第4讲《三角形》第1课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习

这是一份第4讲《三角形》第1课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习，共17页。

第4讲“ 三角形”.（第一课时）
[教学目标]
知识技能：
1.理解角平分线、线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并能够熟练运用.
2.熟练掌握全等三角形的一些基本概念，全等三角形的性质，全等三角形的判定定理.
3.熟练应用等腰三角形,等边三角形性质与判定来解题.
4.掌握三角形相似的判定方法并能够熟练运用.
5.掌握直角三角形的性质及判定方法，理解勾股定理及其逆定理并能够熟练运用.
6.能够熟练地利用三角函数的知识解直角三角形及实际应用问题.
数学思考：
通过对三角形的学习，进一步发展空间观念，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观,在运用演绎推理证明问题的规程中，发展合情推理与演绎推理能力，提高语言表达能力.
问题解决：
1.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法.
2.在与同学交流合作的过程中，能较好地理解同学的思考方法和结论，并能对同学所提问题进行反思，初步形成评价与反思的意识.
情感态度：
1.通过几何证明的学习，使学生养成尊重客观事实和形成质疑的习惯.
2.通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受，培养学生勇于创新，多方位审视问题的创造技巧.
[教学重点和难点]:
教学重点：三角形相似、 三角形全等、角平分线、线段垂直平分线的性质及判定.
等腰三角形,等边三角形和直角三角形的性质与判定.
教学难点：三角形相关知识的综合应用.
[教学准备]:
动画多媒体课件
第一课时
教学过程：
教学路径
学生互动
方案说明
导入
前面的几次课我们复习了初中数学一个重要的知识模块---代数.从这节课开始我们复习初中数学另一个重要知识模块---几何.我们先从三角形开始，同学们回想一下和三角形有关的知识都有那些呢？
课件出示
知识“佳”构
“佳”题探究
探究类型一 三角形中的线和角
例1.如图所示，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连结AD．以下结论不正确的是（ ）
A．∠BAC＝70° B．∠DOC＝90°
C．∠BDC＝35°D．∠DAC＝55°
师:学生独立解题.
提示：求角度的题目首先要注意隐含的角度，比如：三角形内角和为180°，以及角与角之间的关系，比如：角平分线得到角相等、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，然后找出已知角与未知角之间的联系，从而求出角度.
出示课件解析.
师总结：
三角形中的线有角平分线、中线、高以及中位线，角有内角和外角，熟练掌握它们的性质是解决与三角形相关的线和角问题的关键.
解析：小手描△ABC的边后三角形涂色 A选项打√
（以后三角形涂色都是此画法）
∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°，
下一步 △ABO涂色 B选项打×
∵BD平分∠ABC， ∴∠ABO= ∠ABC=×50°=25°，
在△ABO中， ∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°，
∴∠DOC=∠AOB=85°.
下一步 △ODC涂色 C选项打√
∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD=（180°-60°）=60°，
∴∠BDC=180°-85°-60°=35°.
下一步 小手画红色线后再画蓝线 最后 D选项画√
∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，
∴AD是△ABC的外角平分线，
∴∠DAC=（180°-70°）=55°.
答案：B．
探究类型二 等腰三角形
例2.如图所示，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A． B．1 C. D．7
师：学生独立解题.
提示：先判定△AGC为等腰三角形，再依据图形中出现两个以上中点的时候，要想到用三角形的中位线来解决问题.
师总结：
判定等腰三角形时要注意方法的选择，部分同学喜欢用证明三角形全等来得到两边相等，其实这是最复杂的方法，还可以用等角对等边或者垂直平分线的性质来证得等腰三角形.
解析：△AGC涂红色
∵AD是其角平分线，CG⊥AD于F，
∴△AGC是等腰三角形，
下一步 △CBG涂蓝色
∴AG=AC=3，GF=CF，
∵AB=4，AC=3，
∴BG=1，
∵AE是中线，
∴BE=CE，
∴EF为△CBG的中位线，
∴EF=BG=.
答案：A．
例3.如图所示，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP＝12，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长度为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
师：学生独立解题.
提示：如何找出已知线段OP与OM之间的联系是解决本题的关键，又因为有已知角度，所以本题会用到三角函数，结合等腰三角形的性质以及三角函数即可解决以上问题.
师总结：
等腰三角形的性质和判定是中考必考内容，单独考察主要以选择题填空题形式出现，但等腰三角形的知识也经常会在综合题中出现，主要是利用等腰三角形的性质来得到线段或者角的关系，在综合题中如何选择等腰三角形的判定也是有技巧的，一般有三种情况：
1.如果有角相等的关系，选择等角对等边判定；
2.如果有垂直平分线，选择用垂直平分线的性质得到两边相等从而由定义判定；
3.没有以上两个条件最后选择三角形全等得到两边相等也是由定义判定.
解析：画虚线
过P作PD⊥OB，交OB于点D，
下一步 Rt△OPD涂色
在Rt△OPD中，cs60°==，OP=12，∴OD=6，
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，∴MD=ND=MN=1，
∴OM=OD-MD=6-1=5．
答案：C．
探究类型三 直角三角形
例4.如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角（∠A、∠B） 向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD=3，BC=5，则EF的值是（ ）
A． B． C． D．
师：学生独立解题.
提示：线段EF与已知的线段AD和BC构造直角三角形并求出直角三角形的边长是解决本题的关键.
师：此题方法不唯一（可利用射影定理 EF2=DF·CF解决）.
师总结：在直角三角形的题目中求长度常考虑用勾股定理解题.
解析：动画展示过程∠A，∠B分别以ED，EC为折痕将向内折起落在点F处后△ADE 和△FED涂红色 △FEC和△BEC涂蓝色
∵∠A，∠B分别以ED，EC为折痕将向内折起落在点F处，
∴EA=EF，BE=EF，DF=AD=3，CF=CB=5，
∴AB=2EF，DC=DF+CF=8，
下一步 作DH⊥BC于H， 四边形ABHD蓝色 Rt△DHC涂红色
作DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴四边形ABHD为矩形，
∴DH=AB=2EF，HC=BC﹣BH=BC﹣AD=5﹣3=2，
在Rt△DHC中，DH==2，
∴EF=DH=．
答案：A．
例5.如图所示，矩形ABCD中，AD=，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB=___________.
师：有些求线段长度的题目中出现已知角的度数，这个角度如何用？
生：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGC=∠GAF+∠F=40°，再根据等腰三角形的性质求出∠CAG，然后求出∠CAF=120°，再根据∠BAC=∠CAF-∠BAF求出∠BAC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2BC=2AD，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
师总结：
本题也综合运用了等腰三角形的性质和解直角三角形的知识.
解析： △AGF涂红色 △ACG涂蓝色
由三角形的外角性质得，∠AGC=∠GAF+∠F=20°+20°=40°，
∵∠ACG=∠AGC，
∴∠CAG=180°-∠ACG-∠AGC=180°-2×40°=100°，
∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°+20°=120°，
下一步 Rt△ABC涂红色
∴∠BAC=∠CAF-∠BAF=30°，
在Rt△ABC中，AC=2BC=2AD=，
由勾股定理，AB= ．
例6.如图，一楼房AB后有一假山，其坡度，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米.小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高.（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
师：学生独立解题.
提示：解直角三角形的题目也是中考的常考点，解决这类问题，如何构造直角三角形是关键，然后利用仰角俯角及坡度坡角的知识来解决问题.
师总结：利用直角三角形来求长度，一般有三种情况：
一、已知长度求长度，直接利用勾股定理求解；
二、已知长度和角度求长度，一般有两种做法：
1.由已知角度得到特殊角从而由角特殊得到边特殊，从而直接得到线段长度，比如：证出等边三角形，利用三边相等解决求长度问题；
2.利用已知角在直角三角形中，直接用三角函数求出边长.
三、已知坡度坡角求长度，直接构造直角三角形利用三角函数求解.
答案：画图过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，
解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，
下一步 Rt△CEF涂红色
在Rt△CEF中，∵,∴∠ECF=30°，
∴EF=CE=10米，CF=10米，
∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10）米，
下一步 Rt△CEF涂红色 Rt△AHE涂蓝色
在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，
∴AH=HE=（25+10）米，
∴AB=AH+HB=（35+10）米．
答：楼房AB的高为（35+10）米
探究类型四 相似三角形的应用
例7.如图所示，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E. 分两题
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）已知AD=4，DE=1，求EF的长.
A
B
E
D
C
F
师：学生独立解题，老师巡视提示.
提示：
（1）根据条件选择合适的判定方法，熟练运用全等三角形判定定理是解决本题的关键.
（2）明确相似三角形也可以解决求线段长度的问题，利用相似三角形对应边成比例即可求出EF的长。
师总结：
相似三角形和全等三角形是三角形中非常重要的内容，要熟练掌握.并明确它们的作用，全等三角形可以证明线段相等和角相等；相似三角形也可以证明角相等，但更重要的是可以得到线段成比例，得到与线段长度有关系的等量关系，从而利用方程求出线段的长度.
（1）
证明：△ACD和 △CBE涂红色
∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，
∴∠E=∠ADC=90°,
∠BCE=90°-∠ACD，∠CAD=90°-∠ACD，
∴∠BCE=∠CAD.
在△ACD与△CBE中，
∠ADC=∠E，∠CAD=∠BCE， AC=BC.
∴△ACD≌△CBE.
（2）
解析：△BFE和△AFD涂蓝色
利用相似三角形对应边成比例即可求出EF的长.
答案：∵△CBE≌△ACD.
∴BE=DC，CE=AD.又AD=4,
∴CE=AD=4，DC=CE-DE=4-1=3，
∴BE=DC=3.
∵∠E=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD，
∴△BFE∽△AFD.
∴ ,既有,解得.
探究类型五 全等三角形的应用
例8.（选学内容）分三题
问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系。
小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF=BE+DF ；
图1
师：学生独立解题.
提示：利用“截长补短”的方法，然后构造全等三角形，
根据全等三角形对应边相等解答.
解析：利用全等三角形对应边相等得出结论.
答案： EF=BE+DF.
探索延伸：
图2
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
提示：此类题型，一般是通过第一题的证明得到一个结论或者是
得到一个证明方法，然后直接运用上面的结论或者运用上面的证
明方法来解决下面的问题.
解析：小手画图延长FD到点G．使DG=BE，连结AG，
延长FD到点G．使DG=BE，连结AG，
①证明△ABE≌△ADG，可得∠BAE=∠DAG，求出∠EAF=∠GAF，
下一步
②证明△AEF≌△AGF，可得EF=GF，根据GF=DG+DF等量代换即可.
答案： EF=BE+DF仍然成立.
下一步△ABE和△ADG涂蓝色
证明：如图，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
AB=AD, ∠B=∠ADG, BE=DG.
∴△ABE≌△ADG，
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
下一步 △AEF和△AGF涂蓝色
∵∠EAF＝∠BAD
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF.
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
AE=AG,∠EAF=∠GAF,AF=AF.
∴△AEF≌△AGF，
∴EF=GF，
∵GF=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
实际应用：
图3
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等。接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离。
师：分小组讨论，指定学生代表汇报结果.老师点评.
提示：由前两题的证明，即可给本题建立一个模型，然后要能在现实情境中找到这个模型，从而继续利用上面的结论或方法，解决实际问题.连接EF，延长AE、BF相交于点C ，然后求出∠EOF=∠AOB，判断符合探究延伸的条件，再根据探究的延伸的结论解题.
答案：小手画图 连接EF，延长AE、BF相交于点C
解：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C ，
∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，
∴∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸的条件，结论EF=BF+AE成立.
即：EF=1.5×（60+80）=210海里
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
师总结：
三角形全等的判定方法如何选择，有以下四种情况：
一、已知两边相等，可以证明夹角相等或证明第三边相等或有一个角是直角；
二、已知两角相等，任意证出一边相等；
三、已知一边和该边邻角相等，可以证明任意一角相等或者证明已知等角的另一边相等；
四、已知一边和该边对角相等，可以证明任意一角相等.
学生自由讨论