第3讲《二次函数》第2课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习

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第3讲“二次函数”.（第二课时）
［教学目标］
知识技能
1.理解二次函数及其相关概念并能够进行判断；
2.理解二次函数的图象和性质；
3.掌握运用配方法将二次函数的一般式化成顶点式，知道图象的对称轴和顶点坐标，能够熟练的选择最合适的方法：一般式、顶点式、交点式等确定二次函数的解析式.
数学思考
根据具体实例，通过独立思考，理解二次函数的图象和性质，体会运用二次函数的顶点式求最值问题的方法和思想.
问题解决
经历二次函数的操作、画图、观察探究的过程，培养学生自主学习的能力.
情感态度
1.通过解决现实情境中问题，增强数学素养，用数学的眼光看世界；
2.通过小组活动，培养学生的合作意识和能力.
[教学重点、难点]
重点：理解和掌握二次函数图象和性质.
难点：用二次函数的图象和性质解决相关的几何与代数综合问题.
[教学准备]
动画多媒体语言课件
第二课时
教学路径
师：上节课我们主要探究学习了二次函数的概念及相关性质以及交点坐标的求法，这节课我们继续来学习二次函数问题中比较典型的也是比较难的类型——动点问题.
“佳”题探究之五 二次函数的动点问题
例6 如图所示，已知抛物线y=-x2+bx+c与直线AB相交于A（-3，0），B（0，3）两点．（分两题出示（1）（2）一起出）
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设C是抛物线对称轴上的一动点，求使∠CBA=90°的点C的坐标；
（3）探究在抛物线上是否存在点P，使得△APB的面积等于3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


解析：（1）待定系数法求抛物线的解析式；
点C在对称轴上，过B作BC⊥AB交对称轴于点C.
（动画作出如右图蓝色实线）
（下一步）过点C作CE⊥y轴交于E,(动画在图中作出)如图.
证明△BEC等腰直角三角形，所以EC=BE,进而求得点C的纵坐标.
1.学生独立完成，然后师指定学生讲解.
2.师：非常好，但是遇到第（3）问时，应该注意什么？
生：条件不定时，需讨论，点P可能在直线AB的上方，点P也可能在直线AB的下方.
师：说得非常好，那么让我们来看看怎么求点P的坐标呢？分组讨论.
(提示可以用△APB面积为3，如果根据以AB为底可以直接求出AB边上的高)
3.学生分组讨论，然后找学生说说自己解题思路.
4.小结：动点是运动的，关键是把动点问题定值化来处理就使复杂问题变得简单.
答案：
解：（1）将A(-3，0)，B（0,3）的坐标分别代入y=-x2+bx+c得，
解得，所以抛物线的解析式为.
(下一步)
过点B作BC⊥AB交对称轴于点C，作CE⊥y轴交于E，如图.
因为，
所以抛物线的对称轴为x=-1，所以C的横坐标为-1.
因为OA=OB=3，所以△ABO为等腰直角三角形，
所以∠ABO=45°.
又因为BC⊥AB，所以∠CBE=45°，
又因为∠CEB=90°，所以∠BCE=45°，所以CE=BE=1，
所以点C的纵坐标为BE+OB=4，所以C(-1,4).
解析：
分两种情况来讨论:点P在直线AB的上方，点P在直线AB的下方.
（下一步）作PD⊥AB于D，PF∥y轴交AB于F，（动画作出图中蓝色的线）
证明△PDF为等腰直角三角形，求得PF=2.(下一步)
设P点坐标，然后根据PF=2列方程即可.
答案：
解：如图所示，连接PA，PB，作PD⊥AB于D，PF∥y轴交AB于F，
由A(-3，0),B(0，3) ，得OA=OB=3，所以AB=.
因为,所以PD=.
又因为PF∥y,所以∠PFD=∠ABO=45°， 所以△PDF为等腰直角三角形.
所以PF=2.设P(),直线AB的解析式为，则F（，）.
(下一步)
①当点P在直线AB的上方时，
PF=()-()=2，解得.
所以P1(-1，4)，P2 (-2,3) ；
②当点P在直线AB的下方时，
PF= ()-()=2，解得.
所以P3 (，)，P4 (，).
综上所述，P1(-1，4)，P2 (-2,3)，P3 (，)，P4 (，).
“佳”题探究之六 二次函数的应用
例7 大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品每天的销售量p件与销售的天数x的关系如下表：
x(天)
1
2
3
…
50
p(件)
118
116
114
…
20
销售单价q(元/件)与x满足：当时，；
当时，．
（1）请分析表格中销售量p与x的关系，求出销售量p与x的函数关系；
（2）求该超市销售该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式；
（3）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？
解析：（1）动画：在表格的第一行依次标上前后相差1，第二行依次标上前后相差2然后出示：销售量p与销售天数x的关系是一次函数,利用待定系数法求一次函数的解析式.
(下一步)
(2)根据“获得利润=每件的利润×销售量” 计算和的利润.
(下一步)
运用函数的性质求最值.
1.师：（1）中的问题确定p与x的函数关系，首先要仔细观察分析表中给出的数据规律，你判断出它会是什么函数关系呢？
生：一次函数关系，仔细观察上表可知，天数以相等的量递增，销售量p按相等的量递减，可知是一次函数的关系.
生独立完成（1），然后找学生说说自己的解析式.
2.师：如何确定（2）中y与x的函数关系呢？你是怎样思考的？它们的关系式相同吗？
生：当然不同，因为在不同的时间段，销售的单价不一样，所以函数关系式也不同。
师：很不错，不过在求解过程中需要注意什么？
生：注意各个量之间的关系
师：对，弄清了各个量之间的关系，才能找到等量关系
3.生独立完成，然后师指定学生说说自己的答案.
答案：
解：
根据表格知销售量p与销售天数x的关系是一次函数，所以
将（1,118），（2,116）分别代入得：
，解得，所以.
（下一步）
=
（下一步）
当时，,
因为a=-2＜0,y有最大值，即当x=20时，y=3200.
当时，
当x=25时，y有最大值，y=5400-2250=3150.
因为3200＞3150，所以这50天中，第20天时获得利润最大，为3200元.
小结：（1）分段函数需分段讨论解答；
求最值时一般会运用函数的性质来讨论较方便.
中考“佳”题
1.若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（ ）
解析：在“正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小”下面画线，然后出示箭头，出示：m＜0
（下一步）正比例函数y=mx的图象过第二、四象限，
二次函数y=mx2+m的图象开口向下，与y轴负半轴有交点.
2.二次函数的图象如图所示，对于下列结论：①a＜0；②b＜0；③c＞0；④b+2a=0；⑤a+b+c＜0．其中正确的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
学生独立完成，然后找学生说说自己的解题思路．
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象中如图所示，则下列关系式错误的是（ ）
A．a＞0 B．c＞0 C．b2－4ac＞0 D．a+b+c＞0
学生独立完成，然后找学生说说自己的解题思路．
4.如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（ ）

A．
B．
C．
D．
课件出示解析：动画出示：直线l从原点平移到BD对角线，并把三角形标上红色，然后出示：0≤t≤4，S＝；
（下一步）动画出示：直线l从BD位置平移到点C的位置，同时将直线走过的部分填充上颜色，然后出示：4≤t ≤8，S＝16－＝．
如图，已知抛物线y1=-x2+1，直线y2=-x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2. 若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M= y1=y2. 例如：当x=2时， y1=-3，y2=-1，y1