.781 25（万元）．

当x>5时，f（x）<12－0.25×5＝10.75（万元）．

故当年产量为475件时，当年所得利润最大．

规律方法

1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．

2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．

3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．

跟踪训练

3．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地．

（1）把汽车离开A地的距离x（千米）表示为时间t（小时）的函数；

（2）求汽车行驶5小时与A地的距离．

解：（1）汽车以60千米/时的速度从A地到B地需2.5小时，这时x＝60t；当2.5<t≤3.5时，x＝150；汽车以50千米/时的速度返回A地需3小时，这时x＝150－50（t－3.5）．所求函数的解析式为

x＝

（2）当t＝5时，x＝－50×5＋325＝75，

即汽车行驶5小时离A地75千米．

四、课堂小结

1．解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式．求解析式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性．

2．数学建模的过程图示如下：

五、当堂达标

1．思考辨析

甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，判断下列说法的对错．

（1）甲比乙先出发．（    ）

（2）乙比甲跑的路程多．（    ）

（3）甲、乙两人的速度相同．（    ）

（4）甲先到达终点．（    ）

答案：（1）×（2）×（3）×（4）√

2．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（    ）

A  B    C      D

答案：B

解析：图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．

3．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，则汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，该函数的解析式是________．

答案：y＝

4．某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：

（1）求y与x的函数解析式；

（2）要使该游乐场每天的盈利额超过1000元，每天至少卖出多少张门票？

解：（1）由图象知，可设y＝kx＋b（k≠0），x∈[0，200]时，过点（0，－1000）和（200，1000），解得k＝10，b＝－1000，从而y＝10x－1 000；x∈（200，300]时，过点（200，500）和（300，2000），解得k＝15，b＝－2500，

从而y＝15x－2500，

所以y＝

（2）每天的盈利额超过1000元，则x∈（200，300]，由15x－2500>1000得，x>，故每天至少需要卖出234张门票．