第6讲《圆》第2课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习

这是一份第6讲《圆》第2课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习，共14页。

第六讲“圆”.（第二课时）
［教学目标］
知识与技能
1.熟练掌握圆中的性质并准确计算弧长、扇形面积；
2.会解、证角与线段相关的几何问题；
3.会解与三角形、方程、函数等知识点结合、设计一类的与圆相关的中考试题.
数学思考
通过应用、计算、证明等学习，让学生深刻了解中考圆部分重难知识点考察内容，并能掌握与三角形、方程、函数等知识结合内容.
问题解决
1.培养学生的计算证明推理能力；
2.培养学生对知识综合运用能力.
情感态度
经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用课件中动画，设计具有挑战性的场景，激发学生求知、探索的欲望.
[教学重点、难点]
教学重点：圆心角，圆周角，直线、图形与圆的关系.
教学难点：方程、函数、三角形、四边形等与圆结合.
[教学准备]
动画多媒体语言课件.
教学过程 第二课时
教学路径
教学说明
中考佳题
6.如图所示，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C．连接AC、BC，作∠APC的平分线交AC于点D．下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①△CPD∽△DPA；②若∠A=30°，则PC=BC；③若∠CPA =30°，则PB=OB；④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值．
① ② ③ ④
解析：①∠PDA=∠PCD+∠CPD,即：∠PDA≠∠PCD，从而△CPD与△DPA不相似；图①标记∠PDA ∠PCD ∠CPD，在①上打×. 下一步
②连接OC，根据切线的性质可得∠PCB=∠A=30°，在Rt△ABC中∠ABC=60°得出OB=BC，∠BPC=30°，解直角三角形可得PC=OC=BC；
图②连接OC，标记题目中出现的角的度数，在②上打√ 下一步
③连接OC，根据切线的性质和三角形的外角的性质即可求得∠A=∠PCB=30°，∠ABC=60°，进而求得PB=BC=OB；
图③连接OC，标记题目中出现的角的度数，在③上打√ 下一步
④连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，
∠CDP=∠DPA+∠A=∠CPA+∠COP=×90°=45°.
图④连接OC，标记题目中出现的角，在④上打√.
答案：②③④
师：经过上节课的学习，了解了切线的性质、互余的应用，勾股定理、相似的计算手段，下面我们应用上节课所学，解决这样的一道题目，大家一起看第6题.
师：在求证三角形相似时，我们的方法是对应边成比例，或对应角相等，也就是我们学习过的相似三角形的三个判定定理，对于①来说显然我们只需验证对应的角度相不相等即可.在这里应用三角形外角等于不相邻的两个内角和就可以得出，对应的两个角不相等，从而①错误.
师：继续看看②、③、④，大家利用切线的性质可不可以先判断下②、③正不正确.（学生看2分钟）
生：正确
师：那请哪位同学站起来先说一下第②个的解决过程.
生：讲解第②个解题过程
师：好，谁来第③个呢?
生：讲解第③个解题过程
师：大家同意他们的解法吧？（同意或不同意），（教师总结）相信大家都发现了②③是相反的证明过程，利用切线的性质进行导角，利用特殊的Rt三角形确定三边之间的关系，好，接着看第④个.
师：对于这样的问题，我们该如何确定？
生：应用切线的性质，外角性质、互余的方法.
师：回答的非常好，基本上把应用的知识点都说到了.具体的解决方式我们看下解析.
师：这是我们上节课所学知识的简单应用，下面请一位同学读一下例4，我们继续学习圆中的相关知识.
佳题探究
分三页出示
例4.如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
解析：（1）连接OB， 求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可；
连接OB
答案：（1）AB=AC.理由如下：
连接OB，
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA=∠OAC=90°,
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°, 下一步
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB,
∵∠OPB=∠APC，
∴∠ACP=∠ABC,
∴AB=AC.
例4.如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（2）若PC=2，求⊙O的半径和线段PB的长；
解析：（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，证△DPB∽△CPA；
延长AP交⊙O于D，连接BD
答案：（2）延长AP交⊙O于D，连接BD、OB，
设圆半径为r，则由OA=5，OP=OB=r，得PA=5－r，
又∵PC=，
∴
颜色标记△ACP，△ABO，并颜色突出AB，AC 下一步
由（1）AB=AC得，解得：r=3，
∴AB=AC=4，
∵PD是直径，
∴∠PBD=90°=∠PAC，
∵∠DPB=∠CPA，下一步
∴△DPB∽△CPA，△DPB和△CPA涂色标记
∴，即，解得.
例4.如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．
解析：（3）根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，得到OE≤r，（如图1，OE=r，如图2，OE＜r，）求出r的范围，再根据相离得出r＜5，即可得出答案．
出示图1和图2.
答案：（3）作线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，
则OE=AC=AB
由（2）得AC=AB =，
又∵⊙O要与直线MN交点，
∴OE=≤r，
∴r≥，下一步
又∵⊙O与直线l相离，∴r＜5，
∴⊙O的半径r的取值范围为≤r＜5．
师：大家思考一分钟，请一位同学回答第1问.（请学生回答）
生：回答
师：很好，还是应用切线的性质及角度互余的方法求证其关系.请继续看第2问，如何求得该线段长呢？（教师可出示课件答案）首先我们在△ACP，
△ABO中，利用勾股定理建立方程求得圆半径的长.进而在寻求三角形相似建立等式求得PB的长，按着这样的思路下面大家快速的自行求解下.（教师可以巡视检查）
师：看了下大家做的情况，（如果有部分人不理解，做的不好，请做的好的学生解答或教师讲解），整体来说是不错了，解此问的难点在于利用勾股定理建立方程（给出答案），至于相似的应用还是相对简单.下面看下第3问（教师给学生1分钟的思考时间后可以请学生谈自己的想法，之后演示课件，在要求学生自己求解），谁来谈谈此问的求解方法.
生：作AC的垂直平分线，并且要求中垂线与圆有交点就可以了.
师：不错，有不同意见的吗？
生：还得要求直线l与圆相离
师：很好，刚才两位同学的回答综合起来就是这个问题的解决方法，那下面同学们快速的求解一下.
师：看来大家理解的还不错，下面大家看下例5.
分三页出示
例5.如图，直线y=x+b(b＞4)与x轴、y轴分别相交于点A、B，与反比例函数的图象相交于点C、D（点C在点D的左侧），⊙O是以CD长为半径的圆，CE∥x轴，DE∥y轴，CE、DE相交于点E.
（1）△CDE是 三角形；点C的坐标为 ，点D的坐标为 （用含有b的代数式表示）；
解析：∠BAO=45°，CE∥x轴，DE∥y轴，那么△CDE是等腰直角三角形；
下一步
联立方程组y=x+b与即可解得C、D坐标（注意C、D坐标的选取）；
答案：等腰直角；；
例5.如图，直线y=x+b(b＞4)与x轴、y轴分别相交于点A、B，与反比例函数的图象相交于点C、D（点C在点D的左侧），⊙O是以CD长为半径的圆，CE∥x轴，DE∥y轴，CE、DE相交于点E.
（2）b为何值时，点E在⊙O上？
解析：连接OE，应用（1）中C、D坐标，得到E的坐标，进而可得∠EOF=45°，
连接OE，标记∠EOF=45° 下一步
作CF⊥x轴、EH⊥x轴，即可得CFHE为正方形，
作CF⊥x轴、EH⊥x轴，涂色正方形CFHE 下一步
进而由CF=CE建立等式，即可求得点E在⊙O上时b的值.
CF、CE突出变色.
答案：解：连接OE，作CF⊥x轴垂足为F、EH⊥x轴垂足为H,
∵C、D
且CE∥x轴，DE∥y轴，
∴E即可得：-Ex= Ey ,
∴∠EOF=45°，即△OEH为等腰直角三角形，下一步
又∵E在⊙O 上，⊙O是以CD长为半径的圆
∴OE=CD，
∴CE =EH=HF=CF，即CFHE为正方形，下一步
又∵CF= Cy= ，CE =Dx-Cx=，
∴=,解得b=，
∵b＞4，
∴b=，
即当b=时点E在⊙O上.
例5.如图，直线y=x+b(b＞4)与x轴、y轴分别相交于点A、B，与反比例函数的图象相交于点C、D（点C在点D的左侧），⊙O是以CD长为半径的圆，CE∥x轴，DE∥y轴，CE、DE相交于点E.
（3）随着b取值逐渐增大，直线y=x+b与⊙O有哪些位置关系？求出相应b的取值范围.
解析：直线y=x+b在沿y轴竖直向上平移时，⊙O的半径逐渐增大，在某一时刻⊙O必会与直线y=x+b相切，
动画表示y=x+b平移，⊙O的半径逐渐增大，⊙O与直线y=x+b相切，停一下，之后继续运动，相交，在返回到相切的图示 下一步
作OG⊥AB，切点为G，则有OG=CD，建立方程可得⊙O与直线y=x+b相切时b的值.
作OG⊥AB，切点为G，颜色标记OG，CD
答案：解∵OG⊥AB，∠BOG=45°，且BO=b，
∴OG=，下一步
又∵由（1）可知
C、D，
∴CD=，下一步
又∵CD= OG，
∴=，解得：b=（舍负），
∴当b=时⊙O与直线y=x+b相切. 下一步
综上所述：当b=时⊙O与直线y=x+b相切；
当b＞时⊙O与直线y=x+b相交；
当4＜b＜时⊙O与直线y=x+b相离.
师：大家快速的计算一下C、D的坐标.
师：请学生回答，看答案是否一致，
师：第（2）问中，点E在圆上，大家通过数形结合的方法能够得到什么样的关系式呢？
生：回答讨论
师：（可出示课件解析，并加以说明）
第（3）问中，课件提示相切的图示，参考第（2）问的数形结合方法，配合解析讲解.
师：下面大家各自看下第3小题与第4小题（教师可巡视检查）
中考佳题
3.已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断
解析：理解直线与圆心O的距离是判断直线与⊙O位置关系的方法.
答案：A
4.如图所示，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2＝6，若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）
A．3次 B．4次 C．5次 D．6次
解析：出示图示按题意顺时针旋转，到第一个相切时停顿一下，保留相切的圆，（每一个相切的圆都保留）继续旋转.最后回到原位置
答案：B
师：直接询问答案，第4题出示动画
师：接下来大家看下第8题
分三页出示
8.已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1．
（1）判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由；

解析：理解点与圆位置关系的判断方法，即点到圆心的距离与圆半径长的比较下一步
即：点O到直线AB的距离与⊙P半径的长度比较.
作OH⊥AB于点H
答案：解：作OH⊥AB于点H，
∵直线与x轴、y轴分别交于A，B两点
∴A（2,0），B（）下一步
∴tan∠OAB=
∴∠OAB=60°
又∵OH⊥AB
∴OH=＞1
即：O点到直线AB的最小距离大于⊙P半径的长，
∴原点O在⊙P外.
8.已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1．
（2）当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长；
解析：分类讨论P点的位置，在第四象限或第三象限，根据弧长公式即可求得
答案：解：如图所示，P点在第四象限时，劣弧BC涂色
由（1）知，∠OBA=30°，
∴∠CPB=120°，
∴，
同理可得当P点第三象限时，劣弧BC的长同样为.
8.已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1．
（3）当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．

解析：⊙P与x轴相切有两种方式，即⊙P在x轴下方与在x轴上方.
动画⊙P在第1副图沿直线AB运动，运动到⊙P在x轴下方相切停止一下，并保留圆，之后继续运动到x轴上方相切时在停止，并保留圆
答案：解：如图所示，当⊙P与x轴相切，且位于x轴下方时，设切点为D，
∴PD⊥x轴，且PD=1，
此时⊙P圆周涂色，且连接PD 下一步
由（1）知，∠OAB=60°，
∴AD=
又∵OD=OA-AD=
∴D的坐标为：（，0）下一步 涂色上面相切的圆
同理可得：当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时切点坐标：（，0）. 下一步
综上所述：当⊙P与x轴相切时，切点的坐标为：
（，0）、（，0）.
师：如何判断点与圆的位置关系？
生：点与圆心之间的距离与圆的半径长度比较来判断
师：非常好，那对于第（1）问中的动圆，该如何判定原点O与其的位置关系呢？
生：要计算出原点O与直线AB的最短距离，在判断原点O与动圆的位置关系.
师：很好，大家快速的计算一下.
师：都已经计算完了吧，最后原点O圆的位置关系是？
生：原点O在⊙P外.
师：好，（出示课件并说明一下直线AB与x轴的夹角为题，便于下问中使用）
下面大家一起看下第（2）问.对于求解弧长的问题，我们只需求出对应的圆心角度.利用第（1）问的结论，可以很容易的求出对应的圆心角的度数.
生：120°
师：大家快速的计算其弧长.
生：答案
师：我们用不用讨论圆心P在不同象限呢？
生：要讨论，但是结论是一样的
师：非常好，虽然结论没有变化，但是我们还是要说明的.好，接下来分析一下第（3）个问.对于本题中圆与直线相切的问题，我们需要什么样的分类？
生：在x轴下方与上方.
师：非常好，大家请看课件动画演示（教师出示动画演示，并请同学回答坐标），哪位同学为大家讲解一下.
生：回答.
师：回答的非常好.
师课堂总结，这两节课主要学习了圆的相关性质的应用，并利用其性质解决简单的问题，也学习了函数，直线、图形与圆相互结合的问题，这类问题相对复杂一些，但我们发现，在这类问题中相切往往是我们突破的重点，通过这两节课的学习我们了解了在中考中有关圆的题型的一些问题，希望课下同学们在多加练习.
例4的第2问中需要应用勾股定理及相似建立方程，对有些学生来说相对难度要大一些，老师可以着重讲解下.