第5讲《四边形》第1课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习

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第五讲“四边形”.（第一课时）
［教学目标］
知识与技能
1.了解特殊四边形定义、性质及判定；
2.理解并熟练应用特殊四边形定义、性质及判定进行证明、计算；
3.在四边形中能够应用全等、勾股定理、相似等证明、计算方法解题.
数学思考
通过观察、证明、计算等活动，让学生理解并掌握特殊四边形性质的应用，并联系所学知识进行知识迁移，掌握必要的证明手段及书写过程，从而建立起从三角形到四边形的知识体系架构，完善初中几何知识体系.
问题解决
1.培养学生的观察、分析、计算及证明推理能力；
2.培养学生了解在几何证明中添加辅助线的方法；
3.培养学生书写证明过程的准确性、美观性.
情感态度
让学生积极参与到数学学习活动中，陪同学生观察、分析、理解、运用，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲，教师要正视学生的学习态度，更要把握其学习态度的正确性.
[教学重点、难点]
教学重点：归纳特殊四边形的性质、判定.
教学难点：特殊四边形的性质、判定在计算、证明中的应用.
[教学准备]
动画多媒体语言课件.
教学过程 第一课时
教学路径
教学说明
课堂导入
导入分两部分进行，第一部分出示红线上面的.
下一步
出示剩下的部分
师：上堂课我们在三角形中，对全等、勾股定理、相似及三角函数问题都进行了较深入的学习，本次课我们将一起继续研究全等、勾股、相似、三角函数在四边形中的应用，首先我们复习一下在初中学习中特殊的四边形---平行四边形.（教师可出示上半部分的课件，重点复习平行四边形的性质与判定）
师：除了一般的平行四边形外，我们还学习哪些特殊的平行四边形？
生：矩形、菱形、正方形.
师：非常好，现在请一些同学说一下各自与平行四边形的关系.（提问，适当出示课件下半部分）.
师：对于这些性质与判定，如何学以致用？下面我们一起探讨.请同学们一分钟告诉老师例1的答案.
佳题探究
探究类型之一 多边形
例1.如图所示，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A.13 B.14 C.15 D.16
解析：根据新多边形比原多边形多1条边，并利用多边形内角和公式，可得原多边形的边数.
答案：解：设原多边形边数为n条，则新多边形边数为（n+1）条.
新多边形内角和：［（n+1）-2］·180°=2340°，
解得：n=14，
从而原多边形的边数为14条.
括号中出示“B”
师：好了，大家一起告诉我答案
生：14
师：非常好，我请一位同学为大家为讲解下.（提问）
生：回答
师：（教师可出示课件）他回答的对不对？（生回答）
师：在一般的习题中，我们多求解于正多边形的内、外角度，那对于正多边形来说，如何求其内角和及每一个内角度数或每一个外角度数呢？
生：（回答其求解方法，主要为公式）
师：（适当补充），说的都非常好，现在请一位同学读一下例2.
探究类型之二 平行四边形
例2.如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A.AB∥CD，AD∥BC B.OA=OC,OB=OD
C.AD=BC，AB∥CD D.AB=CD,AD=BC
解析：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；
动画1.涂色AB、CD，并在这两个线段上画相同方向的箭头，2.之后同样作AD、BC（两种的颜色不要一致）3.最后在“A”答案上打“√”. 下一步
对角线互相平分的四边形是平行四边形；
动画1.涂色OA、OC，并在线段上打一个横的小杠，表示相等，2同样的方法
涂色OB、OD，并在线段上打两个横的小杠，表示相等，3.最后在“B”答案上打“√” 下一步
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
动画1.涂色AB、CD，并在线段上打一个横的小杠，表示相等，2同样的方法
涂色AD、BC，并在线段上打两个横的小杠，表示相等，3.最后在“D”答案上打“√” 下一步
一组对边相等，另一组对边平行的四边形可以为等腰梯形.
动画1.涂色AD、BC，并在线段上打一个横的小杠，表示相等，2涂色AB、CD，并在这两个线段上画相同方向的箭头，3.最后在“C”答案上打“×”
答案：在括号中填“C”.
师：大家都选的那个？
生：C
师：嗯，哪位同学站起来给大家说下，平行四边形的几个判定定理.
生：回答（如回答不全，教师补充或请同学补充）
师：出示课件，复习判定定理.
师：我们一起来看一下例3.
分两页出示
（第一页）
例3.如图所示，□ABCD中，BD⊥AD,∠A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O.
（1）求证：BO=DO；
解析：法一：证明△ODF≌△OBE；两个△涂色 下一步
法二：证明DEBF为平行四边形. 连接DE、FB涂色DEBF
答案：证明（法二）：∵□ABCD中AB∥CD，
∴BE∥DF，
又∵BE=DF，
∴DEBF为平行四边形，
∴BO=DO.
（第二页）
例3.如图所示，□ABCD中，BD⊥AD,∠A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O.
（2）若EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长.
解析：△AEG、△DOG是等腰直角三角形
先在∠A处标出45°，之后对△AEG、△DOG涂色（醒目的淡色） 下一步
GF=FO=OE=1
动画表示三个线段GF、FO、OE，在每个线段上画两横杠（如下图）
答案：解：∵∠A=45°且EF⊥AB,
∴△AEG为等腰直角三角形，
同理可得：△DOG为等腰直角三角形，
∵DF⊥GO，
∴FG=FO=1，
由（1）可知FO=EO，
∴GF=FO=OE=1
∴在等腰Rt△AEG与等腰Rt△DFG中可得：AG=，DG=，
∴AD=
师：对于第（1）问，大家都有什么方法可以说明BO=DO？
生：可以证明△ODF≌△OBE.
生：也可证明DEBF为平行四边形，之后应用平行四边形的性质也可说明BO=DO.
师：回答的都非常好，大家快速的写一下证明过程，一会请一位同学为大家用自己喜欢的证明方法说明一下.
师：（请学生说一下自己的过程）对于第（2）问，我们的突破口在哪里呢？
生：可以说明△AEG、△DOG、△DFG都是等腰Rt△，之后还要说明
GF=FO=OE，就可以得到AD的长度了.
师：说的非常好，其实我们是在应用已知条件说明△AEG、△DOG、△DFG是等腰Rt△并应用平行四边形的性质说明GF=FO=OE，最后我们应用勾股定理就可以得到AD的长了.那除了可以用勾股定理外，可不可以应用相似的方法呢？又或者三角函数的方法呢？
生：都是可以的.
师：大家各自写一下这个问题，写完的同学做第3、4、5这三个题.
中考佳题
3.一个正多边形的一个外角等于30°，则这个多边形的边数为 ．
解析：多边形外角和等于360°，该多边形的边数 .
答案：空中添12
4.在□ABCD中，BC边上的高为4,AB=5,AC=2 EQ \r(,5),则□ABCD的周长等于 .
解析：有两种图示可满足该题意中的条件：下一步
BC边上的高AE在□ABCD内；
图1
下一步
动画1.在图上直接标注AB=5，AE=4（这两个数字的颜色一致）；2.涂色△ABE，之后标注BE=3；3.标注AC=2 EQ \r(,5)，在涂色△ACE，最后标注CE=2.（动画出示的不要过快）. 下一步
BC边上的高AE在□ABCD外.
下一步
动画1.在图上直接标注AB=5，AE=4（这两个数字的颜色一致）；2.涂色△ABE，之后标注BE=3；3.标注AC=2 EQ \r(,5)，在涂色△ACE，最后标注CE=2.（动画出示的不要过快）
答案：空中直接填20或12
5.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC，若AB＝10，则EF的长是__________.
解析：DE是Rt△ABC的中位线：DE∥CF且DE=CF，
动画涂色DE、CF，在这两个线段上画相同方向的箭头，并画各画一个横线代表相等 下一步
连接CD，四边形CDEF为平行四边形，进而知CD=EF
动画连接CD，涂色CDEF，并标注在CD、EF画两个横杠 下一步
在Rt△ABC中CD为斜边AB的一半，即CD=5=EF.
动画标注AD、BD上画两个横杠（与CD、EF一样）
答案：在空中填5
师：对答案（重点说第4题），第4题哪位同学得到了两个答案？
生：举手示意
师：非常好，提出表扬，能不能和大家说说，你是怎么思考的？
生：题目中没有图形，所以要小心一些，看看是不是要两个答案.之后画图就能知道一个高在平行四边形里面，另一个在外面，之后就好计算了.
师：我基本听懂了他的意思，大家理解了吗？
生：懂(不懂).
师:出示课件，一起分析.
探究类型之三 菱形
分两页出示
第一页
例4.如图所示，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=（<60°），D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F,连接DE,BE,DF.
（1）求证BE=CD；
解析：证明△ACD≌△ABE即可得到BE=CD.涂色△ACD、△ABE
答案：证明：∵线段AD绕点A顺时针旋转到AE，且∠BAC=，
∴AD=AE，∠BAE=∠CAD
又∵AB=AC
∴△ACD≌△ABE
∴BE=CD.
第二页
例4.如图所示，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=（<60°），D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F,连接DE,BE,DF.
（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明.
解析：利用（1）中结论证明四边形BDFE为平行四边形，根据菱形判定证明其为菱形.
答案：证明：四边形BDFE为菱形， 下一步
∵△ACD≌△ABE且AB=AC，
∴∠ABE=∠ACD=∠ABD, 在这三个角中画个小“×” 下一步
1.在线段EF与BC上画同方向的箭头，表示平行；2.在讲∠EFB中画个小“×”；
3.动画涂色EF=BE，并在这两个线段上画2个横杠.
又∵EF∥BC，
∴∠EFB=∠ABD=∠ABE,
∴EF=BE， 下一步
动画BD、CD在这两个线段上画2个横杠
又∵AD⊥BC,
∴BE=BD=CD,
∴EF= BD 下一步
∴BDFE为平行四边形
又∵BE=BD
∴BDFE为菱形.
师：对于含相等边的旋转中，全等是重要的证明的手段，第（1）问中不难证出BE=CD，谁能把具体的证明过程和大家说一下？
生：证明过程.
师：很好，其他的同学和他证的一样吗？（学生），第（2）问中BDFE是什么四边形？
生：菱形.
师：谁证明出来了，简单的回答下？
生：回答其方法
师：出示课件一起分析证明过程.
师：（总结）我们在学习菱形时，要时刻的抓住菱形与平行四边形区别与联系，当将平行四边形添加邻边相等的条件或者对角线垂直、对角线平分对角时都可以说明这个平行四边形为菱形，同样如果给定的四边形为菱形，我们也要应用其四边相等或对角线互相垂直平分的特性，我们应用菱形的特殊性质来解下面的几个问题，请大家先看看第2、8、9三个题目.
中考佳题
2.在矩形ABCD中，AD=3AB，点G、H分别在AD、BC上，连BG、DH，且BG∥DH，当（ ）时，四边形BHDG为菱形．
A． B． C． D．
解析：设AB=1，x，
动画在图上标记AB旁边标记“1”，BC下面标记3，在AG上面标记3x.
下一步
根据四边形BHDG为菱形，BG=GD，进而可建立关于x的方程.
1.对四边形BHDG涂色，2.DG上写“（3-3x）”，BG上写“”
3.之后在重点标记颜色BG、GD（同颜色），并在这两个线段上画两横杠，表示相等， 下一步
= 3-3x
答案：直接在括号中填“C”.
分两页出示
第一页
8.如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求∠ACE的度数；
解析：（1）由旋转的性质可证△ABD≌△ACE；
（2）△ACE为等腰三角形，可得∠ACE的度数.
答案1：（1）证明：AB=AC且△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE=100°，涂色△ABD、△ACE
∴△ABD≌△ACE
答案2：（2）解：由（1）可知△ACE是等腰三角形，且∠CAE=100°，
∴∠ACE=.
第二页
8.如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（3）求证：四边形ABFE是菱形．
解析：应用（1）、（2）结论，利用角度相等、互补,间接证明四边形ABFE是菱形．
答案：证明：∵∠ACE=40°=∠BAC，
∴AB∥CE，在 AB和EF上标记箭头，代表平行 下一步
又∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=40°,∠BAE=140°,
∴∠ABD+∠BAE=40°+140°=180°，
∴BF∥AE，在 BF和AE上标记箭头，代表平行 下一步
∴四边形ABFE是平行四边形，涂色ABFE
又∵ AB=AE，
∴四边形ABFE是菱形.
分两页出示
第一页
9.如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E．设CD=x，DF=y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；
解析：（1）易知∠ACB=30°，可建立y与x的函数关系式；
（2）四边形AEFD为菱形时，AD=DE，建立关于x的方程.
答案1：（1）解：∵∠B=90°，AC=60，AB=30，
∴∠C=30°
∵CD=x，DF=y，
∴y=x（0≤x≤60）.
答案2：（2）解：∵DF=x，AD=60- x，
又∵四边形AEFD为菱形
∴ DF= AD
涂色四边形AEFD，在 DF、 AD这两个线段上画两横杠，表示相等
∴x=60- x，
解得：x=40.
第二页
9.如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，过F作FE∥AC，交AB于E．设CD=x，DF=y．
（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．

图1 图2
解析：分两种情况讨论：下一步
出示图1，颜色标记AD、AE.
= 1 \* GB3 ①当∠EDF=90°，此时AD=2AE，建立等式；下一步
出示图2，颜色标记AD、AE.
= 2 \* GB3 ②当∠DEF=90°，此时AE=2AD，建立等式.
答案：解： = 1 \* GB3 ①当∠EDF=90°时，∠DEA=90°，∠A=60°，（如图1）
∴在Rt△ADE中，AD=2AE，
又∵四边形AEFD为平行四边形，
∴AE=DF=x，
∴x=60- x，
解得：x=30下一步
= 2 \* GB3 ②当∠DEF=90°时，∠ADE=90°，∠A=60°，（如图2）
∴在Rt△ADE中，AE=2AD，
又∵四边形AEFD为平行四边形，
∴AE=DF=x，
∴2(60- x) =x，
解得：x=48，
综上所述：当x为30或48时△DEF是直角三角形.
师：我们先看第2题，应用菱形邻边相等的性质即可建立等式，求得其比值，哪位同学得到了答案，举手示意一下，为大家解答一下.
生：解答.
师：很好，其他的同学理解了吗？（可以在请一位同学回答）
师：大家一起看下与第2题比较类似的第9题，对于第1问，我们需要注意什么？
生：x的取值范围
师：非常棒，对于y与x的函数关系式，我们不只要建立函数关系式，还要说明x的取值范围.第2问与刚才我们做的第2题类似，哪位同学为大家讲解一下.
生：回答.
师：重点内容说明：1.特殊Rt△三边之间的关系；2.根据的特殊的四边形，寻求边的等量关系，建立方程；3.动点运动过程中，注意分类讨论情况，根据数形结合建立方程.在整个过程中要牢牢抓住“特殊”条件，比如特殊的Rt△、特殊的四边形----菱形，之后要建立方程求解x.