第11讲《几何综合》第3课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习

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第十一讲“几何综合”.（第三课时）
［教学目标］
知识与技能
1.熟练掌握特殊三角形、特殊四边形性质；
2.了解一般线段之间关系的证明方式及辅助线的添加；
3.能熟练应用全等、相似证明、计算线段关系与长度.
数学思考
通过图形性质的应用与证明等学习，让学生从理解到掌握几何证明中一般辅助线的添加，了解当前中考几何证明、计算题目类型及几何部分所考察的知识点内容.
问题解决
1.培养学生的证明推理能力；
2.教授学生辅助线添加方法；
2.培养学生对知识综合运用能力.
情感态度
通过猜测、证明相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用课件中动画，使学生更加直观的理解几何图形的旋转、平移等变化，激发学生学习数学的兴趣.
[教学重点、难点]
教学重点：几何证明、辅助线添加.
教学难点：几何证明、辅助线添加.
[教学准备]
动画多媒体语言课件.
教学过程 第三课时
中考佳题答案
1. A.
2. B.
3. A.
4. C.
5. A.
6.
（1）证明：过点D作DF⊥AD，交AB延长线于点F，
∵MN∥BC，DF⊥AD，
∴△ADF是等腰直角三角形.
∴AD=DF，
又∵∠1+∠5=∠5+∠2=90°，
∴∠1=∠2，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠3=∠4=45°，
在△BDF与△PDA中有，
∠1=∠2
AD=DF
∠3=∠4，
∴△BDF≌△PDA，
∴BD=DP.
（2）BD=DP成立，证明如下：
证明：过点D作DF⊥AD，交BA延长线于点F，
∵MN∥BC，DF⊥AD，
∴△ADF是等腰直角三角形.
∴AD=DF，
又∵∠3=∠5+90°，
∠4=∠5+90°，
∴∠3=∠4，
∵△ABC为等腰直角三角形，且MN∥BC，
∴∠1=∠2=45°，
在△BDF与△PDA中有，
∠1=∠2
AD=DF
∠3=∠4，
∴△BDF≌△PDA，
∴BD=DP.
7. （1）
证明：∵AD⊥DE且AD=DE，
又∵点F是AE的中点，
∴DF⊥AC，
∴∠4=∠5=45°，AF=FD，
又∵∠ABC=90°，
∴∠1+∠3=∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠2，
∴∠1+∠4=∠2+∠5，
在Rt△AFM和Rt△CFD中有，
∠1+∠4=∠2+∠5
AF=FD
∠AFM=∠CFD，
∴Rt△AFM≌Rt△CFD，
∴MF=CF，
∴∠FMC=∠FCM.
（2）
证明：延长AD交MC于点H，
由（1）得MF=CF，
∴△MFC为等腰直角三角形，
又∵△DFE为等腰直角三角形，
∴∠1=∠2=45°，
∴DE∥MC，
∵AD⊥DE，
∴AD⊥MC.
8.（1）
证明：∵∠BCA=∠DCE=90°，
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△BCD与△FCE中有
BC=FC
∠1=∠2
CD=CE
∴△BCD≌△FCE.
（2）
解：∵EF∥CD，
∴∠3=∠4，
（1）中已证△BCD≌△FCE，
∴∠4=∠5，
∴∠3=∠4=∠5，
又∵∠ACB=90°，
∴∠3+∠1=90°，
∴∠5+∠1=90°，
∴∠BDC=90°.
教学路径
教学说明
佳题补充
分两页出示
第一页
(选学）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF.
（1）如图1所示，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；
（2）如图2所示，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（题目只出示图1与图2）

图1 图1-1

图2 图2-2
解析(1)：由△ABC是等腰直角三角形、ADEF是正方形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得；
在(图1)中涂淡颜色△BAD与△CAF.
解析(2)：同理（1）利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得：CF=CD+BC(用红色字) 下一步
出示动画，在图2中顺序标记(速度不要过快)，1.颜色标记AB与AC，在线段上画一杠；2.颜色标记AD与AF，在线段上画两杠；3.标记∠1、∠2；4.闪烁两下△BAD与△CAF；5. 颜色标记CF与BD ；（提示：教师授课时可以先点击解析(2)，观察动画显示）
答案（1）：证明：∵ ∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，
按着图1-1，颜色标记AB与AC，在线段上画一杠 下一步
又∵ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
按着图1-1，颜色标记AD与AF，在线段上画两杠 下一步
∵∠1+∠3=∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠2
按着图1-1，标记∠1、∠3、∠2， 下一步
按着图1-1，颜色标记CF与BD，淡颜色△BAD与△CAF
在△BAD与△CAF中有，
AB=AC
∠1=∠2
AD=AF，
∴△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，
∵BD+CD=BC,
∴CF+CD=BC.
第二页
（3）如图所示，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．

图3
解析：先出示动画，在图3中顺序标记(正常速度就可以)，1.颜色标记AB与AC，在线段上画一杠；2.颜色标记AD与AF，在线段上画两杠；3.标记∠1、∠2；4.闪烁两下△BAD与△CAF；5. 颜色标记CF与BD ；6.最后答案后出示
①通过证明△BAD≌△CAF 得：CD=CF+BC. 下一步
(返回图3重新标记) 1.标记∠3；2.在∠FCD处标记直角符号；3.涂色并闪烁两下△FCD.
②由①△BAD≌△CAF得到∠3=∠ACF=135°故△FCD为直角三角形；下一步
1.标记EF=2；2. FD=4；
O为Rt△FCD斜边DF的中点，故CO=DF=2.
答案：解：由等腰Rt△ABC与△BAD≌△CAF可知：
∠3=∠ACF=135°，
∴∠FCD=90°即△FCD为直角三角形，下一步
∵O为Rt△FCD斜边DF的中点，
∴CO=DF，
又∵正方形ADEF的边长为，
∴FD=4
∴CO=2.
分两页出示
第一页
（选做）已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．
（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系： ______ ．
（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．


解析： 1.在该题目中：“点P为线段CD的中点”框起来；在图 = 1 \* GB3 ①2.标记∠ABD直角符号；3.标记AP、DP、BP，并画横杠.
（1）P为线段CD的中点且△ABD是直角三角形，应用“直角三角形中，斜边中线等于斜边一半” 故PA=PB；（直接在(1)中空填“PA=PB”） 下一步
（2）构造出（1）中图形，方法如下：下一步
1.过点C作CE⊥n；2.标记∠ACE、∠BEC直角符号；3.涂淡色Rt△CED.
= 1 \* GB3 ①过点C作CE⊥n，垂足为E，构造Rt△CED；下一步
涂淡色△CAP与△EBP
= 2 \* GB3 ②证明△CAP≌△EBP.
答案：（2）PA=PB，证明如下：
证明：过点C作CE⊥n，垂足为E，
∵m∥n且AB⊥m、AB⊥n，
∴∠ACE=∠DEC=90°，AC=BE，标记AC、BE . 下一步
1.标记CP、PE；2.标记∠3、∠4；3.标记∠1、∠2；
在Rt△CED中，点P为线段CD的中点，
∴CP=PE，
∴∠3=∠4，
又∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴∠1=∠2，下一步
闪烁两下△CAP与△EBP
在△CAP与△EBP中，
AC=BE
∠1=∠2
CP=PE，
∴△CAP≌△EBP，
∴PA=PB.
第二页
（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA·PB= kAB．
出示该题目后，

解析：观察结论，易知需构造相似三角形. 下一步
1.延长AP交n与点E；2. 过A作AF⊥n，垂足为F，标记∠AFE直角符号
= 1 \* GB3 ①延长AP交n与点E，过A作AF⊥n，垂足为F；下一步
涂淡色△AFE、△BPE.
= 2 \* GB3 ②求证△AFE∽△BPE，易得结论PA·PB= kAB．
答案：证明：延长AP交n与点E，
∵m∥n，且点P为线段CD的中点，
∴AP=PE， 下一步
1标记∠APB直角符号，标记∠1，2闪烁两下△AFE、△BPE.
过A作AF⊥n，垂足为F，
又∵∠APB=∠AFE=90°，∠1=∠1
∴△AFE∽△BPE，下一步 涂色AB与BE，并标记两杠
∴
又∵AB=BE，AF=2k，AE=2AP
∴即PA·PB= kAB．