第3讲《二次函数》第1课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习

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第3讲“二次函数”.（第一课时）
［教学目标］
知识技能
1.理解二次函数及其相关概念并能够进行判断；
2.理解二次函数的图象和性质；
3.掌握运用配方法将二次函数的一般式化成顶点式，知道图象的对称轴和顶点坐标，能够熟练的选择最合适的方法：一般式、顶点式、交点式等确定二次函数的解析式.
数学思考
根据具体实例，通过独立思考，理解二次函数的图象和性质，体会运用二次函数的顶点式求最值问题的方法和思想.
问题解决
经历二次函数的操作、画图、观察探究的过程，培养学生自主学习的能力.
情感态度
1.通过解决现实情境中问题，增强数学素养，用数学的眼光看世界；
2.通过小组活动，培养学生的合作意识和能力.
[教学重点、难点]
重点：理解和掌握二次函数图象和性质.
难点：用二次函数的图象和性质解决相关的几何与代数综合问题.
[教学准备]
动画多媒体语言课件
第一课时
教学路径
导入
师：我们前面已经学习了一次函数、反比例函数的图象和性质，这节课我们继续学习函数家族中的一名重要成员——二次函数.哪位同学能说说关于二次函数我们都学习了哪些知识呢？
知识佳构：
师：下面我们就一起来看几道例题.
“佳”题探究之一 二次函数图象的性质
例1 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：
①abc＞0 ， ② 2a－b＜0 ， ③ 4a－2b＋c＜0 ， ④ (a＋c)2＜b2.
其中正确的个数有（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

( 第1题图 )
解析：
观察图象可知，抛物线的开口向下，所以a＜0；抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，所以c＞0.
（下一步）动画在图中画出抛物线的对称轴（参考左图中蓝线），然后出示：-1＜x=＜0，所以b＜0，2a-b＜0，所以abc＞0；.
(下一步)过点-2画平行y轴的直线（参考作图中红线），然后出示：当x=-2时，4a-2b+c＜0；
（下一步）在“(a＋c)2＜b2”下面出示箭头，然后出示：(a＋c)2- b2＜0，
（下一步）出示箭头，然后出示：(a+b+c)(a-b+c)＜0
（下一步）在图中出示左图中绿色的线，然后出示：当x=1时，a+b+c＜0；当x=-1时，a-b+c＞0；所以（a+b+c)(a-b+c)＜0.
答案： D
师：本题给了4个结论，哪些是正确的呢？仔细观察图象上你有什么发现？
生1：图象开口向下，a＜0，
生2：图象与y轴交点在y轴正半轴，c＞0，
生3：对称轴在y轴左侧，a,b同号，即b＜0.
师：同学们分析的非常好啊，相信你们应该能判断出①是对还是错了.那么②如何判断对错呢？
师：我们能否从抛物线的对称轴上来考虑呢？
生：由图象知：-1＜x=＜0，由此可得，2a-b＜0，正确；
师：棒极了！继续③吧，
生：这个很简单，令x=-2时，看对应的y值即可，4a-2b+c＜0，正确；
师：第④个可是有点难哦！我们要怎么判断呢？
（师适当的提示：能否将原来的式子变形看看）
生：噢，原来还可以这样啊！变形为(a＋c)2- b2＜0，（a+b+c）（a-b+c）＜0,然后看a+b+c和a-b+c的符号.
师：我们怎么判断a+b+c和a-b+c的符号呢？
生：考虑当x=1时，当x=-1时，y的符号.
小结：遇到二次函数判定函数值等情况时，有图象尽量借助图象来帮助分析，没有图象的还有画出图象来分析，这样直观易理解.
例2 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线于点B、C，则BC的长为________．
（此题较简单，学生自己独立完成）
师：如何求线段BC的长呢？
生：老师，要是能知道B,C的坐标那就好办了.
师：好主意！那么如何求出点B和点C的坐标呢？可要仔细审题哦！
生：A点的坐标是（0,3），BC∥x轴，所以B,C的纵坐标都是3.
生：啊，将y=3代入中，求得x=,啊，BC=6.
解析：
由抛物线y=ax2+3与y轴交于点A得A点的坐标是（0,3）.
因为BC∥x轴，所以B,C的纵坐标都是3.
将y=3代入中，解得x=,
所以B点的坐标是(-3,3) ,C点的坐标是(3,3) .
所以BC=6.
答案：6 （直接填在横线上）
小结：求图象中线段的长时，一般都可以转化为求点的坐标来解决.
“佳”题探究之二 函数图象交点坐标求法
例3 已知抛物线y =x2-4x+7与直线y =x交于A，B两点（A在B的左侧）.
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求抛物线顶点C的坐标，并求△ABC的面积.
解析
(1)：求图象的交点坐标，一般是将交点所在的两个函数解析式联立成方程组，即可求出交点的坐标.
(下一步)
（2）(将图中△ABC填充上颜色)根据割补法求三角形ABC的面积.
(下一步)
方法1（按钮）：过点C作x轴的平行线交直线AB于点D(动画在图中作出)，
S△ABC= S△BCD- S△ACD.
方法2（按钮）：过点C作CF⊥x轴，交直线AB于点F(动画在图中作出) ，
S△ABC= S△ACF+ S△BCF。
求图形面积时，如果图形是规则图形则按规则图形面积的计算方法计算，如果不是规则图形，则可以利用分割的方法进行计算.
师：不同的函数它们的图象都会产生交点，那么如何求这些图象的交点坐标呢?
生：老师，我们可以将它们联立成方程组来求解.
师：这个同学们很容易理解的是吧，如何求解（2）中的三角形面积呢？
你有什么好方法与同学们一起分享一下！除了这种方法之外，你还能用其他方法求解吗？想想看.
答案：
解：
（1）根据题意得解得，.
因为点A在点B的左侧，所以点A,B的坐标分别为（2,1）和（7，）.
(下一步)
(2) y =x2-4x+7=（x-4）2-1，所以抛物线顶点C的坐标为（4，-1）.
(下一步)
方法1（按钮）：过点C作CD∥x轴，交直线AB于点D，如图.
∴y =x=-1，∴x=-2，∴点D的坐标为（-2，-1）.
(下一步)分别过点A，B作CD垂线，垂足分别为E，F. (在图中作出)
∴BF=+1=，DC=4+2=6，AE=2，
∴S△ABC= S△BCD- S△ACD
=×DC×BF-×DC×AE=.
方法2（按钮）：过点C作CF⊥x轴，交直线AB于点F，如图.
∴点F的横坐标为4，∴将x=4代入y =x，得y =2.
∴点F的坐标为（4,2）.
(下一步)分别过点A,B作CF的垂线，
垂足分别为D,E.(在图中作出)
∴AD=2,CF=3，BE=3,
∴S△ABC= S△ACF+ S△BCF=×AD×CF+×CF×BE=.
小结：（1）求函数图象交点时，一般会将函数的解析式联立起方程（组）求解；（2）求不规则图形面积时，一般将图形割补.
“佳”题探究之三 函数的新定义运算
例4 如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[ p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．
（1）若一个函数的特征数为[-2，1]，求此函数图象的顶点坐标．
（2）探究下列问题：
①若一个函数的特征数为[4，-1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．
②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？
解析：
（1）在蓝色的字下面划线，然后出示：
①二次项系数1；②一次项的系数、常数项分别对应p,q.
（下一步）
（2）①按照“左加右减，上加下减” 的平移法则求即可.
（下一步）
②写分别求出两个函数的解析式，分别换成顶点式，进而得到平移的平移的规律.
1.生独立审题，然后师指定学生说说有给定的新定义得到什么呢？
生：二次函数的二次项系数为l，一次项的系数、常数项对应p ,q.
2.生独立完成（1），然后指定学生说说.
生：由特征数为[-2，1]知，=，所以此函数图象的顶点坐标为（1,0）.
3.师：很好，理解的非常准确，刚才是知道函数的特征数，求解抛物线的解析式，我们再来看看如果知道特征数又如何将抛物线平移后的特征数呢？
生：我们可以先由特征数确定抛物线的解析式，然后根据图象平移，再确定平移后的抛物线解析式，然后再确定特征数.
师：同学们，他说的对吗？试试看！那么如果知道起始的特征数，怎样确定抛物线平移的方向或平移的距离呢？
生：根据平移法则计算就可以.
生独立完成，指定学生讲解.
答案：
解：（1）由特征数[-2，1] ，得=，
此函数图象的顶点坐标为（1,0）.
(下一步)
（2）
①由特征数[4，-1] ，得，
函数的图象向右平移1个单位后的抛物线的解析式为：
，
所以该函数的特征数为[2，-4].
（下一步）
②由特征数[2，3] ，得，
由特征数为[3，4] ，得,
所以将原函数图象先向左平移个单位，再将图象向下平移个单位可得.
小结：阅读理解型题目注重在理解的基础上的模仿、变化，抛物线平移的规则是遵循：“左加右减，上加下减”的原则.
“佳”题探究之四 二次函数的最值问题
例5 如图所示，已知抛物线与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．（分两道题出示（1）（2）一起出）
（1）直接写出A、D、C三点的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；
解析：(1)求抛物线与x轴的交点，则令y=0；求抛物线与y轴的交点，则令x=0.
(下一步)
（2）把点M设计成可以在虚线上运动的.
求几条线段的和的最值问题时，一般会利用轴对称知识解决.
(下一步)点A与点D关于抛物线的对称轴对称，所以当点A,M,C三点共线时，
MD+MC的值最小.(下一步)连接AC.（动画在图中作出参照右图）
答案：解：
令y=0,则,整理得x2-2x-8=0,解得x1=4,x2=-2，所以
A(4，0),D(-2，0).
令x=0,则y=-3,所以C(0，-3) .
（下一步）
（2）如图，点A与点D关于直线x=1对称，所以MA=MD，所以MD+MC=MA+MC，所以当点A,M,C三点共线时，MD+MC的值最小.
连接AC交对称轴于点M，如图.
由A(4，0)，C(0，-3)，得直线AC的解析式为.
令x=1,，所以M(1，).
师：同学们，我们知道了抛物线的解析式，如何求图象与坐标轴的交点坐标呢？
生：求函数图象与坐标轴的交点，求与x轴交点时可以令y=0，求与y轴交点时，可以令x=0即可求解；
师：好啊，解决掉它.(2)中问题情境同学们见过吗？很好，你还能记得是如何解决的呢？
生：因为A，D就是关于抛物线对称轴对称的，所以只要连接AC交对称轴于点M，求出直线AC的解析式即可求出点M的坐标.
设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解析：分以下三种情况讨论：（分三步：坐成动画）
（1）以BC为梯形的底边；
（2）以AB为梯形的底边；
（3）以AC为梯形的底边.
（1） （2） （3）
1.师：看来同学们已经学会了思考和灵活运用了，那么再看看下面比较难的问题（3）吧，你能确定图形的形状吗？
生：由于点P是运动的，所以四边形的形状不能确定，
师：遇到这种情况时，应该注意什么呢？
生：分类讨论
师：是的，又该如何讨论呢？讨论的标准是什么？同学们分组讨论一下.
生：按边讨论时，且四边形是梯形，就可按两边平行来讨论.
2.学生分组讨论，然后师指定学生说说自己的思路.
答案：
解：
①以BC为梯形的底边，如图（1），则AP∥BC时,此时点P与点D重合，所以P1（-2,0），显然BC≠AP,所以P1（-2,0）符合题意.(下一步)
②以AB为梯形的底边时，则CP∥AB.
因为A(4，0),B (2，-3),所以直线AB的解析式为.
因为CP∥AB，所以可设直线CP的解析式为，将C（0，-3）的坐标代入得n=-3,所以.
令，有x(x-)=0,解得
解得x1=0,x2=6；经检验，此时点P2 (6，6)符合题意；
(下一步)
②以AC为梯形的底边时，则AC∥BP.因为A(4，0),C(0，-3) ,所以直线AC的解析式为，所以直线BP的解析式为.
令，即x2-4x+4=0,解得x1=x2=2，此时点P不存在.
综上所述，点P1（-2,0）,P2（6,6）符合题意.
小结：遇到题设中的条件不确定时，要进行分类讨论.分类讨论时要选择适当的标准进行讨论.